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3.1  Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 64])

PIC

Berechnung des Stromes in einem Medium

Wir betrachten Ladungsträger mit der einheitlichen Ladung q. Die Ladungsträgerdichte nj habe die Geschwindigkeit vj.

Der Strom δIj durch das Flächenelement da ist

δI = δQj- j dt
(3.1)

Die Ladungsmenge ist

δQj = qnj | vj | ·dt · cosα · | da |
(3.2)

und damit

δIj = qnj | vj | cosα | da |= qnjvj·da
(3.3)

Der gesamte Strom der Ladungsträger q ist dann

( ) dI (da ) = nq1-( ∑ n v ) ·da n j j j
(3.4)

wobei n = Σnj ist.

Die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger ist

1 ∑ ⟨v⟩ = -- nj ·vj n j
(3.5)

Wir definieren das Vektorfeld der Stromdichte

i = nq⟨v ⟩
(3.6)

i ist abhängig vom Ort, da auch n und ⟨v⟩ ortsabhängig sind.

Der Strom bezüglich da ist dann

dI (da) = i·da
(3.7)

und, integriert,

∫ I (A ) = i·da A
(3.8)

Diese Gleichung besagt, dass der Strom gleich dem Fluss des Stromdichtefeldes durch eine Fläche A ist.

Wird der Strom durch mehrere Arten von Ladungsträgern gebildet, schreibt man

∑ i = nkqk ⟨vk ⟩ k
(3.9)

Beispiel:

Driftgeschwindigkeit in einem Kupferdraht mit 10mm Durchmesser und I = 100A

Annahme: 1 Elektron pro Cu - Atom

Anzahl Cu - Atome pro Volumen

8930 kg·6.02 ·1023 -1-- na = -ρNA--= -----m3------------Mol- (3.10 ) MMol 0.0635kg ∕M ol 28 1 = 8.47·10 m3- = ne
⟨v⟩ = --I--= (3.11 ) neA -----------------100A------------------- 28-1- π 2 2 -19 8.47·10 m3 · 4 (0.01) m ·1.6 ·10 C ≈ 1μm ∕s

Mit v(t) = v0 cos(2πνt) und x(t) = ∫ v(t)dt hat man

v0-- x(t) = 2πν sin (2πνt) + const

Die maximale Strecke erhält man wenn der Sinus von -1 nach +1 geht.

Folgerung: bei ν = 50Hz Wechselstrom zittern die Elektronen einige -1μm-∕s-- 2π·50Hz·2 ≈ 6.4nm weit.

PIC

Berechnung des Flusses eines Stromdichtefeldes durch ein geschlossenes Gebiet

Wir betrachten eine geschlossene Fläche A, die wir in zwei Teilflächen A′ und A′′ aufteilen, so dass auf der Fläche A′ die Feldlinie aus der Fläche austreten und auf der Fläche A′′ sie eindringen.

Die Ladungserhaltung fordert:

d- Iaus - Iein = - dtQinnen
(3.12)

Wir schreiben die Gleichung mit der Stromdichte um

∫ ∫ ∫ ′ ′′ d- i·da - i (- da ) = - dt ρeldV A′ A′′ V(A)
(3.13)

oder

∫ d ∫ i·da = - -- ρeldV A dtV
(3.14)

Dies ist die Integralform der Kontinuitätsgleichung.

Mit dem Gaussschen Satz bekommen wir

∫ ∫ ∫ d i·da = div idV = - --ρeldV A V V dt
(3.15)

Die Differentialform der Kontinuitätsgleichung lautet demnach:

d div i(x,t) = - --ρel(x,t) dt
(3.16)

Bei stationären Strömen hängen i und ρel nicht von der Zeit ab, so dass

div i = 0
(3.17)

ist.

∫ i·da = 0 A
(3.18)

Beispiel:

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Stromfluss in einem Kondensator

Wir betrachten eine quasistationäre Änderung am Kondensator

∬ ∬ ∬ i·da = i·da + i·da = 0 A1 a1 a2
(3.19)

Mit    I1 = -∬a1i·da   und   I2 = ∬a2ida  folgt

I1 = I2
(3.20)

d.h. es scheint, als ob der Strom durch den Kondensator hindurch fliessen würde.

Wenn wir die Kontinuitätsgleichung auf A2 anwenden, bekommen wir

∬ dQ-(t) ida = - I1(t) = - dt a3
(3.21)

oder

dQ--(t) I (t) = dt
(3.22)

Die Einheit der Stromstärke ist Ampère [A ]

C- 1A = 1 s
(3.23)


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