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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt Experimente, bei denen in jedem einzelnen Experiment mit der Wahrscheinlichkeit $p$ ein Ereignis eintritt und mit der Wahrscheinlichkeit $q=l-p$ ein zweites Ereignis eintritt (oder das erste nicht eintritt). Zum Beispiel genügt ein Würfelspiel diesen Gesetzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass $k$-mal das erste und $n-k$ mal das zweite Ereignis innerhalb von insgesamt $n$ Ereignissen eintritt ist

$\displaystyle p^kq^{n-k} = p^k(1-p)^{n-k}$ (5.36)

Wenn die Reihenfolge dieser Ereignisse irrelevant ist, dann hat man die Binomialverteilung

$\displaystyle B\left(k,n,p\right) = \left( \begin{array}{c} n \\  k \\  \end{ar...
...^{n-k} = \left( \begin{array}{c} n \\  k \\  \end{array} \right)p^k (1-p)^{n-k}$ (5.37)

Die Verteilung ist normiert, da gilt

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n B(k,n,p) = \sum\limits_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\  k \\  \end{array} \right)p^k q^{(n-k)} = \left(p+q\right)^n = 1$ (5.38)

Der Mittelwert ist
$\displaystyle \left< k \right>$ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n k\cdot B(k,n,p)$ (5.39)
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ \begin{displaymath}\sum\limits_{k=0}^n k \left(
\begin{array}{c}
n \\
k \\
\end{array}\right)p^k q^{(n-k)} \end{displaymath}  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!}p^k q^{(n-k)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n \frac{k\cdot n!}{k!(n-k)!}p^k q^{(n-k)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k q^{(n-k)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-1-k+1)!}p^k q^{(n-1-k+1)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}p^k q^{n-1-(k-1)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n p\cdot n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}p^{(k-1)} q^{(n-1)-(k-1)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle p\cdot n\cdot \sum\limits_{k=0}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}p^{(k-1)} q^{(n-1)-(k-1)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ \begin{displaymath}p\cdot n\cdot\sum\limits_{k=0}^n \left(
\begin{array}{c}
n-1 \\
k-1 \\
\end{array}\right)p^{(k-1)} q^{(n-1)-(k-1)} \end{displaymath}  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle n p$  

Die Varianz schliesslich berechnet sich zu
$\displaystyle \sigma^2$ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n k^2 B(k,n,p)-\left< k \right>^2$ (5.40)
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n k^2 \left(
\begin{array}{c}
n \\
k \\
\end{array} \right)p^kq^{n-k}-\left< k \right>^2 $  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n k^2 \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}-\left< k \right>^2$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n \left[k(k-1)+k\right] \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}-\left< k \right>^2$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n k(k-1) \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}+
\sum\limits_{k=0}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}-\left< k \right>^2$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^n k(k-1) \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}+
\sum\limits_{k=0}^n k B(n,k,p)-\left< k \right>^2$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle n(n-1)p^2\sum\limits_{k=0}^n \frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}q^{n-k}+
\left< k\right>-\left< k \right>^2$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle n(n-1)p^2\sum\limits_{k=0}^n B(n-2,k-2,p)+
\left< k\right>-\left< k \right>^2$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle n(n-1)p^2+np-n^2p^2$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle n^2p^2- np^2+np-n^2p^2$  
$\displaystyle $ $\displaystyle = $ $\displaystyle np(1-p) = npq$ (5.41)

Die weiteren Momente sind (ohne Rechnung)

$\displaystyle \gamma_1 = \frac{1-2p}{\sigma}=\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}$ (5.42)

und

$\displaystyle \gamma_2-3 = \frac{1-6pq}{\sigma^2}=\frac{1-6pq}{npq}$ (5.43)

Für die Binomialverteilung existiert eine Rekursionsformel:

$\displaystyle \frac{B(k,n,p)}{B(k-1,n,p)} = \frac{n-k+1}{k}\frac{p}{q}$ (5.44)

Zum Abschluss noch eine kurze Bemerkung: jede, auch asymmetrische Binomialverteilung geht für festes $p$ bei grossen $n\rightarrow \infty$ in die Normalverteilung über.


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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm