Die Diracsche Deltafunktion ist ein nützliches Instrument, um diskrete Ladungsverteilungen, Kräfte, Punktmassen als kontinuierliche Verteilung oder Kraftfelder zu beschreiben.
Wir beginnen, indem wir die Funktion
![]() | (C.1) |
Darstellung von f(x), wobei a variiert wird.
In der Abbildung C.1 sieht man, dass mit kleiner werdendem a die Amplitude von f(x) immer grösser wird. Die Fläche unter der Kurve
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ist konstant und unabhängig von a. Wir definieren nun die Diracsche Delta-Funktion
![]() | (C.3) |
Damit ist auch
![]() | (C.4) |
Als Anwendung betrachten wir das Integral des Produktes
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wobei g(x) genügend oft (Fragen Sie einen Mathematiker oder lesen die Packungsbeilage oder ein Mathematikbuch) stetig differenzierbar sein soll. Die Taylorreihe von g(x) ist dann
![]() | (C.5) |
Dann ergibt das Integral
∫ -∞∞g(x)δ(x)dx | = lim a→0 ∫ -∞∞g(x)f(x)dx | (C.6) | |
= lim a→0 ∫
-∞∞![]() | |||
= lim a→0 ∫
-a∕2a∕2![]() ![]() | |||
= lim a→0![]() | |||
= g(0) + lim a→0![]() | |||
= g(0) + lim a→0![]() |
Damit ist klar, dass die nützliche Gleichung
![]() | (C.7) |
gilt. Man kann sie anwenden, zum Beispiel im Gaussschen Gesetz, wenn man das elektrische Feld einer Ebene berechnen will. Wir setzen für die Ladungsdichte
![]() |
Für die Einheiten haben wir
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Der Unterschied in den Dimensionen rührt daher, dass die Delta-Funktion δ(z)
implizit die Dimension = m-1 hat, sonst wären die Definition in Gleichung (C.3)
und Gleichung (C.1) dimensionsmässig nicht korrekt.
Das Gausssche Gesetz sagt dann
![]() ![]() ![]() | = ![]() | = | ![]() | ||||
= ![]() | = | ![]() |