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Die Normalverteilung kann als Grenzfall der Binomialverteilung angesehen werden, wenn die Anzahl Versuche gegen
unendlich geht und
ist. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Abweichung ist
![$\displaystyle E(\Delta) = E(x-\mu) = \frac{1}{2}E(2N-k)-\frac{1}{2}E(k)=E(n-k)$](img144.gif) |
(5.45) |
wobei
negative und
positive Abweichungen auftreten. Wir können die Binomialverteilung verwenden:
![$\displaystyle B\left( k, 2N, \frac{1}{2}\right) = \left( \begin{array}{c} 2N \\ k \\ \end{array} \right)2^{-2N}$](img146.gif) |
(5.46) |
Wir berechnen den Mittelwert. Mit
wird
![$\displaystyle \left<\Delta\right> = E(N-\left< k \right> = 0$](img148.gif) |
(5.47) |
oder
![$\displaystyle \left< x\right> = \mu$](img149.gif) |
(5.48) |
Die Varianz wird dann
![$\displaystyle \sigma_\Delta^2 = \left< \Delta^2\right>= \left< \left(E(N-k)\right)^2\right>=E^2\left(\frac{N}{2}\right)$](img150.gif) |
(5.49) |
Für grosse
ist es sinnvoll, die Verteilung auf die Varianz
zu standardisieren
![$\displaystyle t_k = \frac{\Delta}{\sigma_\Delta}(N-2)\sqrt{\frac{2}{N}}$](img153.gif) |
(5.50) |
Diese standardisierte Variable
hat den Mittelwert 0 und die Varianz
. Verwenden nun Histogramme, und
skalieren die Achse mit
erhalten wir
![$\displaystyle G(t_k) = \sqrt{\frac{2}{N}}B\left( k, 2N, \frac{1}{2}\right)=\left( \begin{array}{c} 2N \\ k \\ \end{array} \right)2^{-2N}\sqrt{\frac{N}{2}}$](img157.gif) |
(5.51) |
Mit der Stirlingschen Formel
![$\displaystyle n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}$](img158.gif) |
(5.52) |
wird
![$\displaystyle \lim\limits_{N=k\rightarrow\infty} G(0) = \frac{(2N)!\cdot \sqrt{N}\cdot 2^{-2N}}{(N!)^2\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt2\pi}$](img159.gif) |
(5.53) |
Mit Hilfe der Rekursionsformel kann gezeigt werden, dass
![$\displaystyle \frac{B(k,n,p)-B(k-1,n,p)}{B(k-1,n,p)} = \frac{n-k+1}{k}\frac{p}{q}-1 =\frac{G(t_k)-G(t_{k-1})}{G(t_{k-1})}=\frac{\Delta G}{G}$](img160.gif) |
(5.54) |
Für
wird
Für
ergibt sich
![$\displaystyle \lim\limits_{N\rightarrow\infty}\frac{\Delta G}{t_k}\cdot\frac{1}{G}=\frac{dG}{dt}\cdot \frac{1}{G}=\frac{d}{dt}\ln G = -t$](img167.gif) |
(5.56) |
Daraus folgt
![$\displaystyle G(t) = Ae^{-\frac{t^2}{2}}$](img168.gif) |
(5.57) |
Mit einer Normierung erhält man die standardisierte Gaussverteilung
![$\displaystyle G(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}$](img169.gif) |
(5.58) |
oder die allgemeine Gaussverteilung
![$\displaystyle G(x,\sigma,\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$](img170.gif) |
(5.59) |
Die Gaussverteilung ist symmetrisch bezüglich des Mittelwertes
, also sind alle ungradzahligen Momente den
Wert 0. Die gradzahligen Momente haben den Wert
![$\displaystyle \mu_{2\nu} = 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot(2\nu-1)\sigma^{2\nu}$](img171.gif) |
(5.60) |
Damit wird zum Beispiel die Überhöhung
.
Viele Experimente ergeben eine gaussförmige Verteilung der Messwerte um einen Mittelwert. Zur Abschätzung von
Fehlergrenzen kann das Integral der Gaussverteilung, die Fehlerfunktion verwendet
werden.
![$\displaystyle \mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{z}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$](img173.gif) |
(5.61) |
Für den speziellen Wert
wird
. Das heisst: bei normalverteilten
statistischen Abweichungen ist die Wahrscheinlichkeit
, dass eine Messung einen Fehler innerhalb
liefert.
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm