Elektromagnetische Wellen im Doppelleitersystem

Wir untersuchen die Wellenphänomene an 3 Testsystemen,

1. Doppelleitung oder Lecher-Leitung, die besonders einfach auszumessen ist
2. Der Doppelleitung aus parallelen Ebenen, die wichtig für die Printplattentechnologie ist und besonders einfach zu berechnen ist
3. dem Koaxialkabel, der technisch wichtigen Anwendung für Verbindungen.

Versuch zur Vorlesung: Lecherleitung (Versuchskarte SW025)

Versuch zur Vorlesung: Koaxialleitung (Versuchskarte SW085)

3 mögliche Doppelleitersysteme. Links die Lecherleitung, in der Mitte eine Doppelleiterleitung, wie sie bei Printplatten üblich ist und rechts ein Koaxialkabel

Wenn man das Doppelleitersystem mit elektromagnetischen Wellen mit einer Wellenlänge von etwa $\lambda = 1 m$ speist, beobachtet man folgendes

1. Das am Ende offene Doppelleitersystem zeigt Knoten und Bäuche des $\vec{E}$- und des $\vec{B}$-Feldes in Richtung $\ell$. Der Abstand der Intensitätsmaxima beträgt $\lambda/2$ für beide Felder. Die Maxima der $\vec{ }E$-Feldes sind gegen denen des $\vec{B}$-Feldes verschoben. Wir haben stehende Wellen.
2. Das am Ende mit einem Kurzschlussbügel versehene System zeigt das gleiche Verhalten wie vorher. Die Maxima sind jedoch verschoben. Wieder haben wir stehende Wellen.
3. Wenn das Doppelleitersystem mit einem Widerstand von etwa $400\Omega$ abgeschlossen ist, verschwinden die Maxima. Es gibt keine stehenden Wellen.
4. Die Richtungen von $\vec{E}$ und $\vec{B}$ sind analog wie beim Kondensator.

Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Lecherleitung.

Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Doppelleitung aus parallelen Platten

Wir setzen für die $\vec{E}$-Welle in der Geometrie der obigen Zeichnung an

$$E_x\left(z\text{,} t\right) = -E_0\cos\left(kz-\omega t\right)$$ (6.522)

$$E_y\left(z\text{,} t\right) = 0$$

$$E_z\left(z\text{,} t\right) = 0$$

Dieses Feld erfüllt die Wellengleichung. Wir behaupten, dass das $\vec{B}$-Feld durch

$$B_x\left(z\text{,} t\right) = 0$$ (6.523)

$$B_y\left(z\text{,} t\right) = -\frac{E_0}{c}\cos\left(kz-\omega t\right)$$

$$B_z\left(z\text{,} t\right) = 0$$

gegeben ist. Auch diese Gleichung erfüllt sie Wellengleichung. Wir verwenden die zweite Maxwellgleichung, um zu zeigen, dass die Kopplung richtig ist. Wir schreiben ${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{E}= -(\partial/\partial t)\vec{B}$ in Komponenten

$$\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partia... ...\frac{\partial B_y}{\partial t}\text{,} \frac{\partial B_z}{\partial t}\right)$$ (6.524)

Die $x$- und die $z$-Komponenten sind null, nach der Voraussetzung. Die $y$-Komponente lautet

$$\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$$ (6.525)

Mit $c= \omega/k$ ist diese Kopplungsgleichung, die zweite Maxwellgleichung erfüllt. Die vierte Maxwellgleichung ist ebenfalls erfüllt. Aus ihr erhält man

$$\frac{\partial E_x}{\partial t} = -c^2\frac{\partial B_y}{\partial z}$$ (6.526)

Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen

Diese elektromagnetischen Wellen im Innenraum zwischen den beiden Leitern müssen auch in den angrenzenden Leitern Ladungswellen und Stromwellen erzeugen, die mit den Maxwellgleichungen kompatibel sind. Für die Ladungen gilt mit der ersten Maxwellschen Gleichung für die Oberflächenladungsdichte

$$\sigma\left(z\text{,}\,t\right) = -\varepsilon_0E_x\left(z\text{,}\,t\right) = \varepsilon_0E_0\cdot\cos(kz-\omega t)$$ (6.527)

Die Oberflächenladungsdichte ist eine fortlaufende Welle. Die Erhaltung der elektrischen Ladung bedingt für die Oberflächenladungsdichte in einem Abschnitt der Breite $b$

$$b\cdot\left[j\left(z+dz\text{,} t\right)-j\left(z\text{,} t\rig... ...]= -\frac{\partial \sigma\left(z\text{,} t\right)}{\partial t}\cdot b \cdot dz$$ (6.528)

und damit

$$\frac{\partial j\left(z\text{,}\,t\right)}{\partial z} = -\frac{\... ...,}\,t\right)}{\partial t} = \varepsilon_0 E_0 \cdot\omega\cdot\sin(kz-\omega t)$$ (6.529)

Die Integration über $z$ und die Verwendung von $c= \omega/k$ ergibt

$$j\left(z\text{,}\,t\right) =\varepsilon_0E_0\cdot c\cdot\cos(kz-\omega t)$$ (6.530)

Integrationspfad zur Anwendung des vierten Maxwellschen Gesetzes

Mit dem vierten Maxwellschen Gesetz $$\oint\limits_{S}\vec{B}\cdot d\vec{s}= \displaystyle\iint\limits_... ...(\vec{i}+ \varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)\cdot d\vec{a}$$ erhalten wir mit dem eingezeichneten Integrationsweg, da der Term mit $\vec{E}$ keinen Beitrag gibt (er liegt in der Integrationsebene)

$$-B_y\left(z\text{,}\,t\right)\cdot h = \mu_0\cdot h \cdot j\left(... ...ight) = \mu_0\cdot h\cdot \varepsilon_0 \cdot E_0 \cdot c\cdot\cos(kz-\omega t)$$ (6.531)

Mit $\varepsilon_0\cdot\mu_0 = 1/c^2$ folgt

$$B_y\left(z\text{,} t\right) = -\frac{E_0}{c}\cdot\cos(kz-\omega t)$$ (6.532)

eine identische Gleichung zu der im Zwischenraum abgeleiteten. Die Lösung für die auf dem Zweileitersystem transportierten Wellen ist also kompatibel mit den Maxwellgleichungen. Ladungen und Ströme bewegen sich als Wellen auf der Innenseite der Leiter.

Wellenwiderstand

Durch die in Abschnitt 6.2 abgeleiteten Gleichungen sind an jedem Ort $z$ entlang des Doppelleitersystems und zu jeder Zeit $t$ die lokal fliessenden Ströme $I(z$,$t)$ und die elektromotorische Kraft (Spannung) $U_{EMK}(z$,$t)$ gegeben. Wenn wir nun an einer festen Stelle $z$ in Gedanken einen ohmschen Widerstand zwischen den beiden Leitern einfügen, so muss dieser Widerstand einen vom Wellenleitersystem gegeben Wert haben, dass die elektromotorische Kraft $U_{EMK}(z$,$t)$ genau den Strom $I(z$,$t)$ durch den Widerstand treibt. $U_{EMK}$ und $I$ sind dabei von der Wellengleichung gegeben. Nur wenn der Widerstand angepasst ist, also wenn

$$U_{emk}\left(z\text{,} t\right) = \int\limits_{unten}^{oben} \ve... ...c{s}= -d\cdot E_x\left(z\text{,} t\right) = d \cdot E_0 \cdot\cos(kz-\omega t)$$ (6.533)

gilt, wird aller Strom verbraucht. In allen anderen Fällen bleibt Strom übrig, der an der Stelle reflektiert werden kann, oder die elektromotorische Kraft treibt zusätzlichen Strom durch den Widerstand: dieser wird mit umgekehrtem Vorzeichen reflektiert.

Der gesamte Oberflächenstrom auf der oberen Platte an der Stelle $z$ ist

$$I\left(z\text{,}\,t\right) = b\cdot j\left(z\text{,}\,t\right) = b\cdot \varepsilon_0 \cdot E_0\cdot c\cdot \cos(kz-\omega t)$$ (6.534)

Wenn man an einer beliebigen Stelle das Doppelleitersystem entzweischneidet und dort den Widerstand

$$R^* = \frac{U_{emk}\left(z\text{,}\,t\right)}{I\left(z\text{,}\,t\right)} = \frac{d}{b}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$$ (6.535)

den Wellenwiderstand, anschliesst, gibt es einen reflexionsfreien Abschluss, wir haben eine reine fortlaufende Welle. Das gleiche gilt für jede beliebige fortlaufende Welle, auch wenn sie nicht harmonisch ist.

Das Zweidraht-Doppelleitersystem hat den Wellenwiderstand

$$R^* = \frac{1}{\pi} \ln\left(\frac{4a}{d}\right)\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$$ (6.536)

Die Grösse

$$R^*_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 377\Omega$$ (6.537)

ist der Wellenwiderstand des Vakuums.

Stehende Wellen

Stehende Wellen werden aus zwei fortlaufenden Wellen mit entgegengesetztem Wellenvektor $\vec{k}$ zusammengesetzt. Dabei müssen $\vec{E}$, $\vec{B}$ und $\vec{k}$ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden¹⁴. Die nach rechts laufende Welle wurde schon berechnet (hier sind nur die von null verschiedenen Komponenten angegeben)

$$E_x\left(z\text{,} t\right) = -E_0\cos(kz-\omega t)$$ (6.538)

$$B_y\left(z\text{,} t\right) = -\frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)$$

Die nach links laufende Welle ist dann gegeben durch (Rechtssystem!)

$$E'_x\left(z\text{,} t\right) = -E_0\cos(kz+\omega t)$$ (6.539)

$$B'_y\left(z\text{,} t\right) = \frac{E_0}{c}\cos(kz+\omega t)$$

Die Superposition der beiden Wellen ergibt die folgenden nicht verschwindenden Komponenten

$$\hat{E}_x\left(z\text{,} t\right) = -2E_0\cos(kz)\cos(\omega t)$$ (6.540)

$$\hat{B}_y\left(z\text{,} t\right) = -2\frac{E_0}{c}\sin(kz)\sin(\omega t)$$

Im Gegensatz zu laufenden Wellen sind bei stehenden Wellen die Maxima der $\vec{E}$- Felder und der $\vec{B}$-Felder gegeneinander um $\lambda/4$ verschoben.