(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 190]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])
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Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen
Wir betrachten eine Welle , die aus dem Medium mit
und
auf eine ebene
Grenzfläche zum Medium mit
und
fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine
reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle
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(6.579) |
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(6.585) |
Das Reflexionsgesetz besagt, dass
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Aus Gleichung (6.68) folgt weiter
Gleichung (6.69) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu
liegt.
Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass
in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor
liegt.
ist also parallel zu
. Wir können also schreiben
Mit der Definition (6.56) bekommt man auch
Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius. |
Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.
Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).
Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten
und
sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche
kontinuierlich sein, also
wobei und
die Winkel zur Oberflächennormalen
sind,
ist die
-Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation),
die der reflektierten und
die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.
Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als
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(6.597) |
Die Komponente von parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (6.64)
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(6.598) |
Wir beachten, dass
ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten
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(6.599) |
Die Fresnelschen Gleichungen für die ![]() Mit den Brechungsindizes ![]() ![]() |
Nach dem Brechungsgesetz ist
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Wir setzen dies ein und erhalten
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(6.602) |
Wir setzen
ein und bekommen
Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben werden
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für
nichtmagnetische Materialien
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Wir haben die einfallende Intensität
als Referenz verwendet. Deshalb
erscheint der Vorfaktor
für
. Im Medium mit dem Brechungsindex
wird die Energie mit
einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex
. Ist
grösser als
. so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und
muss grösser werden.
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Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische
Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die
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Bei -polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von
durch
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(6.606) |
gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)
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(6.607) |
Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten
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(6.608) |
Damit müssen wir das Gleichungssystem
lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit
und die zweite mit
und addieren
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(6.610) |
Um zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (6.92) mit
und die
untere mit
, subtrahieren und erhalten
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(6.611) |
Mit den Brechungsindizes
und
erhält man
Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu
Die Brechungsindizes und
können mit dem Snelliusschen Gesetz
eliminiert werden
Mit
werden die
obigen Gleichungen
Die Quotienten aus und
können zu
zusammengefasst werden
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Im Grenzfall
müssen die Resultate für die
- und
-Polarisation übereinstimmen. Lässt man in Gleichung (6.99)
gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte elektrische Feld
. Andererseits ist der Grenzwert des elektrischen Feldes
für
gegen Null bei Gleichung (6.87) negativ. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.16 die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte
und
sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen identisch.
Wenn in der Gleichung Gleichung (6.99) für der Nenner
ist, divergiert der Nenner, Wir erhalten also
. Dies ist der Brewster-Winkel.
Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:
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Wir haben die einfallende Intensität
als Referenz verwendet. Deshalb
erscheint der Vorfaktor
für
.
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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für
p- und s-Polarisation, wenn
elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (
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Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für
p- und s-Polarisation, wenn
elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (
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Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist
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(6.619) |
Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist
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(6.620) |
Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche
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(6.621) |
Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die -Polarisation
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(6.622) |
gilt.
Wir müssen also den Wert des Bruches
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(6.623) | |
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Wir setzen
und
und schreiben die Gleichung um
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(6.624) |
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Da ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für
-Polarisation Energieerhaltung
gilt.
Eine ähnliche Gleichung kann man für die -Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen,
dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.
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Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für
p- und s-Polarisation, wenn
elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren (
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Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für
p- und s-Polarisation, wenn
elektromagnetische Wellen
aus dem langsameren (
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Für beide Bilder wurde die
Intensität mit
berechnet, wobei
die für das jeweilige Medium
gültige Brechzahl und
der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der
-Polarisation und der
-Polarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der
einfallenden elektromagnetischen Welle.
Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.
Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von
liefert das Snelliussche Gesetz.
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 193,196])
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Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium in
das schnellere eintreten, es Winkel gibt (
, für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen
Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der
-Vektor de
elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus
mit
der
exponentielle Dämpfungsfaktor
, wobei
vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen
Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter bewegen: Wegen der
Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.
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Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich
selber sowie der evaneszenten Wellen.
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Othmar Marti