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Normalverteilung

Die Normalverteilung kann als Grenzfall der Binomialverteilung angesehen werden, wenn die Anzahl Versuche gegen unendlich geht und $p=q=0.5$ ist. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Abweichung ist

$$E(\Delta) = E(x-\mu) = \frac{1}{2}E(2N-k)-\frac{1}{2}E(k)=E(n-k)$$ (5.45)

wobei $k$ negative und $2N-k$ positive Abweichungen auftreten. Wir können die Binomialverteilung verwenden:

$$B\left( k, 2N, \frac{1}{2}\right) = \left( \begin{array}{c} 2N \\ k \\ \end{array} \right)2^{-2N}$$ (5.46)

Wir berechnen den Mittelwert. Mit $\left< k\right> = 2Np = N$ wird

$$\left<\Delta\right> = E(N-\left< k \right> = 0$$ (5.47)

oder

$$\left< x\right> = \mu$$ (5.48)

Die Varianz wird dann

$$\sigma_\Delta^2 = \left< \Delta^2\right>= \left< \left(E(N-k)\right)^2\right>=E^2\left(\frac{N}{2}\right)$$ (5.49)

Für grosse $N$ ist es sinnvoll, die Verteilung auf die Varianz $l$ zu standardisieren

$$t_k = \frac{\Delta}{\sigma_\Delta}(N-2)\sqrt{\frac{2}{N}}$$ (5.50)

Diese standardisierte Variable $t_k$ hat den Mittelwert 0 und die Varianz $1$. Verwenden nun Histogramme, und skalieren die Achse mit $\sqrt{2/N}$ erhalten wir

$$G(t_k) = \sqrt{\frac{2}{N}}B\left( k, 2N, \frac{1}{2}\right)=\left( \begin{array}{c} 2N \\ k \\ \end{array} \right)2^{-2N}\sqrt{\frac{N}{2}}$$ (5.51)

Mit der Stirlingschen Formel

$$n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}$$ (5.52)

wird

$$\lim\limits_{N=k\rightarrow\infty} G(0) = \frac{(2N)!\cdot \sqrt{N}\cdot 2^{-2N}}{(N!)^2\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt2\pi}$$ (5.53)

Mit Hilfe der Rekursionsformel kann gezeigt werden, dass

$$\frac{B(k,n,p)-B(k-1,n,p)}{B(k-1,n,p)} = \frac{n-k+1}{k}\frac{p}{q}-1 =\frac{G(t_k)-G(t_{k-1})}{G(t_{k-1})}=\frac{\Delta G}{G}$$ (5.54)

Für $p=q=1/2$ wird

$$\frac{\Delta G}{G} = \frac{2(N-k)+1}{N-(N-k)}$$ (5.55)

$$\frac{\Delta G}{t_k}\cdot\frac{1}{G} = \sqrt{\frac{N}{2}}\cdot \frac{2\cdot\sqrt{\frac{N}{2}}\cdot t_k+1} {N-\sqrt{\frac{N}{2}}\cdot t_k}$$

Für $N\rightarrow\infty$ ergibt sich

$$\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\frac{\Delta G}{t_k}\cdot\frac{1}{G}=\frac{dG}{dt}\cdot \frac{1}{G}=\frac{d}{dt}\ln G = -t$$ (5.56)

Daraus folgt

$$G(t) = Ae^{-\frac{t^2}{2}}$$ (5.57)

Mit einer Normierung erhält man die standardisierte Gaussverteilung

$$G(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}$$ (5.58)

oder die allgemeine Gaussverteilung

$$G(x,\sigma,\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ (5.59)

Die Gaussverteilung ist symmetrisch bezüglich des Mittelwertes $\mu$, also sind alle ungradzahligen Momente den Wert 0. Die gradzahligen Momente haben den Wert

$$\mu_{2\nu} = 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot(2\nu-1)\sigma^{2\nu}$$ (5.60)

Damit wird zum Beispiel die Überhöhung $\gamma_2=3$.

Viele Experimente ergeben eine gaussförmige Verteilung der Messwerte um einen Mittelwert. Zur Abschätzung von Fehlergrenzen kann das Integral der Gaussverteilung, die Fehlerfunktion verwendet werden.

$$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{z}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$ (5.61)

Für den speziellen Wert $z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{\sigma}{\sigma }=1$ wird $\mathrm{erf}(l)=0.683$. Das heisst: bei normalverteilten statistischen Abweichungen ist die Wahrscheinlichkeit $= 68.3\%$, dass eine Messung einen Fehler innerhalb $\pm \sigma$ liefert.