(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 190])
Im Folgenden sind ,
,
und
Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f
ihre Längen, k eine Zahl und φ(
) eine skalare Funktion. Die Komponenten der
Vektoren in kartesischen Koordinaten sind
Für die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.
Skalarprodukt
![]() | (C.1) |
Vektorprodukt
![]() | (C.2) |
Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)
![]() ![]() | = ![]() ![]() | (C.3) |
![]() ![]() | = -![]() ![]() | (C.4) |
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn
![]() | (C.5) |
Sie sind kollinear, wenn
![]() | (C.6) |
Doppeltes Vektorprodukt
![]() | (C.7) |
Spatprodukt oder gemischtes Produkt
![]() ![]() | = ![]() ![]() | ||
= ![]() ![]() | |||
= -![]() ![]() | |||
= -![]() ![]() | |||
= -![]() ![]() | |||
= axbycz + aybzcx + azbxcy -![]() | (C.8) |
Drei Vektoren sind komplanar, wenn
![]() | (C.9) |
Lagrangesche Identität
![]() | (C.10) |
Vierfaches Vektorprodukt
![]() | (C.11) |
Ableiten eines Vektors
![]() | (C.12) |
Ableitung eines Produktes
![]() | (C.13) |
Ableitung des Skalarproduktes
![]() | (C.14) |
Ableitung des Vektorproduktes
![]() | (C.15) |
Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist ·
= a2 = const. Aus
Gleichung (C.14) folgt
![]() | (C.16) |
Taylorentwicklung einer Vektorfunktion
![]() | (C.17) |
Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung
![]() | (C.18) |
Ableitung in Richtung des Einheitsvektors
in Richtung von
![]() | (C.19) |
Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem
stärksten Abfall (Einheitsvektor )
![]() | (C.20) |
Ableitung eines Vektorfeldes nach einer Richtung
![]() | (C.21) |
Ableitung in Richtung des Einheitsvektors
in Richtung von
![]() | (C.22) |
Richtungsableitung einer Vektorfunktion
![]() | ![]() ![]() | (C.23) | |
= | ![]() ![]() | ||
![]() |
Gradient eines Produktes
![]() | (C.24) |
Kettenregel beim Gradienten
![]() | (C.25) |
Gradient eines Skalarproduktes
![]() | (C.26) |
Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors mit einem Ortsvektor
![]() | (C.27) |
Divergenz eines Produktes
![]() | (C.28) |
Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors mit einem Ortsvektor
![]() | (C.29) |
Divergenz eines Vektorproduktes
![]() | (C.30) |
Rotation eines Produktes
![]() | (C.31) |
Rotation eines Vektorproduktes
![]() | (C.32) |
Rotation eines Potentialfeldes
![]() | (C.33) |
Divergenz einer Rotation
![]() | (C.34) |
Rotation einer Rotation
![]() | (C.35) |
Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten
![]() | (C.36) |
und für Vektorfunktionen
![]() | (C.37) |
Wenn wir eine Funktion y = f(x) als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist
die Steigung dieses Profiles an der Stelle x. f(x) ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.
Wir können eine Funktion f(x,y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.
Gradient als Richtung der stärksten Steigung
Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer
Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist
definiert:
![]()
|
Eine skalare Funktion f(x,y,z) definiert eine „Höhenlandschaft“ über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition
Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) von drei Variablen
![]()
|
Wir betrachten eine Vektorfunktion
Vektorfeld mit Umrandung
Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. Die „Fläche“ ist dx. In die x-Richtung heisst das, dass
fliesst.
In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die x-Komponente, fx(x,y) und fx(x,y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung
Die Grösse F = Fx + Fy nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Mit
und
erhalten wir für die
Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen
![]()
|
Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann
Wir definieren
Divergenz einer Vektorfunktion ![]() ![]()
|
Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion
Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation
Wir nehmen nun an, dass die durch (x,y) definierten Strömungen den rechteckigen
schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich
drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die z-Richtung. Die
Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen
und
Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei Rx ein „-“ eingefügt. Mit
und
ist die Stärke der Drehung oder die
Rotation in zwei Dimensionen
![]()
|
Diese R zeigt in die +z-Richtung, wenn wir den zweidimensionalen Raum im dreidimensionalen eingebettet betrachten. Für eine dreidimensionale Vektorfunktion
kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene (Rotation um z) auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten. Wir definieren also
Rotation in drei Dimensionen
![]()
|
Man kann sich die Berechnung gut merken mit
Gedankenstütze für Rotation
![]()
|
Wenn =
ein konstanter Geschwindigkeitsvektor ist und diese Grösse an einem mit
der Geschwindigkeit
bewegten Ort beobachtet wird, dann gilt (Siehe Jackson[Jac75,
p212]):
![]() | (C.38) |
wobei die totale Ableitung im raumfesten Koordinatensystem und
die lokale,
mitgeführte Ableitung ist. Diese Gleichung stammt von der Kettenregel:
![]() ![]() | = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
= v(t)![]() ![]() ![]() ![]() | (C.39) |
In drei Dimensionen muss mit dem Gradienten gerechnet werden:
![]() ![]() | = ![]() ![]() | ||
= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
= ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
= ![]() ![]() ![]() ![]() | (C.40) |
Mit Gleichung (C.32) kann man schreiben
rot ![]() | = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() | = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | (C.41) |
oder
![]() ![]() | = rot ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() | = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | (C.42) |
Nun ist div = 0. Weiter ist div
=
div
=
(3) = 0 und
grad
=
grad
=
E = 0, wobei E die 3 mal 3 Einheits-Diagonalmatrix ist.
Damit haben wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit
![]() ![]() | = rot ![]() | ||
![]() ![]() | = ![]() ![]() | (C.43) |
und
![]() | (C.44) |