Wir betrachten ein System von Teilchen
Skizze der Koordinaten in einem Teilchensystem
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Die folgenden Grössen benötigen wir
Der Gesamtimpuls ist
(3.180) |
Aus dem Impulssatz folgt
(3.181) |
Beweis
Reaktionsprinzip
Wenn keine äusseren Kräfte wirken gilt:
konstant | (3.182) |
Definition des Ortsvektors des Schwerpunktes
(3.183) |
Der Ortsvektor des Schwerpunktes ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Ortsvektoren der einzelnen Massepunkte. Für eine kontinuierliche Massenverteilung gilt:
(3.184) |
In kartesischen Koordinaten gilt
(3.185) |
mit
(3.186) | ||
(3.187) | ||
(3.188) |
Versuch zur Vorlesung: Schwerpunktsbewegung (Versuchskarte M-047) |
Versuch zur Vorlesung: Schwerpunktsbewegung (Versuchskarte M-065) |
Mit gilt:
(3.189) |
Beweis
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Wir verwenden ein lokales Koordinatensystem
wenn
Bei konstanten Massen gilt für die Schwerpunktsbeschleunigung
(3.190) |
Wenn keine äusseren Kräfte wirken folgt aus
konstant | (3.191) |
konstant | (3.192) |
Wir wollen nun die potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld berechnen.
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Sei der Feldvektor des Gravitationsfeldes der Erde
Für die Koordinate gilt
(3.193) |
mit der Gesamtmasse. Die potentielle Energie ist dann
(3.194) |
Definition der Grössen beim Zweikörperproblem.
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Seien die die Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem
Im Laborsystem gilt:
(3.195) |
Die Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem sind
(3.196) |
Beispiel: Kollision
Kollision zweier Massepunkte
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Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist
(3.197) |
Bei einer Kollision bleibt die Schwerpunktgeschwindigkeit bleibt erhalten. Die Relativgeschwindigkeiten im Schwerpunktsystem sind
(3.198) |
Im Schwerpunktsystem hat die leichtere Masse die grössere Geschwindigkeit.
Die kinetische Energie Eines Systems von Massen ist durch
(3.199) | ||
(3.200) | ||
(3.201) | ||
(3.202) | ||
(3.203) |
Da die Schwerpunktsgeschwindigkeit erhalten bleibt, ist nur relevant für Kollisionen Beschleunigung mit gegenläufigen Bahnen.
Othmar Marti