Die Fresnelschen Formeln

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 190]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])

Versuch zur Vorlesung: Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)

Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation

Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen

• Der einfallende und der reflektierte Strahl elektromagnetischer Wellen definiert die Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien.
• Elektromagnetische Wellen, deren Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heissen s-polarisiert. Die Polarisationsebene gibt die Richtung des elektrischen Feldes an.
• Elektromagnetische Wellen, deren Polarisationsebene parallel zur Einfallsebene liegt, heissen p-polarisiert.
• Für die Intensität der elektromagnetischen Wellen in nichtmagnetischen Medien gilt $I \propto \sqrt{\varepsilon} E^2$, wobei $\varepsilon = n^2$ ist.
• Genauer gilt für die Intensität: $I = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\mu\mu_0}}E^2 = \frac{n \varepsilon_0 c}{2} E^2$ für sinusförmige Wellen mit der Amplitude $E$.

Wir betrachten eine Welle $\vec{E}_0$, die aus dem Medium mit $\mu_1$ und $\varepsilon_1$ auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit $\mu_2$ und $\varepsilon_2$ fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle

$$\vec{E}_e = \vec{\mathfrak{E}}_{e} \cos\left(\vec{k}_0\cdot\vec{r}-\omega_e t\right)$$

$$\vec{E}_r = \vec{\mathfrak{E}}_{r} \cos\left(\vec{k}_r\cdot\vec{r}-\omega_r t+\varphi_r\right)$$

$$\vec{E}_t = \vec{\mathfrak{E}}_{t} \cos\left(\vec{k}_t\cdot\vec{r}-\omega_r t+\varphi_t\right)$$ (6.579)

Gegeben sind $\vec{\mathfrak{E}}_e$, $\mu_1$, $\varepsilon_1$, $\vec{k}_e$ und $\omega_e\left(\left\vert\vec{k}_e\right\vert\right)$. An den Grenzflächen gilt

• Die tangentiale Komponente von $\vec{E}$ ist stetig.
• Die tangentiale Komponente von $\vec{H}$ ist stetig.

Sei $\vec{e}_n$ der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes mit $\vec{e}_n$ liegt senkrecht zu $\vec{e}_n$ und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Unabhängig von der Richtung von $\vec{E}_e$ bekommt man mit dieser Operation immer die Tangentialkomponente von $\vec{E}_e$ zur Grenzfläche

$$\vec{e}_n \times \vec{E}_e \times \vec{e}_n$$ (6.580)

Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren $\vec{E}_r$ und $\vec{E}_t$ in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben werden

$$\vec{e}_n \times \vec{E}_e \times \vec{e}_n+\vec{e}_n \times \vec{E}_r \times \vec{e}_n = \vec{e}_n \times \vec{E}_t \times \vec{e}_n$$ (6.581)

Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Ausgeschrieben erhalten wir

$$\vec{e}_n \times \vec{\mathfrak{E}}_{e} \cos\left(\vec{k}_e\cdot\vec{r}-\omega_e t\right) \times \vec{e}_n +\vec{e}_n \times \vec{\mathfrak{E}}_{r} \cos\left(\vec{k}_r\cdot\vec{r}-\omega_r t+\varphi_r\right) \times \vec{e}_n$$

$$= \vec{e}_n \times \vec{\mathfrak{E}}_{t} \cos\left(\vec{k}_t\cdot\vec{r}-\omega_r t+\varphi_t \right) \times \vec{e}_n$$ (6.582)

Die Gleichung (6.65) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt

$$\left.\cos\left(\vec{k}_e\cdot\vec{r}-\omega_e t\right)\right\vert _ =\left.\cos\left(\vec{k}_r\cdot\vec{r}-\omega_r t+\varphi_r\right)\right\vert _$$

$$= \left.\cos\left(\vec{k}_t\cdot\vec{r}-\omega_r t+\varphi_t\right)\right\vert _$$ (6.583)

Damit Gleichung (6.66) zu allen Zeiten an einem beliebigen Punkt gilt, müssen die Kreisfrequenzen gleich sein

$$\omega_e = \omega_r=\omega_t$$ (6.584)

Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (6.65) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt

$$\left.\vec{k}_e\cdot\vec{r}\right\vert _ =\left.\vec{k}_r\cdot\vec{r}+\varphi_r\right\vert _ = \left.\vec{k}_t\cdot\vec{r}+\varphi_t\right\vert _$$ (6.585)

$\vec{r}$ zeigt auf einen Punkt in der Grenzfläche, ist im Allgemeinen nicht parallel zu ihr. Aus der ersten Gleichung in (6.68) folgt

$$\left(\left(\vec{k}_e-\vec{k}_r\right)\cdot \vec{r}\right)_ = \varphi_r$$ (6.586)

Eine Gleichung vom Typ $\vec{a}\cdot \vec{r}= \varpi$ beschreibt eine Ebene. Die Endpunkte von $\vec{r}$ liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor $\vec{a}$. $\varpi$ gibt die Verschiebung zum Nullpunkt an. Gleichung (6.69) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu $\vec{k}_e-\vec{k}_r$ liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass $\vec{r}$ in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor $\vec{e}_n$ liegt. $\vec{e}_n$ ist also parallel zu $\vec{k}_e-\vec{k}_r$. Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium 1, das heisst $\left\vert\vec{k}_e\right\vert=k_e=\left\vert\vec{k}_r\right\vert=k_r$. Wir können also schreiben

$$\vec{e}_n \times\left(\vec{k}_e-\vec{k}_r\right)=0$$ (6.587)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

$$k_e \sin\alpha = k_r\sin\beta \Rightarrow \sin\alpha = \sin\beta \Rightarrow \alpha = \beta$$ (6.588)

Dabei ist $\alpha$ der Winkel zwischen der Oberflächennormale $\vec{e}_n$ und dem Wellenvektor der einfallenden Welle $\vec{k}_e$ und $\beta$ der Winkel zwischen der Oberflächennormale $\vec{e}_n$ und dem Wellenvektor der reflektierten Welle $\vec{k}_r$.

Das Reflexionsgesetz besagt, dass

$$\alpha = \beta$$

(Einfallswinkel=Ausfallswinkel)

Aus Gleichung (6.68) folgt weiter

$$\left(\left(\vec{k}_e-\vec{k}_t\right)\cdot \vec{r}\right)_ = \varphi_t$$ (6.589)

Gleichung (6.69) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu $\vec{k}_e-\vec{k}_t$ liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass $\vec{r}$ in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor $\vec{e}_n$ liegt. $\vec{e}_n$ ist also parallel zu $\vec{k}_e-\vec{k}_t$. Wir können also schreiben

$$\vec{e}_n \times\left(\vec{k}_e-\vec{k}_t\right)=0$$ (6.590)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

$$k_e \sin\alpha = k_t\sin\gamma$$ (6.591)

Dabei ist $\alpha$ der Winkel zwischen der Oberflächennormale $\vec{e}_n$ und dem Wellenvektor der einfallenden Welle $\vec{k}_e$ und $\gamma$ der Winkel zwischen der Oberflächennormale $\vec{e}_n$ und dem Wellenvektor der transmittierten Welle $\vec{k}_t$. Aus der Wellengleichung folgt

$$\frac{\omega}{k}_i = c_i = \frac{1}{\sqrt{\mu_i\mu_0\varepsilon_i\varepsilon_0}}$$ (6.592)

Da $\omega_e=\omega_r=\omega_t$ ist, kann Gleichung (6.74) auch als

$$\frac{\omega_e}{c_e} \sin\alpha = \frac{\omega_t}{c_t}\sin\gamma$$ (6.593)

oder

$$\sqrt{\mu_1\mu_0\varepsilon_1\varepsilon_0}\sin\alpha = \sqrt{\mu... ...arrow \sqrt{\mu_1\varepsilon_1}\sin\alpha = \sqrt{\mu_2\varepsilon_2}\sin\gamma$$ (6.594)

Mit der Definition (6.56) bekommt man auch

$$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\gamma)$$ (6.595)

Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius.

Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.

s-Polarisation

Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon_1$ und $\varepsilon_2$ sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

$$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_1\varepsilon_0}{\mu_1\mu_0}}\l... ... \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_2\varepsilon_0}{\mu_2\mu_0}}E_t^2\cos\gamma$$ (6.596)

wobei $\alpha$ und $\gamma$ die Winkel zur Oberflächennormalen $\vec{e}_n$ sind, $E_e$ ist die $E$-Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation), $E_r$ die der reflektierten und $E_t$ die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.

Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als

$$\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\left(E_e^2-E_r^2\right)\cos\alpha = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}E_t^2\cos\gamma$$ (6.597)

Die Komponente von $\vec{E}$ parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (6.64)

$$E_e + E_r= E_t$$ (6.598)

Wir beachten, dass $a^2-b^2= (a-b)(a+b)$ ist und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander. Wir erhalten

$$\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\left(E_e-E_r\right)\cos\alpha ... ...ilon_1\mu_2}{\mu_1\varepsilon_2}}\left(E_e-E_r\right)\cos\alpha = E_t\cos\gamma$$ (6.599)

Die Fresnelschen Gleichungen für die $s$-Polarisation lauten

$$E_r = E_e \frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\alpha -\sqrt{\... ...\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\alpha +\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\gamma}$$

$$E_t = E_e \frac{2\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\alpha} {\sqrt... ...\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\alpha +\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\gamma}$$ (6.600)

Mit den Brechungsindizes $n_1 = \sqrt{\mu_1\varepsilon_1}$ und $n_2=\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}$ erhält man

$$E_r = E_e \frac{{\frac{n_1}{\mu_1}}\cos\alpha -{\frac{n_2}{\mu_2}}\cos\gamma} {{\frac{n_1}{\mu_1}}\cos\alpha +{\frac{n_2}{\mu_2}}\cos\gamma}$$

$$E_t = E_e \frac{2{\frac{n_1}{\mu_1}}\cos\alpha} {{\frac{n_1}{\mu_1}}\cos\alpha +{\frac{n_2}{\mu_2}}\cos\gamma}$$ (6.601)

Nach dem Brechungsgesetz ist

$$\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha} = \sqrt{\frac{\mu_1\varepsilon_1}{\mu_2\varepsilon_2}} = \frac{\mu_1}{\mu_2}\sqrt{\frac{\varepsilon_1\mu_2}{\mu_1\varepsilon_2}}$$

$$\sqrt{\frac{\varepsilon_1\mu_2}{\mu_1\varepsilon_2}} =\frac{\mu_2}{\mu_1}\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$$

Wir setzen dies ein und erhalten

$$\frac{\mu_2}{\mu_1}\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\left(E_e-E_r\right)\cos\alpha = E_t\cos\gamma$$

$$\frac{\left(E_e-E_r\right)\cos\alpha\sin\gamma}{\mu_1} = \frac{E_t\cos\gamma\sin\alpha}{\mu_2}$$ (6.602)

Wir setzen $E_e+E_r=E_t$ ein und bekommen

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation

$$E_r = E_e\frac{\frac{1}{\mu_1}\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha-\frac{1}{\... ...\mu_1}\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha+\frac{1}{\mu_2}\sin\alpha\cos\gamma(\alpha)}$$

$$E_t = E_e\frac{\frac{2}{\mu_1}\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha}{\frac{1}{\mu_1}\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha+\frac{1}{\mu_2}\sin\alpha\cos\gamma(\alpha)}$$ (6.603)

Dabei ist

$$\sqrt{\mu_1\varepsilon_1}\sin\alpha = \sqrt{\mu_2\varepsilon_2}\sin\gamma$$

Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben werden

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation bei nichtmagnetischen Materialien

$$E_r = E_e\frac{\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha-\sin\alpha\cos\gamma(\alpha)} {\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha+\sin\alpha\cos\gamma(\alpha)}$$

$$= -E_e \frac{\sin(\alpha-\gamma(\alpha))}{\sin(\alpha+\gamma(\alpha))}$$

$$E_t = E_e\frac{2\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha}{\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha+\sin\alpha\cos\gamma(\alpha)}$$

$$=E_e\frac{2\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha}{\sin(\alpha+\gamma(\alpha))}$$ (6.604)

Dabei ist

$$\sqrt{\varepsilon_1}\sin\alpha = \sqrt{\varepsilon_2}\sin\gamma$$

• Wenn $\alpha > \gamma$, wenn also die elektromagnetische Welle aus dem schnelleren Medium auf das langsamere Medium trifft, haben $E_e$ und $E_r$ unterschiedliche Vorzeichen: es tritt ein Phasensprung um $\pi$ bei der Reflexion auf.
• Bei der Reflexion am schnelleren Medium $\alpha < \gamma$ ist $\sin(\alpha-\gamma)$ positiv. Es gibt keinen Phasensprung bei der Reflexion.
• Die Gesetze für die Intensität bekommt man durch quadrieren und unter Berücksichtigung der relativen Dielektrizitätszahl $\varepsilon_1$ und der relativen magnetischen Permeabilität $\mu_1$.
• Bei fast senkrechtem Einfall bekommt man $E_r \approx - E_e \frac{\sin\alpha-\sin\gamma}{\sin\alpha+\sin\gamma} = -E_e\frac{n_2-n_1}{n_2+n_1}$

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien

$$I_r = I_e\frac{\left[\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha-\sin\alpha\cos\gamm... ...]^2} {\left[\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha+\sin\alpha\cos\gamma(\alpha)\right]^2}$$

$$= I_e \frac{\sin^2(\alpha-\gamma(\alpha))}{\sin^2(\alpha+\gamma(\alpha))}$$

$$I_t = \frac{n_2}{n_1}I_e\frac{4\sin^2\gamma(\alpha)\cos^2\alpha}{\sin^2(\alpha+\gamma(\alpha))}$$ (6.605)

Wir haben die einfallende Intensität $I_e = n_1 \frac{\varepsilon_0 c}{2} E_e$ als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor $\frac{n_2}{n_1}$ für $I_t$. Im Medium mit dem Brechungsindex $n_2$ wird die Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex $n_1$. Ist $n_2$ grösser als $n_1$. so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und $I_2$ muss grösser werden.

p-Polarisation

Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die $\vec k$-Vektoren dar (rot für die einfallende elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.). Die $\vec{E}$-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.

Bei $p$-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von $\vec{E}$ durch

$$\left(E_e-E_r\right)\cos\alpha = E_t\cos\gamma$$ (6.606)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)

$$\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\left(E_e^2-E_r^2\right)\cos\alpha = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}E_t^2\cos\gamma$$ (6.607)

Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten

$$\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\left(E_e+E_r\right)=\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}E_t$$ (6.608)

Damit müssen wir das Gleichungssystem

$$E_e\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}} = -\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}E_r+E_t\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}$$

$$E_e\cos\alpha = E_r\cos\alpha+E_t\cos\gamma$$ (6.609)

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $\cos\alpha$ und die zweite mit $\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}$ und addieren

$$2E_e\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\alpha = E_t\left(\sqrt... ...psilon_2}{\mu_2}}\cos\alpha+\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\gamma\right)$$ (6.610)

Um $E_r$ zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (6.92) mit $\cos\gamma$ und die untere mit $\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}$, subtrahieren und erhalten

$$E_e\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\gamma-\sqrt{\frac... ...psilon_1}{\mu_1}}\cos\gamma+\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\alpha\right)$$ (6.611)

Damit erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

$$E_r = E_e\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\alpha-\sqrt{\fr... ...{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\gamma+\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\alpha}$$

$$E_t = E_e\frac{2\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\alpha} {\sqrt{... ...{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\alpha+\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\gamma}$$ (6.612)

Mit den Brechungsindizes $n_1 = \sqrt{\mu_1\varepsilon_1}$ und $n_2=\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}$ erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

$$E_r = E_e\frac{\frac{n_2}{\mu_2}\cos\alpha-{\frac{n_1}{\mu_1}}\cos\gamma} {{\frac{n_1}{\mu_1}}\cos\gamma+{\frac{n_2}{\mu_2}}\cos\alpha}$$

$$E_t = E_e\frac{2{\frac{n_1}{\mu_1}}\cos\alpha} {{\frac{n_2}{\mu_2}}\cos\alpha+{\frac{n_1}{\mu_1}}\cos\gamma}$$ (6.613)

Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

$$E_r = E_e\frac{{n_2}\cos\alpha-{{n_1}}\cos\gamma} {{n_1}\cos\gamma+{{n_2}}\cos\alpha}$$

$$E_t = E_e\frac{2{{n_1}}\cos\alpha} {{{n_2}}\cos\alpha+{{n_1}}\cos\gamma}$$ (6.614)

Die Brechungsindizes $n_1$ und $n_2$ können mit dem Snelliusschen Gesetz $n_1 \sin\alpha = n_2\sin\gamma$ eliminiert werden

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

$$E_r = E_e\frac{{\sin\alpha}\cos\alpha-{{\sin\gamma}}\cos\gamma} {{\sin\gamma}\cos\gamma+{{\sin\alpha}}\cos\alpha}$$

$$E_t = E_e\frac{2{{\sin\gamma}}\cos\alpha} {{{\sin\alpha}}\cos\alpha+{{\sin\gamma}}\cos\gamma}$$ (6.615)

Mit $\sin(\alpha \pm\gamma)\cos(\alpha \mp \gamma) = \sin\alpha\cos\alpha \pm \sin\gamma\cos\gamma$ werden die obigen Gleichungen

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:

$$E_r = E_e\frac{{\sin(\alpha-\gamma)}\cos(\alpha+\gamma)} {{\sin(\alpha+\gamma)}\cos(\alpha-\gamma)}$$

$$E_t = E_e\frac{2{{\sin\gamma}}\cos\alpha} {{\sin(\alpha+\gamma)}\cos(\alpha-\gamma)}$$ (6.616)

Die Quotienten aus $\sin$ und $\cos$ können zu $\tan$ zusammengefasst werden

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:

$$E_r = E_e\frac{\tan[\alpha-\gamma(\alpha)]}{\tan[\alpha+\gamma(\alpha)]}$$

$$E_t = E_e\frac{2\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha}{\sin[\alpha+\gamma(\alpha)]\cos[\alpha-\gamma(\alpha)]}$$ (6.617)

Darstellung der Richtungen der elektrischen Felder für die $s$- und $p$-Polarisation.

Im Grenzfall $\alpha \rightarrow 0$ müssen die Resultate für die $s$- und $p$-Polarisation übereinstimmen. Lässt man in Gleichung (6.99) $\alpha$ gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte elektrische Feld $E_{r,p}>0$. Andererseits ist der Grenzwert des elektrischen Feldes $E_{s,p}$ für $\alpha$ gegen Null bei Gleichung (6.87) negativ. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.16 die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte $E_{s,p}$ und $E_{p,r}$ sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen identisch.

Wenn in der Gleichung Gleichung (6.99) für $E_r$ der Nenner $\alpha+\gamma(\alpha)= \pi/2$ ist, divergiert der Nenner, Wir erhalten also $E_r(\alpha=\pi/2-\gamma(\alpha)) = 0$. Dies ist der Brewster-Winkel.

Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:

$$I_r = I_e\frac{\tan^2[\alpha-\gamma(\alpha)]}{\tan^2[\alpha+\gamma(\alpha)]}$$

$$I_t = I_e\frac{n_2}{n_1}\frac{4\sin^2\gamma(\alpha)\cos^2\alpha}{\sin^2[\alpha+\gamma(\alpha)]\cos[\alpha-\gamma(\alpha)]}$$ (6.618)

Wir haben die einfallende Intensität $I_e = n_1 \frac{\varepsilon_0 c}{2} E_e$ als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor $\frac{n_2}{n_1}$ für $I_t$.

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium ($n_1 = 1$) in das langsamere ($n_2 = 1.5$) eintreten.

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium ($n_1 = 1$) in das langsamere ($n_2 = 1.5$) eintreten. Die Intensität ist mit $I = n_iE^2$ berechnet worden, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren ($n_1 = 1.5$) Medium in das schnellere ($n_2 = 1$)eintreten.

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren ($n_1 = 1.5$) Medium in das schnellere ($n_2 = 1$) eintreten. Die Intensität ist mit $I = n_iE^2$ berechnet worden, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist

$$I_{e\text{,} \bot} = n \frac{\varepsilon_0 c}{2} E_e^2 \cos{\alpha}$$ (6.619)

Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist

$$I_{r\text{,} \bot} = n \frac{\varepsilon_0 c}{2} E_r^2 \cos{\alpha}$$ (6.620)

Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche

$$I_{g\text{,} \bot} = n' \frac{\varepsilon_0 c}{2} E_g^2 \cos{\alpha}$$ (6.621)

Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die $p$-Polarisation

$$I_{e\text{,} p \text{,} \bot} = n \frac{\varepsilon_0 c}{2}E_e^2 \cos{\alpha}$$

$$= I_{r\text{,} p\text{,} \bot}+I_{g\text{,} p\text{,} \bot}$$

$$= n \frac{\varepsilon_0 c}{2}E_e^2\frac{\tan^2[\alpha-\gamma(\alpha)]}{\tan^2[\alpha+\gamma(\alpha)]}\cos{\alpha}$$

$$+ n' \frac{\varepsilon_0 c}{2} E_e^2\frac{4\sin^2\gamma(\alpha)\c... ...\sin^2[\alpha+\gamma(\alpha)]\cos^2[\alpha-\gamma(\alpha)]}\cos(\gamma(\alpha))$$

$$= \frac{\varepsilon_0 c}{2}E_e^2$$

$$\left[n\frac{\sin^2[\alpha-\gamma(\alpha)] \cos^2[\alpha-\gamma(\... ...]\cos\alpha}{\sin^2[\alpha+\gamma(\alpha)]\cos^2[\alpha-\gamma(\alpha)]}\right.$$

$$+\left.n' \frac{4\sin^2\gamma(\alpha)\cos^2\alpha\cos(\gamma(\alpha))}{\sin^2[\alpha+\gamma(\alpha)]\cos^2[\alpha-\gamma(\alpha)]}\right]$$

$$= \frac{n\varepsilon_0 c}{2}E_e^2$$

$$\left[\sin^2\left[\alpha-\gamma\left(\alpha\right)\right]\cos^2\left[\alpha+\gamma\left(\alpha\right)\right]\cos\alpha\right.$$

$$+\left. \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma\left(\alpha\right)}4\sin^2\g... ...left(\alpha\right)\cos^2\alpha\cos\left(\gamma\left(\alpha\right)\right)\right]$$

$$\cdot\left[\sin^{2}\left[\alpha+\gamma\left(\alpha\right)\right]\cos^2\left[\alpha-\gamma\left(\alpha\right)\right]\right]^{-1}$$

$$= \frac{n\varepsilon_0 c}{2}E_e^2\cos\alpha$$

$$\left[\sin^2[\alpha-\gamma(\alpha)]\cos^2[\alpha+\gamma(\alpha)]\right.$$

$$+\left.4\sin\alpha\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha\cos(\gamma(\alpha))\right]$$

$$\cdot\left[\sin^2[\alpha+\gamma(\alpha)]\cos^2[\alpha-\gamma(\alpha)]\right]^{-1}$$ (6.622)

gilt.

Wir müssen also den Wert des Bruches

$$X = \left\{\sin^2[\alpha-\gamma(\alpha)]\cos^2[\alpha+\gamma(\alpha)]+ 4\sin\alpha\sin\gamma(\alpha)\cos\alpha\cos(\gamma(\alpha))\right\}$$

$$\cdot \left\{\sin^2[\alpha+\gamma(\alpha)]\cos^2[\alpha-\gamma(\alpha)]\right\}^{-1}$$

berechnen.

$$X = \left\{\sin^2[\alpha-\gamma]\cos^2[\alpha+\gamma]+ \sin(2\alpha)\sin(2\gamma)\right\}$$

$$\cdot\left\{\sin^2[\alpha+\gamma]\cos^2[\alpha-\gamma]\right\}^{-1}$$ (6.623)

$$= \left\{\sin^2[\alpha-\gamma]\cos^2[\alpha+\gamma]+ \sin(2\alpha)\sin(2\gamma)\right\}$$

$$\cdot\left\{\sin^2[\alpha+\gamma]\cos^2[\alpha-\gamma]\right\}^{-1}$$

$$= \left\{\frac{1}{2}\left(1-\cos[2\alpha-2\gamma]\right)\frac{1}{2}\left(1+\cos[2\alpha+2\gamma]\right)\right.$$

$$+\left. \sin(2\alpha)\sin(2\gamma)\right\}$$

$$\cdot\left\{\frac{1}{2}\left(1-\cos[2\alpha+2\gamma]\right)\frac{1}{2}\left(1+\cos[2\alpha-2\gamma]\right)\right\}^{-1}$$

$$= \left\{\left(1-\cos[2\alpha-2\gamma]\right)\left(1+\cos[2\alpha+2\gamma]\right)\right.$$

$$+\left. 4\sin(2\alpha)\sin(2\gamma)\right\}$$

$$\cdot\left\{\left(1-\cos[2\alpha+2\gamma]\right)\left(1+\cos[2\alpha-2\gamma]\right)\right\}^{-1}$$

$$= \left\{\left(1-\cos[2\alpha-2\gamma]\right)\left(1+\cos[2\alpha+2\gamma]\right)\right.$$

$$+\left. 2\left(\cos[2\alpha-2\gamma]-\cos[2\alpha+2\gamma]\right)\right\}$$

$$\cdot\left\{\left(1-\cos[2\alpha+2\gamma]\right)\left(1+\cos[2\alpha-2\gamma]\right)\right\}^{-1}$$

Wir setzen $A = \cos[2\alpha-2\gamma]$ und $B = \cos[2\alpha+2\gamma]$ und schreiben die Gleichung um

$$X = \frac{(1-A)(1+B)+2A-2B}{(1-B)(1-A)}$$ (6.624)

$$= \frac{1- A +B - AB+2A-2B}{1+A-B-AB}$$

$$= \frac{1+ A -B - AB}{1+A-B-AB}$$

$$= 1$$

Da $X=1$ ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für $p$-Polarisation Energieerhaltung gilt.

Eine ähnliche Gleichung kann man für die $s$-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren ($n_1 = 1$) Medium in das langsamere ( $n_2 = 1.5$) eintreten.

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren ($n_1 = 1.5$) Medium in das schnellere ($n_2 = 1$) eintreten.

Für beide Bilder wurde die Intensität mit $I = n_iE^2\cos(\alpha_i)$ berechnet, wobei $n_i$ die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und $\alpha_i$ der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der $p$-Polarisation und der $s$-Polarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der einfallenden elektromagnetischen Welle.

Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.

Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von $\varepsilon\vec{E}= \vec{D}$ liefert das Snelliussche Gesetz.

Evaneszente Wellen

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 193,196])

Versuch zur Vorlesung: Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)

Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium in das schnellere eintreten, es Winkel gibt ( $n_2\sin\gamma >1)$, für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der $\vec{k}$-Vektor de elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus $e^{ikr}$ mit $k = i\kappa$ der exponentielle Dämpfungsfaktor $e^{-\kappa r}$, wobei $\kappa$ vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.

Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.