Poisson-Gleichung

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 197]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 703])

Wir hatten in Gleichung (2.19) gesehen, dass

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{D}\left( \vec{r}\right) =\rho_{el }\left( \vec{r}\right)$$ (2.65)

ist.

Gleichung (2.49) besagt, dass

$$\vec{E}\left( \vec{r}\right) =- {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \varphi\left( \vec{r}\right)$$ (2.66)

ist. Mit der im Vakuum geltenden Beziehung $\vec{D}=\varepsilon _{0} \vec{E}$ erhalten wir die Poisson-Gleichung.

$$-\varepsilon _{0} {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  {}\boldsymbol{... ...el }\left( \vec{r}\right) =-\varepsilon _{0}\Delta \varphi\left( \vec{r}\right)$$ (2.67)

oder

$$\Delta \varphi\left( \vec{r}\right) =-\frac{\rho_{el}\left( \vec{r}\right) }{\varepsilon _{0}}$$ (2.68)

Dabei haben wir den Laplace-Operator $\Delta = {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{}  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} = \vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}$ verwendet. In Komponentenschreibweise in einem kartesischen Koordinatensystem ist dies

$$\left( \begin{array}{c} \frac{\partial }{\partial x} \frac{\par... ...^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}$$ (2.69)

Die Poissongleichung ermöglicht eine Berechnung der Potentiale ausgehend von Ladungsverteilungen.

Bemerkung:

Im allgemeinen Falle bei beliebigen Materialien lautet die Beziehung zwischen der dielektrischen Verschiebung $D$ und dem elektrischen Feld $E$

$$\vec{D}(\vec{r}) = \underline{\varepsilon} \varepsilon_0 \vec{E}(\vec{r})$$ (2.70)

Dabei ist die relative Dielektrizitätszahl $\underline{\varepsilon}$ im einfachsten Falle eine Zahl und im allgemeinen Falle ein Tensor zweiter Stufe. Die allgemeine Poissongleichung (Gleichung (2.68) ) wird dann wie folgt geschrieben

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left(\underline{\varepsilon}\var... ...}\left(\underline{\varepsilon}\varepsilon_0 \vec{\nabla}\varphi(\vec{r})\right)$$ (2.71)

Beispiel:

Ebene

Bei einer geladenen Ebene ist $\rho_{el} \left( x\text{,} y\text{,} z\right) =\delta \left( z\right)\sigma\left(x\text{,} y\right)$. Die Poissongleichung wird, wegen der Translationssymmetrie in $x$ und $y$ zu

$$\Delta U=\frac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}U=-\frac{\sigma \delta \left( z\right) }{\varepsilon _{0}}$$ (2.72)

Daraus folgt, dass $\frac{\partial U}{\partial z}=\mathrm{const}\neq 0$ für $z\neq 0$.

Bei $z=0$ haben wir einen Sprung der Grösse $\frac{\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}$ der symmetrisch von $+\frac{\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}$ bis $-\frac{ \sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}$ reichen muss. Nochmals integrieren ergibt

$$U\left( z\right) = \left\{ \begin{array}{c} U_0 + \frac{\sigma _{... ...{0}}{2\varepsilon _{0}}z \qquad\textrm{f\uml {u}r}\qquad z>0 \end{array}\right.$$ (2.73)

$U_{0}$ ist eine frei wählbare Integrationskonstante.

Das Innere eines Leiters ist ein Äquipotentialraum, da in einem Leiter Ladungen sich frei bewegen können. Da Feldlinien $d\vec{E}$ senkrecht zu einer Metalloberfläche, die immer eine Äquipotentialfläche ist, stehen kann man schliessen (und mathematisch beweisen), dass Feldlinien senkrecht auf Äquipotentialflächen stehen.

An Luft kann man nicht beliebige Potentialunterschied aufrechterhalten. Die möglichen Potentialdifferenzen werden durch Funkenüberschläge begrenzt. Für Luft unter Normalbedingungen muss

$$E<3\cdot 10^{6}\frac{V}{m}$$ (2.74)

sein.