Wir betrachten ein System von Teilchen
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Skizze der Koordinaten in einem Teilchensystem
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Die folgenden Grössen benötigen wir
Der Gesamtimpuls ist
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(3.180) |
Aus dem Impulssatz folgt
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(3.181) |
Beweis
Reaktionsprinzip
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||
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Wenn keine äusseren Kräfte wirken gilt:
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(3.182) |
Definition des Ortsvektors des Schwerpunktes
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(3.183) |
Der Ortsvektor des Schwerpunktes ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Ortsvektoren der einzelnen Massepunkte. Für eine kontinuierliche Massenverteilung gilt:
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(3.184) |
In kartesischen Koordinaten gilt
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(3.185) |
mit
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(3.186) |
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(3.187) |
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(3.188) |
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Mit
gilt:
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(3.189) |
Beweis
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Wir verwenden ein lokales Koordinatensystem
wenn
Bei konstanten Massen
gilt für die Schwerpunktsbeschleunigung
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(3.190) |
Wenn keine äusseren Kräfte wirken folgt aus
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(3.191) |
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(3.192) |
Wir wollen nun die potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld berechnen.
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Sei der Feldvektor des Gravitationsfeldes der Erde
Für die Koordinate gilt
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(3.193) |
mit
der Gesamtmasse. Die potentielle Energie ist dann
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(3.194) |
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Definition der Grössen beim Zweikörperproblem.
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Seien die
die Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem
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Im Laborsystem gilt:
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(3.195) |
Die Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem sind
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(3.196) |
Beispiel: Kollision
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Kollision zweier Massepunkte
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Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist
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(3.197) |
Bei einer Kollision bleibt die Schwerpunktgeschwindigkeit
bleibt erhalten. Die
Relativgeschwindigkeiten im Schwerpunktsystem sind
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(3.198) |
Im Schwerpunktsystem hat die leichtere Masse die grössere Geschwindigkeit.
Die kinetische Energie Eines Systems von Massen ist durch
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(3.199) | |
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(3.200) | |
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(3.201) | |
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(3.202) | |
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(3.203) |
Da die Schwerpunktsgeschwindigkeit erhalten bleibt, ist nur
relevant für Kollisionen
Beschleunigung mit gegenläufigen Bahnen.
Othmar Marti