Die Lorentztransformation der Felder $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 128])

Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt, nun aber vom Ruhesystem der Platte aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{strom-015}
Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.




Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit $ \vec{v}_0$ bewegt werden ergibt sich auch ein Magnetfeld.

Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem $ S$ ist

$\displaystyle E_z = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ (3.308)

wenn $ \sigma$ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist

$\displaystyle B_x = \mu_0\cdot j = \mu_0 \cdot \sigma\cdot v_0 = \frac{v_0\cdot \sigma}{\varepsilon_0\cdot c^2}$ (3.309)

Die entsprechenden Felder im Bezugssystem $ S'$ müssen nun berechnet werden. Auch in $ S'$ sind die Platten homogen geladen. Also haben wir

$\displaystyle E_z' = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}$ (3.310)

und

$\displaystyle B_x' = \frac{v_0'\cdot \sigma'}{\varepsilon_0\cdot c^2}$ (3.311)

Wir brauchen die Transformationsgesetze für $ \sigma'$ und $ v_0$
$\displaystyle v_0'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}$ (3.312)
$\displaystyle \sigma_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sigma}{\gamma_0}$  
$\displaystyle \sigma_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sigma'}{\gamma_0'}$  

wenn $ \sigma_0$ das Ruhesystem der Ladungen und $ \gamma_0 =
\left(1-\frac{v_0^2}{c^2}\right)^{-1/2}$ ist. Wir bekommen

$\displaystyle \sigma' = \sigma\cdot\frac{\gamma_0'}{\gamma_0} = \sigma\sqrt{\frac{1-v_0^2/c^2}{1-v_0'^2/c^2}}$ (3.313)

und damit
$\displaystyle \sigma'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma\sqrt{\frac{1-v_0^2/c^2}{1-\left(\frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}\right)^2/c^2}}$ (3.314)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)}
{\sqrt{\left(1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}\right)^2-(v_0-v)^2/c^2}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\rig...
...\frac{v\cdot v_0}{c^2}+\frac{v^2\cdot v_0^2}{c^4}-v_0^2/c^2-v^2/c^2+2vv_0/c^2}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot
v_0}{c^2}\right)}{\sqrt{1-v_0^2/v^2}\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma\cdot\gamma\cdot\left(1-\frac {v\cdot
v_0}{c^2}\right)$  

Mit

$\displaystyle v_0' = \frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}$

berechnet man
$\displaystyle v_0'\cdot\sigma'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma\cdot\gamma\cdot\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)v_0'$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma\cdot\gamma\cdot\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right) \frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma\gamma\left(v_0-v\right)$ (3.315)

Damit ist

$\displaystyle E_z' = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0} = \gamma\left(\frac {\sigma}...
...{\sigma v\cdot v_0}{\varepsilon_0c^2}\right)= \gamma\left(E_z-v\cdot B_x\right)$ (3.316)

und

$\displaystyle B_x' = \frac{v_0'\cdot \sigma'}{\varepsilon_0\cdot c^2}=\gamma\le...
...sigma\cdot v}{\varepsilon_0 c^2}\right)=\gamma\left(B_x-\frac{v}{c^2}E_z\right)$ (3.317)

Damit sind die transversalen Felder $ B_x'$ und $ E_z'$ in $ S'$ Linearkombinationen der Felder $ B_x$ und $ E_z$ in $ S$.

Die Transformationseigenschaften von $ B_z$ und $ E_x$ erhält man, indem man die obige Anordnung um $ \pi/2$ um die $ y$-Achse dreht. Dann gehen

$\displaystyle E_z$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle E_x$ (3.318)
$\displaystyle B_x$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle -B_z$  

über. Die Transformationsgleichungen sind dann
$\displaystyle E_x'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma \left(E_x+v\cdot B_z\right)$ (3.319)
$\displaystyle B_z'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma\left(B_z+ \frac{v}{c^2}E_x\right)$  





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{strom-016}
Lorentztransformation von $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$.




Skizze zur Transformation eines longitudinale $ \vec{E}$-Feldes (links) und des $ \vec{B}$-Feldes (rechts).

Die Transformation des longitudinalen $ \vec{E}$-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis, dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass das Elektrische Feld eines Plattenkondensators12 nicht vom Plattenabstand abhängt. Also ist

$\displaystyle E_y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ (3.320)
$\displaystyle E_y'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}$  
$\displaystyle \sigma$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma'$  

Also ist auch

$\displaystyle E_y' = E_y$ (3.321)

Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der Spule ist

$\displaystyle B_y = \mu_0\frac{I\cdot N}{L}$ (3.322)

wobei $ N$ die Anzahl Windungen und $ L$ die Länge der Spule ist. Wir machen dabei die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit $ I=\dot{Q}$ ist

$\displaystyle B_y = \mu_0\frac{N}{L}\frac{dQ}{dt}$ (3.323)

Die Anzahl Windungen $ N$ und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann

$\displaystyle B_y' = \mu_0\frac{N}{L'}\frac{dQ}{dt'}$ (3.324)

Mit der Längenkontraktion $ L' = \gamma L$ und der Zeitdilatation $ dt' = dt/\gamma$ folgt, dass sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit

$\displaystyle B_y' = B_y$ (3.325)

ist.

Bei einer Bewegung in die $ y$-Richtung mit $ \vec{v}=\left(0\text{,} v_y\text{,} 0\right)$ ( $ \gamma = 1/\sqrt{1-v_y^2/c^2}$) werden die elektrischen und magnetische Induktion wie

$\displaystyle E_x'$ $\displaystyle = \gamma(v_y) \left(E_x+v_y\cdot B_z\right)$ (3.326)
$\displaystyle E_y'$ $\displaystyle = E_y$    
$\displaystyle E_z'$ $\displaystyle = \gamma(v_y) \left(E_z-v_y\cdot B_x\right)$    
$\displaystyle B_x'$ $\displaystyle = \gamma(v_y) \left(B_x-\frac{v_y}{c^2}E_z\right)$    
$\displaystyle B_y'$ $\displaystyle = B_y$    
$\displaystyle B_z'$ $\displaystyle = \gamma(v_y)\left(B_z+ \frac{v_y}{c^2}E_x\right)$    

transformiert.

Im Vakuum gilt $ \vec{B}= \mu_0 \vec{H}= \frac{\vec{H}}{\varepsilon_0 c^2}$. Die Lorentztransformation für elektrische und magnetische Felder ist dann

$\displaystyle E_x'$ $\displaystyle = \gamma(v_y) \left(E_x+\frac{v_y}{c^2}\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot H_z\right)$ (3.327)
$\displaystyle E_y'$ $\displaystyle = E_y$    
$\displaystyle E_z'$ $\displaystyle = \gamma(v_y) \left(E_z-\frac{v_y}{c^2}\frac{1}{\varepsilon_0} H_x\right)$    
$\displaystyle H_x'$ $\displaystyle = \gamma(v_y) \left(H_x-v_y \varepsilon_0 E_z\right)$    
$\displaystyle H_y'$ $\displaystyle = H_y$    
$\displaystyle H_z'$ $\displaystyle = \gamma(v_y)\left(H_z+ v_y \varepsilon_0 E_x\right)$    

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm