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3 Formeln

Tabelle 1: Differentialrechnung, Winkelfunktionen, Volumina

∑ i=0∞---(k-1)2i+1-- (2i+1)(k+1)2i+1 = lnk- 2

∑ i=0∞ki i! = ek

∑ i=1∞∘ -- 21i = 2+√2-√2- (---2)---

∑ i=1∞(-1)i+1ki -i = ln k

∑ i=0∞k-i = -k- k-1

∫ xndx = -1-- n+1xn+1

∫ sin(x)dx = - cos(x)

∫ cos(x)dx = sin(x)

∫ dx x- = ln(x)

∫ tan(x)dx = ln(tan(x))

∫ exdx = ex

∫ ln(x)dx = x ln(x) - x

∫ cot(x)dx = ln (sin(x))

∫ codsx2(x) = tan(x)

∫ -dx-- sin2(x) = - cot(x)

∫ --dx- a2+x2 = 1 a arctan (x) a

∫ axdx = ax lna-

∫ dx √a2--x2 = arcsin (x) a

d- dx(u⋅v) = du dx⋅v + u⋅dv dx

-d dxu(v(x)) = du(v) dv⋅dv(x) dx

d- dxxn = nxn-1

-d dx ln(x) = 1 x

d- dx sin(x) = cos(x)

-d dx cos(x) = - sin(x)

d- dx tan(x) = --1--- cos2(x)

-d dx arcsin(x) = --1--- √1-x2

ddx arccos(x) = -√11--x2

ddx arctan(x) = 1+1x2

∫ af(x)dx = a∫ f(x)dx

∫ f(y)dy = ∫ f[ϕ(x)]dϕ(x) dxdx

∫ [u(x) + v(x) - w (x )] dx = ∫ u(x)dx + ∫ v(x)dx -∫ w(x)dx
∫ u(x)( ) dv(x) dxdx = u(x)v(x) -∫ v(x)( ) du(x) dxdx
∫ df(x) (-dx ) f(x)dx = ∫ df(x) f(x) = ln[f(x)] + C
f(x) = f(a) + (x-a) --1!-ddft(a) + (x- a)2 --2!--- 2 ddtf2(a) + … + (x-a)n --n!-- n ddtnf(a) + …
f(x + Δx) = f(x) + Δx- 1!df dt(x) + (Δx-)2- 2!d2f- dt2(x) + … + (Δx)n n!dnf dtn(x) + …

sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β)

cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β)

tan(α ± β) = tan(α)±tan(β)- 1∓tan(α)tan(β)

sin (α) 2- = ∘ 1------------- 2 (1 - cos(α))

cos (α) 2 = ∘ -------------- 1(1 + cos(α)) 2

tan ( ) α- 2 = ∘ ------- 1+cos(α) 1-cos(α)

sin 2(α) + cos 2(α) = 1

sin(α) = ∘ -------2--- 1 - cos (α )

sin (α ) = tan(α) √1+tan2(α)-

cos (α) = 1 √1+tan2-(α)

sin(α) ± sin(β) = 2 sin ( α±β) 2 cos ( α∓β) 2
cos(α) + cos(β) = 2 cos (α+ β) --2- cos (α- β) --2-
cos(α) - cos(β) = -2 sin ( ) α-2β- sin ( ) α-2β-
tan(α) ± tan(β) = -sin(α-±β)-- cos(α)cos(β)

i = √--- - 1 ⇔ i2 = -1

eiωt = cos(ωt) + i sin(ωt)

z = x + iy ⇒z = x - iy

konjugiert komplex

1i = -i

z = x + iy ⇒ zz = x2 + y2

z = x + iy ⇒ℜ(z) = x

Realteil

z = x + iy ⇒ℑ(z) = y

Imaginärteil

AWürfel = 6a2

V Würfel = a3

AQuader = 2(ab + ac + bc)

V Quader = abc

V Pyramide = 1 3Ah

V Kugel = 4π 3-r3

AKugel = 4πr2

Der Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreieckes teilt die Höhe im Verhältnis 2 : 1

Tabelle 2: Reihen
Funktion Potenzreihe Konvergenz
(1 ± x)m 1 ± mx + m(m--1)- 2!x2 ±m-(m--1)(m--2) 3! + … |x|≤ 1
+(±1)nm-(m--1)...(m-n+1) n!xn + …
sin(x + Δx) sin(x) + Δx- 1! cos(x) + (Δx)2 2!f′′(x) + … |Δx| < ∞
+(Δx)n -(n)!- sin(x + πn -2) + …
cos(x + Δx) cos(x) - Δx sin(x) - 2 Δx--co2!s(x) + 3 Δx-3si!n(x) |Δx| < ∞
+Δx4cos(x) 4! -… + Δxncos(x+nπ2 ) n! ±…
tan x x + 1 3x3 + -2 15x5 + -17 315x7 + -62- 2835x9… |x| < π 2
cot x 1 x -[ ] x x3 2x5 x7-- 3 + 45 + 945 + 4725 ... 0 < |x| < π
ex 1 + x- 1! + x2- 2! + x3 3! + x4 4! + … |x| < ∞
ax = ex ln a 1 + xln-a 1! + (x-lna)2 2! + (xlna)3 3! + (xlna)4- 4! + … |x| < ∞
ln x 2[x-1 (x-1)3 (x- 1)5 x+1 + 3(x+1)3 + 5(x+1)5 + ... x > 0
--(x-1)2n+1--- ] + (2n+1)(x+1)2n+1 + ...
ln x (x - 1) -(x-1)2- 2 + (x--1)3- 3 + … 0 < x ≤ 2
+(-1)n+1(x-1)n --n--- + …
ln x x-1 x + 1 2(x--1) x2 + 1 3(x-1) x3 + … x > 1 2
+1 n(x-1) -x-n + …
ln(1 + x) x - 2 x2- + 3 x3- -4 x4- + … -1 < x ≤ 1
+(-1)n+1 n xn + …
arcsin x x + 3 2x⋅3 + 5 12⋅3⋅x4⋅5 + 5 12⋅⋅3⋅4⋅56x⋅7 + … |x| < 1
arccos x π2 -[ 3 5 5 ] x + x2⋅3 + 1⋅2⋅34x⋅5 + 12⋅3⋅4⋅⋅5x6⋅7-+ ... |x| < 1
arctan x x -x3- 3 + x5 5 -… + (-1)nx2n+1 2n+1 + … |x| < 1
Tabelle 3: Vektorgleichungen
Sei a = (xa,ya,za), b = (xb,yb,zb) und c = (xc,yc,zc)

a⋅b = xaxb + yayb + zazb

Skalarprodukt

a⋅b = ab cos(φ)

φ: Winkel zwischen a und b

a×b = ( ) yazb - zayb || zaxb - xazb || ( xayb - yaxb )

Vektorprodukt

|a × b| = ab sin(φ)

φ: Winkel zwischen a und b

a⋅(b×c)

Spatprodukt

a× (b×c) = (a⋅c)b- (a⋅b)c
(a×b)⋅(c×d) = (a⋅c)(b⋅ d) - (a⋅d)(b⋅c)

G(x,y,z) =(Gx (x,y,z),Gy (x,y,z),Gz (x,y,z))

Vektorfeld als Funktion von
r = (x,y,z)

U(x,y,z)

skalare Funktion von
r = (x,y,z)

grad U(x,y,z) =( ∂Gx(x,y,z) ∂Gy(x,y,z) ∂Gz(x,y,z)) ∂x , ∂y , ∂z

Gradient (Richtung des steilsten Anstiegs

div G(x,y,z) =∂Gx(x,y,z) ∂x + ∂Gy(x,y,z) ∂y + ∂Gz(x,y,z) ∂z

Divergenz (Quellenstärke)

rot G(x,y,z) =( ∂Gy(x,y,z)- ∂Gz(x,y,z) ∂z ∂y ,∂G (x,y,z) --z∂x--- -∂G (x,y,z) --x∂z---, ) ∂Gx(x,y,z) ∂Gy(x,y,z) ∂y - ∂x

Rotation (dreht ein Vektorfeld ein Objekt, auf das es wirkt?)

Tabelle 4: Physik: Elektrizität und Magnetismus

Formeln

Bemerkungen

Epot(r2) = Epot(r1) -∫ r1r2-1-- 4πε0qQ2- rr r⋅dr

Potentielle Energie einer Probeladung

φ(r) = U(r ) = -Q-- 4πε01 r = Epot(r) q

Elektrostatisches Potential und Spannung

U(r) = -1-- 4πε0 ∫ ρel(r) |r-ri|dV = -1-- 4πε0 ∫ dq(r) |r- ri|

Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung

ΔU(r) = -ρ (r) -elε0--

Poisson-Gleichung

Uj - Ui = QC-- ji = Uji = φij

Kapazität

wel = ε0E2 2 = E⋅D- 2

Energiedichte des elektrostatischen Feldes

σMaxwell = lim ΔA→0ΔF-(r)⋅n ΔAσMaxwell = F- A = ε0- 2E2 = D-⋅E- 2

Maxwell-Spannung

pind = (Ze)2 -k---⋅E = αE

induziertes Dipolmoment

Ei = 31ε0P

Lorentz-Beziehung für das innere Feld

D = εε0E = (1 + χe) ε0E

dielektrische Suszeptibilität

I = ΔQ-|| ΔtFläche

Makroskopischer Strom

⟨v⟩ = 1 n ∑ jnj⋅vj

Mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger

i = nq⟨v ⟩

Stromdichte

I(F ) = ∫ F i⋅da

Gesamtstrom

i = ∑ knkqk⟨vk⟩

Strom bei verschiedenen Ladungsträgern

∫ Ai⋅da = ∫ V div idV = ∫ V ∂- ∂tρeldV

Kontinuitätsgleichung

div i(x,t) = -∂- ∂tρel(x,t)

Differentialform der Kontinuitätsgleichung

i(E ) = σE

Ohmsches Gesetz

I = G⋅U

integrales ohmsches Gesetz

i = nq2⟨t⟩ ME = nq2τ ME

Stromdichte und Relaxationszeit

σ = ∑ knkq2kτk Mk

Leitfähigkeit und Relaxationszeit

div [σ(x,y,z)grad U (x,y,z)] = 0

Potential und Leitfähigkeit

FM = const⋅ℓ⋅I1r⋅I2

Magnetische Kraft zweier paralleler Leiter

Fz(r) = 2qπ⋅εv⋅I⋅c2 0⋅1r

Magnetische Kraft auf eine sich parallel zu einem Strom bewegende Ladung

μ0 = -1-- ε0c2

Induktionskonstante

B(r) = μ0 2π-⋅I -r

Magnetfeld eines geraden Leiters mit dem Strom I

dF = I⋅dℓ×B

Biot-Savart-Kraft

B = rot A

Vektorpotential

ΔA(x,y,z) = -μ0i(x,y,z )

Ampèresches Durchflutungsgesetz und Quellenfreiheit(Vektorpotential)

A(r) = μ40π ∫∫∫i|r(-rr)′|dV ′

Berechnung des Vektorpotentials

B(r) = μ0I 4π ∮ Leiterdℓ×ρ ρ3

Integralform der Formel von Laplace

UHall = -I⋅B- q⋅b⋅n

Hall-Spannung

E ′x=γ (vy)(Ex + vy⋅Bz) E ′=E y′ y E z=γ (vy)(Ez - vy⋅Bx ) ′ ( vy- ) B x=γ (vy) Bx - c2Ez B ′=B y y( ) B ′=γ Bz + vyEx z c2

Lorentztransformation der Felder

Ex′ = γ(vy)( ) Ex + vy-1⋅Hz c2ε0
Ey′ = Ey
Ez′ = γ(vy)( ) Ez - vy-1Hx c2ε0
Hx′ = γ(vy)(H - v ε E ) x y 0 z
Hy′ = Hy
Hz′ = γ(vy)(Hz + vyε0Ex)

Lorentztransformation der Felder

γ = ---1-- ∘1-- v2 c2

Gamma-Faktor

ϕB = ∫∫ A B⋅da

Magnetischer Fluss

UEMK′ = γ(v)UEMK

Lorentztransformation der EMK

B = μ0N- ℓI

Magnetfeld einer langen Spule

ϕB = N⋅B⋅A = μ0N2 -ℓ-I⋅A = μ0n2AℓI

Fluss einer langen Spule

L = ϕBI-- = μ0 2 Nℓ-A = μ0n2Aℓ

Selbstinduktivität einer langen Spule

U = -dϕ dmt-- = -LdIdt

Selbstinduktionsspannung

U2 = -NN2- 1U1

Übersetzungsverhältnis eines Transformators

I2 = -NN1- 2I1

Übersetzungsverhältnis eines Transformators

U2I2 = U1I1

Übersetzungsverhältnis eines Transformators für Leistungen

∑ ∀kQuellenUk = ∑ ∀jVerbraucherUj

Maschenregel

∑ ∀keines KnotensIk = 0

Knotenregel

Ueff = Urms = ∘ -------------- 1-t+∫T 2 T t U (τ )d τ

Effektivspannung

XL = ωL

Impedanz einer Spule

XC = -1- ωC

Impedanz eines Kondensators

d2I dt2 + R- LdI dt + -1- LCI = 0

Schwingkreis

Ueff,i = NBA ω --√2--

Induzierte Spannung in Generator

Teff(ω) = NABU-- R -N2A√2B2- 2Rω

Drehmomentkurve eines Nebenschlussmotors

Teff(ω) = √----√2NAKU2-------2 [ 2R+ 2RE+K ⋅N⋅Aω]

Drehmomentkurve eines Hauptschlussmotors

B(t) = 2⋅B(t)

Wideroe-Beziehung für das Betatron

wB = B2- 2μ0

Energiedichte des Magnetfeldes

Ω = e 2m-B

Larmorfrequenz

mA = - 2 2 Z-⋅e10m⋅Re--B

Diamagnetisches Moment

ms = -e- ms

Magnetisches Moment des Elektrons

∂2E- ∂t2 = -c2△E

Wellengleichung für E

∂2B- ∂t2 = -c2△B

Wellengleichung für B

R* = 1 π ln (4a) d√ --- μ0ϵ0

Wellenwiderstand eines Zweidrahtsystems

R0* = √ --- μ0ϵ0 = 377Ω

Wellenwiderstand des Vakuums

S(r,t) = 1- μ0E(r,t) ×B(r,t)

Energiefluss im Vakuum, Poynting-Vektor

S(r,t) = E(r,t) ×H(r,t)

Energiefluss in Materie, Poynting-Vektor

E(r,Θ,t ) = --e-- 4πϵ0c2⋅1 r⋅ ′ |a(t )| sin Θ =ez0ω22 4πϵ0c⋅1 r⋅ sin [ ( )] ω t - r c sin Θ

Elektrisches Strahlungsfeld eines Atoms

B(r,Θ,t) = 1 ce(r,Θ,t)

Magnetisches Strahlungsfeld eines Atoms

S(r,Θ,t) = ∘ --- ϵ0 μ0E2(r,Θ,t )

Energiefluss des Strahlungsfeldes eines Atoms

I(r,Θ ) =⟨S (r,Θ,t )⟩t = ∘ --- ϵμ00 e2z2ω4 (4π0ϵ0c2)2 2 si2nr2Θ

Intensität des Strahlungsfeldes eines Atoms

α = β

Reflexionsgesetz

√ -- ε1 sin(α) = √ -- ε2 sin(γ)

Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius

Er = Eenμ11 cosα - nμ22 cosγ n1---------n2----- μ1 cosα + μ2 cosγ
Et = Ee 2nμ11 cos α n1---------n2----- μ1 cosα + μ2 cosγ

Fresnelsche Gleichungen für
s-Polarisation

Er = Eesinγ-(α)cos-α---sin-α-cosγ(α-) sinγ (α)cos α + sin α cosγ(α )
= -Eesin(α - γ(α )) -------------- sin(α + γ(α))
Et = Ee-------2-sin-γ(α-)cosα-------- sinγ (α)cos α + sin α cosγ(α )
= Ee2-sin-γ(α-)cosα- sin (α + γ(α))

Fresnelsche Gleichungen für
s-Polarisation bei nichtmagnetischen Materialien

Er = Ee∘ --- ∘ --- εμ22 cos α - ε1μ1 cosγ ∘-----------∘---------- εμ1cos γ + με2 cosα 1 2
Et = Ee ∘ --- 2 ε1cos α ∘--------μ1-∘---------- ε2cos α + ε1-cosγ μ2 μ1

Fresnelsche Gleichungen für
p-Polarisation

Er = Eetan[α --γ(α)]- tan[α + γ(α)]
Et = Ee 2sinγ(α )cosα -------------------------- sin[α + γ (α )]cos[α - γ(α)]

Fresnelsche Gleichungen für
p-Polarisation bei nichtmagnetischen Materialien

Tabelle 5: Physik: Mechanik

Formeln

Bemerkungen

F(r) = -grad (Epot (r))

p(t2) -p(t1) = ∫ t1t2Fdt

Kraftstoss

Ekin = 12mvs2 + 12 ∑ miui2 = E kin + Ekin,innen

Energie eines Systems von Massenmittelpunkten

F21 = -F12 = -Gm1m2r12 r312

Gravitationsgesetz

ϕ(r ) = -Gm -r

Gravitationspotential

2 ddtϕ2 + ω02ϕ = 0

Bewegungsgleichung, z.B. eines Pendels

ϕ(t) = ϕ0 sin(ωt) + ϕ1 cos(ωt)

Lösung der vorherigen Bewegungsgleichung

Laborsystembewegtes Inertialsystem
x = x′ + ut x′ = x - ut
y = y′ y′ = y
z = z′ z′ = z
t = t′ t′ = t

Galileotransformation

x= (x ′ + v (ct′))√--1---- c 1-v2∕c2 ct= (v-x′ + (ct′)) √--1---- c 1-v2∕c2

Lorentz-Transformation

E = ∘ ------------ m20c4 + c2p2

Relativistischer Energiesatz

E = m(v)c2

relativistische Energie

m(v) = √--m0---- 1-v2∕c2

relativistische Masse

w = 1+uu+vv∕c2-

Geschwindigkeitsaddition

ρ(r) = ρm(r ) = lim ΔV →0Δm-(r) ΔV

Dichte

rS = ∫ rdm V∫dm- V = ∫ ρ(r)rdxdydz V∫ρ(r)dxdydz V

Schwerpunkskoordinate

m 2 ddtx2 = -kx

Bewegungsgleichung eines Feder-Masse-Systems

ω = ∘ -- k- m

Resonanzkreisfrequenz

x(t) = A cos (ωt + δ)

Lösungsansatz

mẍ(t) + bẋ(t) + kx(t) = z0k cos(ωt)

Bewegungsgleichung des getriebenen harmonischen Oszillators

δ(ω) = arctan ( ) --ω2ω02- Q(ω0-ω )

Phase des getriebenen Oszillators

A(ω) = -----z0ω20------ ∘--2---22-ω2ω20 (ω0-ω ) + Q2

Amplitude des getriebenen harmonischen Oszillators

λ

Wellenlänge

k = 2πλ

Wellenzahl

ν

Frequenz

ω = 2πν

Kreisfrequenz

f(x,t) = f(kx - ωt)

allgemeine Welle

ω = kv

wenn v die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist

v = ∘ -- F- μ = -- ∘ σ ρ

Ausbreitungsgeschwindigkeit auf einem Seil (μ = lim Δℓ→0Δm- Δx)

P = ΔΔEt- = 12μA2ω2v

transportierte Leistung in einer Seilwelle

Tabelle 6: Konstanten Elektrizität und Magnetismus

Werte

Bemerkungen

ε0 = 8.8544⋅10-12 C2N-1m-2

Dielektrizitätskonstante

μ0 = -1-- ε0c2

Induktionskonstante

q = -e = -1.6022⋅10-19 C

Elektronenladung

me = 9.1096⋅10-31 kg

Elektronenmasse

q = e = 1.6022⋅10-19 C

Protonenladung

mp = 1.6726⋅10-27 kg

Protonenmasse

Atom/Molekülα∕( ) 10-40AsmV2-
He 0.2
Li+ 0.03
Ne 0.4
K+ 0.9
Xe 3.5
O-- 3.5
CCL4 10
CL- 4
I- 7

atomare Polarisierbarkeit bei gefüllter Elektronenschale

Atom/Molekülα∕( 2) 10-40AsmV--
H 0.7
Li 13
K 38
Cs 46

atomare Polarisierbarkeit bei nicht gefüllter Elektronenschale

Material ε
Vakuum 1
Luft 1.0006
Paraffin 2.1
Glas 5-9
Wasser (291K,0Hz ) 81
Wasser (291K,1P Hz ) 1.77

Relative Dielektrizitätszahl

Tabelle 7: Konstanten Mechanik

Werte

Bemerkungen

mE = 5.9736⋅1024 kg

Masse der Erde

rE = 6371000 m

Erdradius

G = 6.6742⋅10-11 m3/(kgs2)

Gravitationskonstante

ρ = 1, 3mk3g

Dichte von Luft

g = 9, 81-m2 s

Betrag des Feldvektors der Gravitation

1 Lj = 9.461 Pm

Lichtjahr

rP = 46, 0 Gm

Perihelabstand des Merkur

rA = 69, 8 Gm

Aphelabstand des Merkur

c = 299792458 m/s

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

T0 = 365.24 d

Umlaufdauer der Erde um die Sonne in Sonnentagen

TS = 366.24 d

Umlaufdauer der Erde um die Sonne in Sternentagen

r0 = 149, 597 Gm

Mittlerer Radius der Erdbahn

TST = 86164 s

Sternentag

TTag = 86400 s

Sonnentag

ηH2O,20° = 0.00102 Ns/m2

Viskosität des Wassers bei 20°

ρH2O,20° = 998.20 kg/m3

Dichte des Wassers bei 20 °

Tabelle 8: Vorfaktoren

yg = 10-24 g

zg = 10-21 g

ag = 10-18 g

fg = 10-15 g

pg = 10-12 g

ng = 10-9 g

µg = 10-6 g

mg = 10-3 g

kg = 103 g

Mg = 106 g

Gg = 109 g

Tg = 1012 g

Pg = 1015 g

Eg = 1018 g

Zg = 1021 g

Yg = 1024 g

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