(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [?, pp. 751])
Versuch zur Vorlesung: | |
Strom-Spannungs-Kennlinie (Versuchskarte EM-83) | |
Allgemein gilt für einen Leiter, dass
| (3.1) |
eine beliebige Funktion des angelegten Feldes ist. Im linearen Fall
| (3.2) |
spricht man von einem Ohmschen Leiter.
Versuch zur Vorlesung: | |
Ohmscher Leiter (Versuchskarte EM-117) | |
σ ist die Leitfähigkeit. Ihre Einheit ist
Das Gesetz nach Gleichung (3.2) heisst das lokale Ohmsche Gesetz. Für homogene Medien ist σ eine Zahl. Für inhomogene Medien wie Graphit ist σ ein Tensor. Indem wir die differentielle Form des Ohmschen Gesetzes integrieren, erhalten wir
| (3.3) |
Dabei haben wir angenommen, dass und σ konstant über A sind. Das integrale Ohmsche Gesetz kann auch als
| (3.4) |
geschrieben werden. G ist der Leitwert. Die Einheit ist
Bekannter ist die Form
| (3.5) |
R = ist der Widerstand. Seine Einheit ist das Ohm
Die zu R gehörende mikroskopische Grösse ist der spezifische Widerstand
| (3.6) |
Die Einheiten sind
sowie
Wir betrachten die Bewegung von Ionen in einer Umgebung von nicht ionisierten Molekülen
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Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.
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Die Masse eines Ions sei M, ihre Ladung q und die Gesamtzahl im betrachteten Volumenelement N
Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet
| (3.7) |
oder
| (3.8) |
wobei Δt die freie Flugzeit ist.
Der mittlere Impuls eines Ions ist
| (3.9) |
ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, j die Geschwindigkeit nach dem letzten Stoss.
Sind die Geschwindigkeiten j isotrop verteilt, mittelt sich der erste Summand zu null. Unter dieser Annahme ist
| (3.10) |
wobei = τ die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstössen ist. Mit = nq bekommen wir
| (3.11) |
Hier ist μ = = die Beweglichkeit der Ladungsträger mit der Ladung q und der Masse M. Die Einheit der Beweglichkeit ist
|
Weiter ist
| (3.12) |
Dabei ist n die Dichte der Ladungsträger.
Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger
| (3.13) |
Von Gleichung (3.11) an wurde τ = gesetzt.
Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn τk, nk und μk unabhängig vom elektrischen Feld sind.
Beispiel: Metall
Wir nehmen an, dass me « mKern ist. Dann sind die Geschwindigkeiten nach dem Stossen isotrop verteilt. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist = 105m∕s (kinetische Gastheorie). Mit
| (3.14) |
bekommen wir
| (3.15) |
(mit ρexp = 4.3 × 10−8 Ωm und n e = 2.5·1028/m3 für Na-Metall)
Die mittlere freie Weglänge ist dann
| (3.16) |
im Widerspruch zum Ionenabstand von 0.1 nm Lösung: Quantenmechanik
Folien zur Vorlesung vom 14. 05. 2009: PDF | |
Aufgabenblatt 05 für das Seminar vom 20. 05. 2009 (Ausgabedatum 14. 05. 2009): (HTML oder PDF) | |
Versuch zur Vorlesung: | |
Leitfähigkeit (Versuchskarte EM-172) | |
Versuch zur Vorlesung: | |
Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit (Versuchskarte TH-122) | |
Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist ρel = 0 im Inneren. Dies folgt aus
Aus der Eigenschaft
| (3.17) |
erhalten wir im Inneren eines Leiters
| (3.18) |
Dies bedeutet, dass φ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters das Potential eines Potentialfeldes ist. Die Lösung von
| (3.19) |
ist durch die Randbedingungen
gegeben2 .
Mit diesen Gleichungen kann man zum Beispiel den Widerstand eines homogenen Leiters berechnen. Bei inhomogenen Leitern müssen wir das Ohmsche Gesetz in seiner Differentialform verwenden. Aus der Kontinuitätsgleichung für stationäre Stromverteilungen Gleichung (3.17) und dem lokalen Ohmschen Gesetz Gleichung (3.2) bekommen wir
| (3.20) |
Wir ersetzen nun und erhalten
| (3.21) |
Bei einem homogenen Leiter könnte σ vor die Divergenz gezogen werden.
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Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter
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Wir verwenden die Definition des Stromes in Gleichung (3.8) und wenden Sie auf die Fläche A, beziehungsweise auf den Teil, der den Leiter durchschneidet a, an.
| (3.22) |
wobei a die durch A aus dem Leiter herausgeschnittene Fläche ist. Die Spannungsdifferenz ist
| (3.23) |
Wenn nun φ1 eine Lösung von Gleichung (3.21) ist, dann ist aufgrund der Linearität dieser Gleichung auch
| (3.24) |
eine Lösung. Dabei kann k eine beliebige, auch komplexzahlige Zahl sein. Da = −grad U auch eine lineare Gleichung ist, muss also auch
| (3.25) |
eine Lösung sein. Nach Gleichung (3.22) ist dann auch
| (3.26) |
Damit haben wir, dass bei einem beliebigen inhomogenen Leiter
| (3.27) |
ist. Die Proportionalitätskonstante ist der Widerstand R. Um den Widerstand eines beliebigen Leiters zu berechnen, muss man im Inneren kennen. Dies kann man erreichen, indem man die Laplacegleichung löst.
Im statischen Falle ist = 0 im Inneren eines Leiters. Bei einem stromdurchflossenen Leiter liefert die Batterie die notwendige Energie, um das elektrische Feld im Inneren des Leiters aufrecht zu erhalten. |