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Stösse sind kurzzeitige Wechselwirkungen (WW) zwischen zwei Körpern.
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Stoss zweier Massen
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Impulserhaltung (eindimensionales Problem, also kann man mit Zahlen rechnen)
Stösse heissen elastisch wenn gilt
Dann kann aus Gleichung (3.162) und Gleichung (3.163) und
ausgerechnet werden.
Wir schreiben die Gleichungen um und erhalten
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(3.206) |
und
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Ausmultipliziert bekommen wir
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(3.207) |
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(3.208) |
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(3.209) |
Also ist die Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss (
) das Negative der Relativgeschwindigkeit vor
dem Stoss (
).
Das bedeutet, dass bei einer Frontalkollision von einem Auto (
) mit einem Fussgänger (
) die Relativgeschwindigkeit vorher
(
) gleich dem negativen der Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ist. Da das Auto aber (siehe
unten) nur unwesentlich abgebremst wird, fliegt der Fussgänger nach dem Stoss mit
durch
die Gegend.
Die Impulse nach dem Stoss sind dann
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(3.210) |
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(3.211) |
Es gibt die folgenden Spezialfälle:
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(3.212) |
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(3.213) |
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(3.214) |
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(3.215) |
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(3.216) |
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(3.217) |
Wir nennen einen Stoss vollkommen plastisch, wenn die beiden Körper nach dem Stoss aneinander kleben, wenn sie
quasi zu einer Masse (
) mit einer Geschwindigkeit (
) geworden
sind. Dann ist
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(3.218) |
Die Impulserhaltung ergibt dann
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(3.219) |
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(3.220) |
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(3.221) |
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(3.222) |
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(3.223) |
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(3.224) |
und damit für die Teilimpulse
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(3.225) |
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(3.226) |
Beim plastischen Stoss ist die Energie nicht erhalten. Wir bezeichnen mit die Energie, die in Wärme und
Deformation gespeichert wird.
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(3.227) |
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(3.228) |
Für die Endgeschwindigkeit hatten wir
und damit
. Eingesetzt
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(3.229) |
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(3.230) |
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(3.231) |
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(3.232) |
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(3.233) |
Die Grösse
heisst auch die
reduzierte Masse. Mit ihr können Zweikörper-Probleme
im Schwerpunktssystem einfacher gelöst werden.
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Als Annäherung an den dreidimensionalen Fall betrachten wir den elastischen Stoss in der Ebene. Jeder Stoss im Raum mit zwei Körpern kann auf den ebenen Fall zurückgeführt werden (warum?).
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Stoss in einer Ebene
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Annahmen
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(3.234) |
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(3.235) |
Impulssatz:
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(3.236) |
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(3.237) |
Energiesatz:
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(3.238) |
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(3.239) |
Zusammengesetzt erhalten wir
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(3.240) |
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(3.241) |
oder
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(3.242) |
Da das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, ist der Zwischenwinkel bei jedem elastischen ebenen Stoss (und damit bei jedem elastischen Stoss)
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(3.243) |
Wir betrachten Stösse, bei denen der zweite Stosspartner ruht. Die Geschwindigkeit des ersten
Stosspartners () definiert eine Richtung. Der Abstand des Strahls definiert durch
von
der Masse
wird mit
(Stossparameter) bezeichnet.
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Definition des Stossparameters
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nach dem Stoss:
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Situation nach einem ebenen Stoss
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Unbekannte sind
Impulserhaltung: in der -Richtung
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(3.244) |
Impulserhaltung in der -Richtung
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(3.245) |
Energieerhaltung
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(3.246) |
Eine 4. Relation ist durch den Stossparameter und die Physik der Wechselwirkung gegeben.
Experimentelle Stossverteilungen werden mit parametrisiert.
Grundlage: 2.Newton'sches Gesetz
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(3.247) |
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Rückstoss bei einer Armbrust
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Länge: (für Beschleunigung Beschleunigungsstrecke)
Endgeschwindigkeit:
Antriebszeit:
Rückstosskraft:
Wir erhalten die Betragsgleichung
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(3.248) |
Beweis: Antrieb:
Newton:
Wenn
über die Beschleunigungsphase konstant ist, gilt:
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(3.249) |
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(3.250) |
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Kräfte an einer Raketendüse. Die Rakete ist fixiert.
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Die Masse des wegfliegenden Gases trägt einen mit der Zeit grösser werdenden Impuls. Dieser Impulsänderung
entspricht eine äussere Kraft und einer Schubkraft
. Wir beachten weiter, dass
wir Vektoren mit den dem Koordinatensystem angepassten Komponenten verwenden müssen. Hier hat also
eine negative
-Komponente.
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(3.251) |
wobei mit
die Relativgeschwindigkeit zur Düse gemeint ist.
Beweis mit Newton
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(3.252) |
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(3.253) |
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(3.254) |
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(3.255) |
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Kräfte an einer Rakete
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(3.256) |
Beweis:
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(3.257) |
Wenn ein Massenelement die Düse verlässt, hat es in diesem Augenblick die
Geschwindigkeit
. Es trägt also den Impuls
weg. Auch hier verwenden wir die
Vektoren mit den durch das Koordinatensystem gegebenen richtigen Vorzeichen.
Infinitesimal gilt
und damit
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(3.258) |
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(3.259) |
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(3.260) |
Bewegung der kräftefreien Rakete:
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(3.261) |
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(3.262) |
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(3.263) |
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(3.264) |
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(3.265) |
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(3.266) |
das heisst, die Endgeschwindigkeit einer Rakete kann man steigern, indem man die Ausströmgeschwindigkeit des Gases
erhöht, oder indem man die Endmasse
im Vergleich zur Anfangsmasse
möglichst klein macht. Die zweite Lösung ergibt aber strukturelle Probleme
Othmar Marti