Stösse

Versuch zur Vorlesung: Schwerpunktsbewegung (Versuchskarte M-139)

Stösse sind kurzzeitige Wechselwirkungen (WW) zwischen zwei Körpern.

Stösse auf einer Geraden

Stoss zweier Massen

Impulserhaltung (eindimensionales Problem, also kann man mit Zahlen rechnen)

$$p_{1}+p_{2}=p_{1}'+p_{2}'$$ (3.204)

Stösse heissen elastisch wenn gilt

$$E_{1}+E_{2}=\frac{1}{2}\frac{p_{1}^{2}}{m_{1}}+\frac{1}{2}\frac{p... ...E_{2}'=\frac{1}{2}\frac{ p_{1}^{'2}}{m_{1}}+\frac{1}{2}\frac{p_{2}^{'2}}{m_{2}}$$ (3.205)

Dann kann aus Gleichung (3.162) und Gleichung (3.163) $p_{1}'$ und $p_{2}'$ ausgerechnet werden.

Wir schreiben die Gleichungen um und erhalten

$$p_{1}-p_{1}'=p_{2}'-p_{2}$$ (3.206)

und

$$\frac{1}{m_{1}}\left( p_{1}^{2}-p_{1}^{'2}\right) =\frac{1}{m_{2}} \left( p_{2}^{'2}-p_{2}^{2}\right)$$

Ausmultipliziert bekommen wir

$$\frac{1}{m_{1}}\left( p_{1}+p_{1}'\right) \left( p_{1}-p_{1}'\right) = \frac{1}{m_{2}}\left( p_{2}'+p_{2}\right) \left( p_{2}'-p_{2}\right)$$ (3.207)

$$\frac{1}{m_{1}}\left( p_{1}+p_{1}'\right) = \frac{1}{m_{2}} \left( p_{2}'+p_{2}\right)$$ (3.208)

also gilt für die Relativgeschwindigkeiten

$$v_{1}+v_{1}'=v_{2}+v_{2}'$$

$$v_{1}-v_{2}=v_{2}'-v_{1}'$$ (3.209)

Also ist die Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ( $v_{2}'-v_{1}'$) das Negative der Relativgeschwindigkeit vor dem Stoss ( $v_{1}-v_{2}$).

Das bedeutet, dass bei einer Frontalkollision von einem Auto ( $v_{1}=36km/h=10m/s$) mit einem Fussgänger ( $v_{2}=3.6km/h=1m/s$) die Relativgeschwindigkeit vorher ( $v_{1}-v_{2}=9m/s$) gleich dem negativen der Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ist. Da das Auto aber (siehe unten) nur unwesentlich abgebremst wird, fliegt der Fussgänger nach dem Stoss mit $v_{2}'=19m/s=68.4km/h$ durch die Gegend.

Die Impulse nach dem Stoss sind dann

$$p_{1}' = p_{1}\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}+p_{2}\frac{2m_{1}}{ m_{1}+m_{2}} \notag$$ (3.210)

$$p_{2}' = p_{2}\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}+p_{1}\frac{2m_{2}}{ m_{1}+m_{2}}$$ (3.211)

Es gibt die folgenden Spezialfälle:

• Spezialfall $p_{2}=0$, d.h. Stoss mit einem ruhenden Objekt
  

  $$p_{1}' = p_{1}\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \notag$$ (3.212)

  $$p_{2}' = p_{1}\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$ (3.213)

  
  

• Spezialfall $m_{2}\rightarrow \infty$, d.h. Stoss mit einer schweren Wand
  

  $$p_{1}' = -p_{1} \notag$$ (3.214)

  $$p_{2}' = p_{2}+p_{1}$$ (3.215)

  
  

• Stoss zweier gleicher Massen $m_{1}=m_{2}=m$
  

  $$p_{1}' = p_{2} \notag$$ (3.216)

  $$p_{2}' = p_{1}$$ (3.217)

  
  

Vollkommen plastischer Stoss

Wir nennen einen Stoss vollkommen plastisch, wenn die beiden Körper nach dem Stoss aneinander kleben, wenn sie quasi zu einer Masse ( $m_{1}+m_{2}=m$) mit einer Geschwindigkeit ( $v_{2}'=v_{1}'=v$) geworden sind. Dann ist

$$\frac{p_{1}'}{m_{1}}=\frac{p_{2}'}{m_{2}}$$ (3.218)

Die Impulserhaltung ergibt dann

$$p_{1}+p_{2} = p_{1}'+p_{2}' \notag$$ (3.219)

$$ = p_{1}'+\frac{m_{2}}{m_{1}}p_{1}' \notag$$ (3.220)

$$ = p_{1}'\left( \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\right) \notag$$ (3.221)

$$ = m_{1}v_{1}\left( \frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}\right) \notag$$ (3.222)

$$ = vm \notag$$ (3.223)

$$ = p$$ (3.224)

und damit für die Teilimpulse

$$p_{1}' = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left( p_{1}+p_{2}\right) \notag$$ (3.225)

$$p_{2}' = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left( p_{1}+p_{2}\right)$$ (3.226)

Beim plastischen Stoss ist die Energie nicht erhalten. Wir bezeichnen mit $Q$ die Energie, die in Wärme und Deformation gespeichert wird.

$$E_{kin_{1}}+E_{kin_{2}} = E_{kin}+Q \notag$$ (3.227)

$$\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} = \frac{1}{2}\left( m_{1}+m_{2}\right) v^{2}+Q$$ (3.228)

Für die Endgeschwindigkeit hatten wir $\left( m_{1}+m_{2}\right) v=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$ und damit $v=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{ m_{1}+m_{2}}$. Eingesetzt

$$Q = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}-\frac{m_{1}+m... ...left( m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\right) ^{2}}{\left( m_{1}+m_{2}\right) ^{2}} \notag$$ (3.229)

$$ = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}-\frac{ m_{1}^... ...}{ 2\left( m_{1}+m_{2}\right) }-\frac{m_{1}m_{2}v_{1}v_{2}}{m_{1}+m_{2}} \notag$$ (3.230)

$$ = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}\left( 1-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right... ...ac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) -\frac{ m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}v_{2} \notag$$ (3.231)

$$ = \frac{1}{2}\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}\fr... ...{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{2}^{2}-\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}v_{2} \notag$$ (3.232)

$$Q = \frac{1}{2}\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left( v_{1}-v_{2}\right) ^{2}$$ (3.233)

Die Grösse $\mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ heisst auch die reduzierte Masse. Mit ihr können Zweikörper-Probleme im Schwerpunktssystem einfacher gelöst werden.

Stösse in der Ebene

Versuch zur Vorlesung: Nicht-zentraler Stoss (Versuchskarte M-039)

Als Annäherung an den dreidimensionalen Fall betrachten wir den elastischen Stoss in der Ebene. Jeder Stoss im Raum mit zwei Körpern kann auf den ebenen Fall zurückgeführt werden (warum?).

Stoss in einer Ebene

Annahmen

$$\vec{v}_{2} = 0 \notag$$ (3.234)

$$m_{1} = m_{2}=m$$ (3.235)

Impulssatz:

$$m_{1}\vec{v}_{1} = m_{1}\vec{v}_{1}'+m_{2}\vec{v}_{2}' \notag$$ (3.236)

$$\vec{v}_{1} = \vec{v}_{1}'+\vec{v}_{2}'$$ (3.237)

Energiesatz:

$$\frac{1}{2}m_{1}\vec{v}_{1}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}\vec{v}_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\vec{v}_{2}^{'2} \notag$$ (3.238)

$$\vec{v}_{1}^{2} = \vec{v}_{1}^{'2}+\vec{v}_{2}^{'2}$$ (3.239)

Zusammengesetzt erhalten wir

$$\left( \vec{v}_{1}'+\vec{v}_{2}'\right) ^{2} = \vec{v}_{1}^{'2}+2\vec{v}_{1}'\vec{v}_{2}'+\vec{v}_{2}^{'2} \notag$$ (3.240)

$$ = \vec{v}_{1}^{'2}+\vec{v}_{2}^{'2}$$ (3.241)

oder

$$\vec{v}_{1}'\vec{v}_{2}'=0$$ (3.242)

Da das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, ist der Zwischenwinkel bei jedem elastischen ebenen Stoss (und damit bei jedem elastischen Stoss)

$$\alpha =\frac{\pi }{2}$$ (3.243)

Stösse im Raum

Wir betrachten Stösse, bei denen der zweite Stosspartner ruht. Die Geschwindigkeit des ersten Stosspartners ($m_{1}$) definiert eine Richtung. Der Abstand des Strahls definiert durch $\vec{v}_{1\text{ }}$von der Masse $m_{2\text{ }}$wird mit $b$ (Stossparameter) bezeichnet.

Definition des Stossparameters $b$

nach dem Stoss:

Situation nach einem ebenen Stoss

Unbekannte sind $v_{1},v_{2},\theta _{1},\theta _{2}$

Impulserhaltung: in der $x$-Richtung

$$m_{1}v_{1}=m_{1}v_{1}'\cos \theta _{1}+m_{2}v_{2}'\cos \theta _{2}$$ (3.244)

Impulserhaltung in der $y$-Richtung

$$0=m_{1}v_{1}'\sin \theta _{1}-m_{2}v_{2}'\sin \theta _{2}$$ (3.245)

Energieerhaltung

$$\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{'2}+\frac{1}{2} m_{2}v_{2}^{'2}$$ (3.246)

Eine 4. Relation ist durch den Stossparameter $b$ und die Physik der Wechselwirkung gegeben.

Experimentelle Stossverteilungen werden mit $b$ parametrisiert.

Raketen oder Tintenfische

Grundlage: 2.Newton'sches Gesetz

$$\vec{F=}\frac{d\vec{p}}{dt}$$ (3.247)

Rückstoss einer Armbrust

Versuch zur Vorlesung: Russische Kanone: Impuls- und Drehimpulserhaltung (Versuchskarte M-154)

Rückstoss bei einer Armbrust

Länge:$d$ (für Beschleunigung Beschleunigungsstrecke)

Masse: $m$ (Pfeil)

Endgeschwindigkeit: $v_{0}$

Antriebszeit:$t_{0}$

Rückstosskraft: $F_{R}$

Wir erhalten die Betragsgleichung

$$F_{R}=\frac{m}{t_{0}}v_{0}=\frac{m}{2}\frac{v_{0}^{2}}{d}$$ (3.248)

Beweis: Antrieb: $\vec{F}_{a}=-\vec{F}_{R}$

Newton: $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{a}$

Wenn $\vec{F}_{a}$ über die Beschleunigungsphase konstant ist, gilt:

$$\frac{\vec{p}}{t_{0}}=\vec{F}_{a}=\frac{m\vec{v}_{0}}{t_{0}}=- \vec{F}_{R}$$ (3.249)

Arbeit und Energie

$$E_{kin}=\frac{m\vec{v}_{0}^2}{2}=W\left( 0,d\right) =F_{a}d$$ (3.250)

Schub

Versuch zur Vorlesung: Rakete (Versuchskarte M-147)

Kräfte an einer Raketendüse. Die Rakete ist fixiert.

Die Masse des wegfliegenden Gases trägt einen mit der Zeit grösser werdenden Impuls. Dieser Impulsänderung entspricht eine äussere Kraft $\vec{F}_a$ und einer Schubkraft $\vec{F}_s = -\vec{F}_a$. Wir beachten weiter, dass wir Vektoren mit den dem Koordinatensystem angepassten Komponenten verwenden müssen. Hier hat also $\vec{v}_{Gas}$ eine negative $x$-Komponente.

$$\vec{F}_{s}=\frac{dm}{dt}\vec{v}_{Gas}=-\left\vert \frac{dm}{dt} \right\vert \vec{v}_{Gas}$$ (3.251)

wobei mit $\vec{v}_{Gas}$ die Relativgeschwindigkeit zur Düse gemeint ist.

Beweis mit Newton

$$\vec{F}_{a} = -\vec{F}_s$$ (3.252)

$$ = \frac{d\vec{p}}{dt} \notag$$ (3.253)

$$ = \frac{d}{dt}\left( m_{Gas}\left( t\right) \right) \vec{v}_{Gas} \notag$$ (3.254)

$$ = -\frac{dm\left( t\right) }{dt}\cdot \vec{v}_{Gas} \notag$$ (3.255)

Raketengleichung

Kräfte an einer Rakete

$$m\left( t\right) \frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}=-\left\vert \frac{ dm\left( t\right) }{dt}\right\vert \cdot \vec{v}_{Gas}+\vec{F}$$ (3.256)

Beweis:

$$\frac{d}{dt}m_{Gas}=-\frac{d}{dt}m\left( t\right)$$ (3.257)

Wenn ein Massenelement $dm$ die Düse verlässt, hat es in diesem Augenblick die Geschwindigkeit $\vec{v}(t)+\vec{v}_{Gas}$. Es trägt also den Impuls $dm \left(\vec{v}(t)+\vec{v}_{Gas}\right)$ weg. Auch hier verwenden wir die Vektoren mit den durch das Koordinatensystem gegebenen richtigen Vorzeichen. Infinitesimal gilt

$$\vec{F}(t)dt + d\vec{p}_{Gas}(t) = \vec{F}(t)dt + dm(t) \left(\vec{v}(t)+\vec{v}_{Gas}\right) = d\vec{p}_{Rakete}(t)$$

und damit

$$\vec{F}(t) = \frac{d\vec{p}_{Rakete}(t)}{dt}-\frac{dm(t)}{dt} \left(\vec{v}(t)+\vec{v}_{Gas}\right)\notag$$ (3.258)

$$ = \left\{ m\left( t\right) \frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}+\fra... ...right) }{dt}\left[ \vec{v}\left( t\right) +\vec{v}_{Gas}\right] \right\} \notag$$ (3.259)

$$ = m\left( t\right) \frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}-\frac{dm\left( t\right) }{dt}\vec{v}_{Gas}$$ (3.260)

Bewegung der kräftefreien Rakete:

$$m\left( t\right) \frac{d\vec{v}\left( t\right) }{dt}=\frac{dm\left( t\right) }{dt} \cdot \vec{v}_{Gas}$$ (3.261)

$$d\vec{v}\left( t\right) =\frac{dm\left( t\right) }{m\left( t\right) } \cdot \vec{v}_{Gas}$$ (3.262)

$$\int\limits_{0}^{t_{0}}d\vec{v}\left( t\right) = \vec{v}_{Gas}\int\limits_{0}^{t_{0}}\frac{dm\left( t\right) }{m(t)} \notag$$ (3.263)

$$ = \vec{v}\left( t\right) -\vec{v}\left( 0\right) \notag$$ (3.264)

$$ = \vec{v}_{Gas}\cdot \left( \ln \left( m\left( t\right) \right) -\ln m_{0}\left( 0\right) \right)$$ (3.265)

$$\vec{v}\left( t\right) =\vec{v}_{0}-\vec{v}_{Gas}\ln \frac{m\left( 0\right) }{m\left( t\right) }$$ (3.266)

das heisst, die Endgeschwindigkeit einer Rakete kann man steigern, indem man die Ausströmgeschwindigkeit des Gases $\vec{v}_{Gas}$ erhöht, oder indem man die Endmasse $m\left( t\right)$ im Vergleich zur Anfangsmasse $m\left( 0\right)$ möglichst klein macht. Die zweite Lösung ergibt aber strukturelle Probleme