Folien zur Vorlesung vom 07. 05. 2009: PDF | |
Aufgabenblatt 04 für das Seminar vom 13. 05. 2009 (Ausgabedatum 07. 05. 2009): (HTML oder PDF) | |
Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung Ze und einer Elektronenwolke der Ladung −Ze. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander. Dabei ist hier Z die Anzahl der Protonen im Kern, die Kernladungszahl.
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Auf den positiven Kern wirkt die Kraft
| (2.1) |
Auf die negative Elektronenwolke wirkt
| (2.2) |
Die Federkraft wirkt auf die positive Ladung wie
| (2.3) |
Auf die negative Ladung wirkt die Federkraft
| (2.4) |
Das Kräftegleichgewicht für die positive Ladung lautet:
| (2.5) |
Alternativ kann das Kräftegleichgewicht für die negative Ladung angegeben werden:
| (2.6) |
Das induzierte Dipolmoment ist
| (2.7) |
und damit
| (2.8) |
Dabei ist α die atomare Polarisierbarkeit (Einheit = Fm2 = Cm2/V = Asm2/V).
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Atom oder Molekül | α∕ |
He | 0.2 |
Li+ | 0.03 |
Ne | 0.4 |
K+ | 0.9 |
Xe | 3.5 |
O−− | 3.5 |
CCL4 | 10 |
CL− | 4 |
I− | 7 |
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Atom oder Molekül | α∕ |
H | 0.7 |
Li | 13 |
K | 38 |
Cs | 46 |
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Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld ist
| (2.9) |
da
| (2.10) |
und damit
| (2.11) |
Versuch zur Vorlesung: | |
Plattenkondensator mit Dielektrikum (Versuchskarte ES-3) | |
Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt
| (2.12) |
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Isolatoren in einem Kondensatoren
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Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist
| (2.13) |
unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.
Andererseits ist
| (2.14) |
abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden.
In vielen Fällen sind und linear voneinander abhängig.
| (2.15) |
mit 𝜀 ≥ 1 und χe ≥ 0
𝜀 heisst die Permittivität, χe die dielektrische Suszeptibilität.
Im Allgemeinen sind 𝜀 und χe Tensoren.
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Material | 𝜀 | α∕(10−40 Asm2V−1) |
Vakuum | 1 | 0 |
Luft | 1.0006 | 2.00332 |
Paraffin | 2.1 | 38.7601 |
Diamant | 5.6 | 0.912181 |
Glas | 5-9 | 5.71864 - 7.27827 |
Silizium | 11.9 | 4.16924 |
Wasser | 81 | 7.65901 |
Wasser | 1.77 | 1.62297 |
Rutil (⊥) | 90 | 7.9997 |
Rutil (∥) | 170 | 8.12512 |
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Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika angewandt werden, indem 𝜀0 durch 𝜀𝜀0 ersetzt wird.
Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.
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Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld.
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Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.
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Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten elektrischen Feld.
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Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.8) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.
Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt div = 0 (siehe Gleichung (2.8)). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch rot = 0. Wir betrachten eine Oberfläche A, die ein Stück ΔA der Grenzfläche umschliesst. Dann ist
und damit gilt für die dielektrische Verschiebung die folgende Stetigkeitsbedingung
| (2.16) |
Wir verwenden weiter eine Schlaufe s, die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten
und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung
| (2.17) |
An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt
sind stetig. |
Mit grad φ = − = können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential φ umgeschrieben werden
In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Permittivität und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation eines Atoms oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit α sowie vom lokalen elektrischen Feld lokal ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort, i.
| (2.19) |
Die Polarisation hängt vom lokalen Feld lokal wie folgt ab:
| (2.20) |
wobei n die Dichte der induzierten Dipole ist. Die Polarisation hat dann die Einheit = C/m2.
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Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti
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Zur Berechnung von i und damit lokal betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit 𝜀, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius R entfernt wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[?, 68],[?]. das von einem externen Feld in der x-Richtung hervorgerufen wird. Das Dielektrikum erzeugt an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte σ(Θ) = Pn = Px cos Θ, analog wie eine Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit E = σ∕𝜀0 zusammenhängt. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5)) ist der Beitrag von σda gegeben durch
| (2.21) |
gegeben. Die x-Komponente ist dann
| (2.22) |
da dEi,r auf die x-Achse projiziert werden muss. Wir integrieren über die ganze Kugel und beachten, dass da = r2 sin ΘdΘdφ ist. Die Integration über φ (Faktor 2π) und diejenige über r (Faktor 1, da die Ladung an der Oberfläche konzentriert ist) sind sofort ausführbar, so dass wir mit ∫ cos 2(Θ) sin(Θ)dΘ = − cos 3(Θ)
| (2.23) |
erhalten. Da die x-zufällig gewählt wurde, gilt die Lorentz-Beziehung auch allgemein
| (2.24) |
Mit
| (2.25) |
wird aus der Kombination von Gleichung (2.20) und Gleichung (2.24) die Clausius-Mosotti-Beziehung
| (2.26) |
die die Polarisierbarkeit α mit der relativen Permittivität 𝜀 verknüpft. n ist die Dichte der induzierten Dipole.
Die Rechnung verläuft folgendermassen
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Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum
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Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung Q tragen. Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor 𝜀 geringer als das Feld E0 ohne Dielektrikum
| (2.27) |
Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand d ist
| (2.28) |
Die Kapazität ist
| (2.29) |
Also ist beim Plattenkondensator
| (2.30) |
Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant
| (2.31) |
Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,
| (2.32) |
Versuch zur Vorlesung: | |
Steighöhe im Kondensator (Versuchskarte ES-12) | |
Die Energiedichte im Kondensator ist
| (2.33) |
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Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.
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Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.
Wie geht das?
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Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung
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Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten [?].
Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an
| (2.37) |
| (2.38) |
und somit
| (2.39) |
Wenn der Kondensator von allen Spannungsquellen getrennt ist, bleibt die Ladung auf seinen Platten, Q, konstant. Die dielektrische Verschiebung und nicht das elektrische Feld bleiben konstant.
Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an
| (2.41) |
| (2.42) |
und somit
| (2.43) |