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6.2  Allgemeine Lösung der Wellengleichung

Es gibt eine grosse Klasse von Funktionen (skalar oder vektoriell), die die Wellenleitergleichung lösen. Im Folgenden besprechen wir skalare Funktionen, die aber auch als eine Vektorkomponente aufgefasst werden können. Alle Funktionen, die nur von einer skalaren Variablen

u = k ·r - ωt
(6.1)

abhängen lösen die Wellengleichung, wenn sie genügend oft stetig differenzierbar sind. Wir betrachten die Funktion f(u) = f(u(r,t)). und setzen sie in c2Δf(u(r,t)) = (2∕∂t2)f(u(r,t)) ein. Die Kettenregel der Differentiation ergibt für u = k·r- ωt = kxx + kyy + kzz - ωt

 ∂
---
∂tf(u(x,y,z,t)) = ∂f (u )
------
 ∂u·∂u
---
∂t (6.2)
  2
-∂--
∂t2f(u(x,y,z,t)) = ∂--
∂t·[                    ]
  ∂f(u(x,-y,z,t))· ∂u-
        ∂u         ∂t
=  2
∂-f(u-)
 ∂u2·∂u-
∂t·∂u-
 ∂t + ∂f-(u(x,y,z,t))
      ∂u·  2
∂-u-
∂t2
  = ∂2f(u-)
 ∂u2·(   )
  ∂u-
  ∂t2 (6.3)

Die letzte Umformung in Gleichung (6.3) beruht auf

 2            2
∂--u(r,t) = -∂--(kxx + kyy + kzz - ωt) = 0
∂t2         ∂t2

Da (∂∕∂t)u = -ω ist, ist auch

 ∂2                 ∂2f (u)
--2-f(u(x,y,z, t)) = ----2--· ω2
∂t                    ∂u
(6.4)

Analog erhalten wir für die Raumkomponente x

-∂-
∂xf(u(x,y,z,t)) = ∂f-(u-)
 ∂u·∂u-
∂x (6.5)
 ∂2
---2
∂xf(u(x,y,z,t)) = ∂
---
∂x·[                    ]
 ∂f (u(x,y,z,t))  ∂u
 ---------------· ---
       ∂u         ∂x
= ∂2f(u-)
 ∂u2·∂u-
∂x·∂u-
∂x + ∂f-(u(x,y,z,t))
      ∂u·∂2u-
∂x2
  =  2
∂-f(u-)
 ∂u2·(   )
  ∂u-
  ∂x2 (6.6)

Also ist

Δf(r,t) = Δf(u(r,t))
= (                  )
 -∂2-
 ∂x2 f(u (x, y,z,t)) + (                  )
  -∂2-
  ∂y2 f(u(x,y,z, t)) + (                  )
 -∂2-
 ∂z2 f(u (x, y,z,t))
= ∂2f (u)
--∂u2--·( (     )    (     )    (     ) )
    ∂    2     ∂    2     ∂    2
(   ∂x-u   +   ∂yu    +   ∂zu   )
= ∂2f (u)
-----2-
  ∂u·(  2    2    2)
  kx + k y + k z
=   2
∂--f(u)
  ∂u2·(   )
  k2 (6.7)

Damit lautet die Wellengleichung mit Gleichung (6.3) , Gleichung (6.6) , Gleichung (6.4) und Gleichung (6.7)

c2Δf(r,t) = c2Δf(k·r- ωt) =  ∂2
---2
∂tf(k·r- ωt) =  ∂2
---2
∂tf(r,t)
c2∂2f(u)-
 ∂u2·( 2)
 k = ∂2f-(u)
  ∂u2·ω2
c2k2 = c2|k|2 = ω2 (6.8)

Damit können wir sagen:


Jede Funktion E(u) mit u = k·r - ωt ist eine Lösung der Wellengleichung
                 ∂2
c2ΔE  (u(r,t)) = --2E (u(r,t)),
                 ∂t

sofern

     ω
c = ---
    |k|
(6.9)

gilt.




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