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D.1  In der Nähe eines Leiterstückes

Entlang der x-Achse von x = 0 bis x = ℓ sei die Ladung Q homogen verteilt. Zu berechnen ist das elektrische Feld für einen Punkt P = (ξ,0,0 ) auf der x-Achse!

Die Linienladungsdichte ist

Q- λ = ℓ

Das elektrische Feld bei P ist

-1--λ-(x---ξ)d-ξ dEx (x,ξ) = 4πϵ0 |x - ξ|3

Wir integrieren über die Länge des Drahtes

( ∫ ℓ |||| ---dξ--- ℓ |||| (x - ξ)2 , für x > ℓ oder x < 0; ∫ λ |{ 0x ℓ Ex (ξ) = dEx (x,ξ) = 4π-ϵ-· | ∫ dξ ∫ dξ 0 0 |||| -------2 - -------2 , für 0 < x < ℓ. |||| 0 (x - ξ) x (x - ξ) (

Die Lösung dieser Gleichung ist

( ||| -----λ-ℓ----- , für x > ℓ oder x < 0; |||| 4π ε0x(x - ℓ) λ |{ Ex (x) = -------------| λ(2x - ℓ) 4π ε0x(x - ℓ)|||| ------------- , für 0 < x < ℓ. |||( 4π ε0x(x - ℓ)

PIC

Elektrisches Feld entlang einer Linienladung.

Wir berechnen nun das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten einer Linienladung der Länge ℓ. Zur Berechnung legen wir das Koordinationssystem so, dass die Ladungsverteilung von -ℓ 2 bis ℓ 2 reicht. Aus Symmetriegründen existiert auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in x-Richtung. Wir betrachten also die Komponente entlang y. Am Punkt  P = (0,y,0) ist

1 λdx dEy (y ) = --------------3y 4πε0 (x2 + y2) 2

Ebenso ist

ℓ ℓ ∫2 λ y λy ∫2 dx Ey (y ) = 4πε----2---2-3-dx = 4π-ε- --2----2-3- - ℓ2 0(x + y )2 0- ℓ2 (x + y ) 2

Nach Bronstein[BSMM00] ist

∫ -dx-= --√x--- X 32 a2 X

mit X = x2 + a2. Daraus folgt

( )|ℓ λy x ||2 Ey (y) = ----- -2-√--2----2 || 4π ε0 y x + y - ℓ2 ( ) = --λ---( --∘--ℓ-----+ -∘--ℓ----) 4π ε0y 2 ℓ2-+ y2 2 ℓ2+ y 4 4 = --λℓ--∘---1----- 4π ε0y y2 + ℓ2 4 = -Q----∘--1------ 4π ε0y y2 + ℓ2 4
Für y » ℓ bekommt man
Ey = --1--λℓ-= --Q---- 4πε0 y2 4πε0y2

Für y «-ℓ bekommt man

Ey = - --1--λℓ-= - ---Q--- 4πε0 y2 4π ε0y2

Wenn die Linienladung ”unendlich” ausgedehnt ist, gilt

y « ℓ

Dann ist

λℓ 1 λ Q Ey ≈ 4π-ε-y-∘-ℓ2-= 2πε--|y-| = 2πε-ℓ|y|- 0 4 0 0

PIC

Elektrisches Feld senkrecht zu einer Linienladung.


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