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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt Experimente, bei denen in jedem einzelnen Experiment mit der Wahrscheinlichkeit $p$ ein Ereignis eintritt und mit der Wahrscheinlichkeit $q=l-p$ ein zweites Ereignis eintritt (oder das erste nicht eintritt). Zum Beispiel genügt ein Würfelspiel diesen Gesetzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass $k$-mal das erste und $n-k$ mal das zweite Ereignis innerhalb von insgesamt $n$ Ereignissen eintritt ist

$$p^kq^{n-k} = p^k(1-p)^{n-k}$$ (5.36)

Wenn die Reihenfolge dieser Ereignisse irrelevant ist, dann hat man die Binomialverteilung

$$B\left(k,n,p\right) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{ar... ...^{n-k} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)p^k (1-p)^{n-k}$$ (5.37)

Die Verteilung ist normiert, da gilt

$$\sum\limits_{k=0}^n B(k,n,p) = \sum\limits_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)p^k q^{(n-k)} = \left(p+q\right)^n = 1$$ (5.38)

Der Mittelwert ist

$$\left< k \right> = \sum\limits_{k=0}^n k\cdot B(k,n,p)$$ (5.39)

$$ = \sum\limits_{k=0}^n k \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right)p^k q^{(n-k)}$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!}p^k q^{(n-k)}$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n \frac{k\cdot n!}{k!(n-k)!}p^k q^{(n-k)}$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k q^{(n-k)}$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-1-k+1)!}p^k q^{(n-1-k+1)}$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}p^k q^{n-1-(k-1)}$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n p\cdot n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}p^{(k-1)} q^{(n-1)-(k-1)}$$

$$ = p\cdot n\cdot \sum\limits_{k=0}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}p^{(k-1)} q^{(n-1)-(k-1)}$$

$$ = p\cdot n\cdot\sum\limits_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \\ \end{array}\right)p^{(k-1)} q^{(n-1)-(k-1)}$$

$$ = n p$$

Die Varianz schliesslich berechnet sich zu

$$\sigma^2 = \sum\limits_{k=0}^n k^2 B(k,n,p)-\left< k \right>^2$$ (5.40)

$$ = \sum\limits_{k=0}^n k^2 \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)p^kq^{n-k}-\left< k \right>^2$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n k^2 \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}-\left< k \right>^2$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n \left[k(k-1)+k\right] \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}-\left< k \right>^2$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n k(k-1) \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}+ \sum\limits_{k=0}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}-\left< k \right>^2$$

$$ = \sum\limits_{k=0}^n k(k-1) \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}+ \sum\limits_{k=0}^n k B(n,k,p)-\left< k \right>^2$$

$$ = n(n-1)p^2\sum\limits_{k=0}^n \frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}q^{n-k}+ \left< k\right>-\left< k \right>^2$$

$$ = n(n-1)p^2\sum\limits_{k=0}^n B(n-2,k-2,p)+ \left< k\right>-\left< k \right>^2$$

$$ = n(n-1)p^2+np-n^2p^2$$

$$ = n^2p^2- np^2+np-n^2p^2$$

$$ = np(1-p) = npq$$ (5.41)

Die weiteren Momente sind (ohne Rechnung)

$$\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sigma}=\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}$$ (5.42)

und

$$\gamma_2-3 = \frac{1-6pq}{\sigma^2}=\frac{1-6pq}{npq}$$ (5.43)

Für die Binomialverteilung existiert eine Rekursionsformel:

$$\frac{B(k,n,p)}{B(k-1,n,p)} = \frac{n-k+1}{k}\frac{p}{q}$$ (5.44)

Zum Abschluss noch eine kurze Bemerkung: jede, auch asymmetrische Binomialverteilung geht für festes $p$ bei grossen $n\rightarrow \infty$ in die Normalverteilung über.