Spezielle Relativitätstheorie

Widersprüche zur klassischen Relativität

• - Phänomene der Elektrizität widersprechen der Galileischen Relativität. Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant gegenüber der Galileischen Relativität.

• - Es wurde postuliert, dass Licht sich in einem Äther sich fortpflanzt. Was passiert bei der Fortpflanzung im Äther? Das Beispiel eines Schwimmers in der Donau zeigt:

Schwimmen mit und senkrecht zur Strömung.

Jeder Schwimmer habe die Geschwindigkeit $v_{s}$ gegen das Wasser, beide schwimmen die Strecke $s_{0}$ hin und zurück

Schwimmer 1) schwimmt vom Pfeiler zur Boje und zurück.

$$t_{1}=\frac{s_{0}}{v_{s}+v_{D}}+\frac{s_{0}}{v_{s}-v_{D}}=\frac{s... ...}-v_{D}^{2}}=\frac{2s_{0}}{v_{s}\left( 1-\frac{v_{D}^{2}}{v_{s} ^{2}}\right) }$$

Schwimmer 2) schwimmt vom Pfeiler ans Ufer und zurück. Damit er wieder beim Pfeiler ankommt, muss er seine Schwimmrichtung um den Winkel $\alpha$ gegen die Strömung vorhalten.

Vorhalten des Schwimmers 2.

Der Vorhaltewinkel wird gegeben durch

$$\sin\alpha=\frac{v_{D}}{v_{s}}$$ (4.421)

Dann ist die effektive Geschwindigkeit

$$v_{eff}=v_{s}\cos\alpha$$ (4.422)

$$t_{2}=\frac{2s_{0}}{v_{eff}}=2\frac{s_{0}}{v_{s}\cos\alpha}=\frac{2s_{0} }{v_{s}\sqrt{1-\frac{v_{D}^{2}}{v_{s}^{2}}}}$$ (4.423)

Die beiden Schwimmer brauchen unterschiedlich lange. Das Verhältnis ihrer Schwimmzeiten ist

$$\frac{t_{1}}{t_{2}}=\frac{2v_{s}s_{0}\sqrt{v_{s}^{2}-v_{D}^{2}}}{... ...s}}{\sqrt{v_{s}^{2}-v_{D}^{2}} }=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_{D}^{2}}{v_{s}^{2}}}}$$ (4.424)

unabhängig von $s_{0}$.

Der Zeitunterschied ist, andererseits

$$\Delta t =t_{1}-t_{2}$$

$$=\frac{2s_{0}}{v_{s}\left( 1-\frac{v_{D}^{2}}{v_{s}^{2}}\right) } -\frac{2s_{0}}{v_{s}\sqrt{1-\frac{v_{D}^{2}}{v_{s}^{2}}}}$$

$$=\frac{2s_{0}}{v_{s}\left( 1-\frac{v_{D}^{2}}{v_{s}^{2}}\right) }\left( 1-\sqrt{1-\frac{v_{D}^{2}}{v_{s}^{2}}}\right)$$

$$\approx\frac{2s_{0}}{v_{s}\left( 1-\frac{v_{D}^{2}}{v_{s}^{2}}\ri... ...D}^{2}}{2v_{s}^{2}}+O\left( \frac{v_{D}^{4} }{v_{s}^{4}}\right) \right) \right)$$

$$\underset{v_{D}\ll v_{s}}{\underbrace{\approx}}\frac{2s_{0}}{v_{s}} \frac{v_{D}^{2}}{2v_{s}^{2}}$$

$$=\frac{s_{0}v_{D}^{2}}{v_{s}^{3}}$$ (4.425)

Wir machen nun die folgende Identifikation

• Schwimmer $\rightarrow$ Licht

• Donau $\rightarrow$Äther

• $v_{s}\rightarrow c$

• $v_{D}\rightarrow v_{\ddot{A}ther}$

Wir erhalten also

$$\Delta t=\frac{s_{0}v_{\ddot{A}ther}^{2}}{c^{3}}$$ (4.426)

Die maximale Geschwindigkeitsdifferenz durch den Äther ist im Laufe eines Jahre zwei mal die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne, also $60km/s$.

Michelson-Morley-Experiment: Interferometrische Längenmessung.

Der zu $\Delta t$ gehörende Weglängenunterschied $\Delta x$ ist

$$\Delta x=c\Delta t=\frac{s_{0}v_{\ddot{A}ther}^{2}}{c^{2}}$$ (4.427)

Im Michelson-Morley-Versuch erwartet man für die verwendeten Parameter

$$\left. \begin{array}[c]{c} L=10m\\ \lambda=300nm\\ v_{\d... ...ght\} \text{eine Verschiebung um knapp einen Interferenzring.}$$

Wenn man eine Verschiebung um einen Viertel Interferenzring beobachten kann, dann gilt für die Äthergeschwindigkeit

$$v_{\ddot{A}ther}\geq c\sqrt{\frac{\Delta x}{s_{0}}}=3\cdot10^{8}\frac{m} {s}\sqrt{\frac{3\cdot10^{-7}m/4}{10m}}=18000\frac{m}{s}$$ (4.428)

Wie die Rechnung zeigt, ist das Michelson-Morley-Experiment an der Grenze der Signifikanz. Der aufgrund der Messdaten durchaus zweifelhafte Befund der beiden wurde später glänzend bestätigt. Heute wird eine äquivalente Technik zur Gravitationswellendetektion angewandt.

Es wurde aber kein Gangunterschied beobachtet über eine Jahreszeit. Es gibt nun zwei Lösungen:

1. Äther wird durch die Erde mitgeführt, aber: die Lichtgeschwindigkeit in Flüssigkeiten zeigt kein Mitführeffekt.

2. Lorentz und Fitzgerald sagen, dass der in die Richtung der Ätherbewegung stehende Arm um $\sqrt{1-\frac{v_{\ddot{A}ther}^{2}}{c^{2}}}$ kürzer wird und so die Laufzeit kompensiert. Experimente mit elektrischen Ladungen zeigen diese Längenkontraktion

Das Experiment kann so interpretiert werden: Das Interferometer bewegt sich gleich schnell gegenüber dem Äther, unabhängig von der Position auf der Erdbahn.

Theorie von Einstein

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 1156]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 838])

1. Es gibt kein physikalisch bevorzugtes Inertialsystem. Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen dieselbe Form an.
2. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist in jedem beliebigen Inertialsystem konstant unabhängig vom Bewegungszustand der Quelle.

Eine andere Formulierung des 2. Postulates ist

Jeder Beobachter misst für die Lichtgeschwindigkeit $c$ im Vakuum den gleichen Wert.

Anders kann man auch sagen

• Relativitätsprinzip: Es gibt keine Möglichkeit, eine absolute Geschwindigkeit zu messen.

• Lichtgeschwindigkeit c ist unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle.

• Licht breitet sich mit $c=3\cdot10^{8}m/s$ aus in jeden Inertialsystem.

• Information bewegt sich nicht schneller als mit $c$

Punktereignisse

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 838])

Ereignisse sind durch einen Ort und eine Zeit gegeben. Dies kann so ausgedrückt werden, dass 4 Koordinaten zur Angabe eines Ereignisses notwendig sind.

$$\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x y z ct \end{arr... ...ht) = \left(\begin{array}{c} x_1 x_2 x_3 x_4 \end{array}\right)$$ (4.429)

Wir multiplizieren hier die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit, um ihr die Einheit einer Länge zu geben.

Zwei Ereignisse sind in jedem Inertialsystem gleichzeitig, wenn sie am Ort und zur gleiche Zeit (an dem betreffenden Ort) stattfinden.

Ein Bezugssystem ist allgemein formuliert ein System von Mechanismen und materiellen Körpern, (Z.B. Uhren und Massstäbe), mit deren Hilfe die Lage anderer Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt relativ zu den Massstäben angegeben werden kann (das Punktereignis).

Ein Körper ist also eine Folge von Punktereignissen. Man nennt diese Linie die Weltlinie des Körpers.

All das was sich auf mich wirkt, oder auf was ich wirken kann, muss sich in einem Gebiet befinden, von dem aus ein Punktereignis mit dem jetzt mit einer Geschwindigkeit $v < c$ verbunden werden kann. In einem Koordinatensystem mit den Achsen $x$, $y$, $z$ und $ct$ bedeutet dies, dass nur Punktereignisse aufeinander einwirken können, bei denen die Steigung der Verbindungslinie steiler als $\pi/4$ ist.

Rückdatierung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 839])

Rückdatierung der Beobachtung eines Ereignisses auf die wahre Zeit und den wahren Ort.

Wenn ich weiss, dass die Nachricht von einem Ereignis mich mit einer bestimmten Laufzeit aus einer bestimmten Richtung erreicht, kann ich die Zeit und den Ort des Ereignisses bestimmen. Durch diese sogenannte Rückdatierung kann es mir gelingen, festzustellen, wann und wo ein oder mehrere Ereignisse stattgefunden haben sowie ob mehrere Ereignisse für andere Beobachter gleichzeitig sind.

Um die Lage eines Punktereignisses in einer für alle möglichen Beobachter nachvollziehbaren Weise anzugeben, muss das Hilfsmittel der Rückdatierung angewandt werden.

Im Regelfall werden bei der Diskussion der speziellen Relativitätstheorie Licht- oder Radiosignale verwendet. Sie haben den Vorteil, dass ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen $c$ ist. Natürlich könnten wir auch Schall, oder jedes andere Medium verwenden: die Berechnungen wären durch die niedrigere Geschwindigkeit bedingt aber komplizierter.

Die Zeitachse wird mit $ct$ bezeichnet, um die gleiche Einheit wie die $x$-Achse zu haben. Die $x$-Achse fasst alles zusammen, was jetzt geschieht. Die $ct$-Achse fasst alles zusammen, was am Ort des Beobachters, hier geschieht. Zum dargestellten Zeitpunkt hat der Beobachter bei $x=0$ und $ct=0$ Kenntnis über alles was im zeitartigen Gebiet unterhalb der $x$-Achse liegt. Alles was im zeitartigen Gebiet über der $x$-Achse liegt, kann beeinflusst werden. Zum dargestellten Zeitpunkt gibt es keine gegenseitige Beeinflussung von Punkten im raumartigen Gebiet.

Relativistisches Mass

Wir definieren als Mass (verallgemeinerte Längenmessung)

$$s^2_{1\text{,} 2} = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2-c^2 (t_2-t_1)^2$$ (4.430)

Dies ist analog zum Euklidischen Mass

$$s^2_{1\text{,} 2\text{,} Euklid} = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2$$

Zwei Ereignisse heissen zeitartig, wenn

$$s^2_{1\text{,} 2} <0$$

Zwei Ereignisse heissen raumartig, wenn

$$s^2_{1\text{,} 2} >0$$

Gleichzeitigkeit

Die zwei Novae sollen an den angegebenen Orten und Zeiten ausbrechen. B befindet sich in einem Inertialsystem, das sich mit der Geschwindigkeit $u$ gegenüber dem Inertialsystem von A bewegt.

In der Abbildung stellt die horizontale Achse alle drei Raumkoordinaten zusammen dar. Am Ort $r=0$ befindet sich A in Ruhe. Deshalb ist die Zeitachse von A sein hier. Andererseits haben alle Punkte auf der $r$-Achse die gleich Zeit wie A, sie befinden sich also jetzt. Die hier und jetzt eines sich in einem mit der Geschwindigkeit $u$ gegenüber A's Inertialsystem bewegenden Beobachters B sind gekippt gegenüber meinen Koordinatenachsen, wobei der Kippwinkel $\alpha$ der Zeitachse ($ct'$, hier) durch die Geschwindigkeit gegeben ist. Unbekannt ist der Kippwinkel $\beta$ der Raumachse ($r'$, jetzt). B soll gleichzeitig die Explosion von je einer Nova links und rechts von ihm beobachten. Beide Novae sollen den gleichen Abstand von B haben. Sie sollen, als B's Weltlinie die von A kreuzte ausgebrochen sein

Dies kann wie folgt eingesehen werden:

• Licht breitet sich mit $c$ in jedem Inertialsystem aus. Ich kann also, auch wenn ich nicht weiss, wie die Geschwindigkeiten in B's System zu transformieren sind, die Weltlinie des Lichtes angeben.
• Die Zeitachse von B ist seine Geschwindigkeit $u$. Die beiden Weltlinien des Lichtes aus jedem der beiden Ereignisse müssen sich auf B's Weltlinie, seiner $ct'$-Achse, schneiden.
• Der Winkel $PRQ$ ist ein rechter Winkel, da beide Lichtgeraden die $x$-Achse von A unter $\pi/4$ schneiden. Also ist $PQR$ ein rechtwinkliges Dreieck.
• Da B die beiden Novae gleichzeitig sieht, muss der Abstand gleich zur Zeitachse von B ($ct'$) gleich sein. Also ist der Schnittpunkt der Orts- und der Zeitachse in B's System der Mittelpunkt des Thaleskreises des rechtwinkligen Dreiecks $RPQ$. Deshalb sind die Strecken $\overline{0P}=\overline{0Q}=\overline{0R}$ gleich.

Zwischenbeobachtung: Die beiden roten Linien unter $\pi/4$ stellen die Ausbreitung des Lichtes dar, die Lichtgeraden: die Lichtgeschwindigkeit bei unserer Wahl der Koordinaten ist 1. Die beiden roten Linien durch die beiden Ereignisse zeigen, dass B beide Novae gleichzeitig wahrnimmt. A hingegen sieht zuerst die Nova 1, dann die Nova 2, da der Schnittpunkt der ersten roten Linie mit der $ct$-Achse unter dem der zweiten Linie liegt.

Der Begriff der Gleichzeitigkeit hängt vom betrachteten Inertialsystem ab.

• B's Geschwindigkeit gegenüber A legt den Winkel $\alpha$ fest. Gesucht ist der Winkel $\beta$
• Aus dem Winkel $PRQ$ liest man ab:
  $$\pi/2 = \phi+\gamma.$$

• Da das Dreieck $Q0R$ gleichschenklig ist, ist auch
  $$\epsilon = \gamma$$

• Aus dem Dreieck $0RT$ und dem Winkel der beiden Lichtgeraden zur $ct$-Achse beziehungsweise zur $r$-Achse von $\pi/4$ folgt
  $$\alpha + 3\pi/4+ \phi = \pi$$
  oder
  $$\alpha = \pi/4-\phi.$$

• Aus dem Dreieck $0SQ$ und dem Winkel der beiden Lichtgeraden zur $ct$-Achse beziehungsweise zur $r$-Achse von $\pi/4$ folgt
  $$\beta + \pi/4 + \left[\pi-\epsilon\right] = \pi$$
  und mit $\epsilon = \gamma = \pi/2-\phi$ folgt
  $$\beta= \epsilon-\pi/4 = \pi/4-\phi.$$

Also ist

$$\alpha = \beta$$ (4.431)

Diagramme wie das aus der Abbildung 4.18 heissen Minkowski-Diagramme.

Je schneller $B$ ist, desto mehr werden, von $A$ aus gesehen, seine Achsen gegen die $\pi/4$ Linie gekippt.

Die beiden Novae aus der Sicht von B.

Die Beschreibung von B ist ebenso gültig. Aus seiner Sicht ist A's Geschwindigkeit genau das negative von seiner, von A aus gesehen. Deshalb ist A's 'ct'-Achse um $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn geneigt.

Ereignisse, die aus B's Sicht gleichzeitig sind, sind für A nicht gleichzeitig, und umgekehrt.

Relationen zwischen Ereignissen sind nur dann sinnvoll zu beschreiben, wenn gleichzeitig auch das Bezugssystem angegeben wird.

In jedem Inertialsystem gibt es konsistente Masseinheiten, die aber von Inertialsystem zu Inertialsystem verschieden sind.

Längenkontraktion

Massstabsvergleich

Die beiden Koordinatenursprünge (B's und meiner) sollen übereinander liegen. B's Koordinatensystem ist gekippt. Alle seine eindimensionalen Objekte sind parallel zu seiner jetzt-Achse, genauso wie alle meine eindimensionalen Objekte parallel zu meiner jetzt-Achse sind. Zum Zeitpunkt $t=0$ (gilt für beide) ist das linke Ende je eines Massstabes genau am Ursprung. Das Ende meines Massstabes ist in $Q$ und bewegt sich weiter zu $Q'$. Das rechte Ende von B's Massstab beschreibt die Linie $P$ nach $P'$. Für mich ist zur Zeit $t=0$ das Ende von B's Massstab in $P$, für ihn ist es in $P'$. Analog sagt B, dass mein Massstab zur Zeit $t=0$ in $Q'$ ist, während es für mich in $Q$ ist.

Da kein Bezugssystem bevorzugt ist, muss meine Beschreibung der Situation und seine äquivalent sein.

Mein Massstab ist für B verkürzt, während seiner für mich kürzer ist. Der Verkürzungsfaktor $f$ muss für beide der gleiche sein:

$$f = \frac{\overline{0P}}{\overline{0Q}} = \frac{\overline{0Q'}}{\overline{0P'}}$$ (4.432)

und damit auch

$$f^2 = \frac{\overline{0P}\cdot \overline{0Q'}}{\overline{0Q}\cdot\overline{0P'}}$$

Nun ist

$$\frac{\overline{0Q'}}{\overline{0Q}} = \frac{1}{\cos\alpha}$$

und nach dem Sinussatz

$$\frac{\overline{0P}}{\overline{0P'}} = \frac{\sin(\pi/2-2\alpha)}{\sin(\pi/2+\alpha)}=\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}$$

Damit ist

$$f^2 = \frac{\cos(2\alpha)}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}= 1 -\tan^2\alpha$$ (4.433)

$f$ ist die Steigung der Weltline eines Punktes mit der Geschwindigkeit $v$.

$$v = \frac{x}{t} = \frac{c x}{ct}$$

Die Steigung ist dann

$$\frac{v}{c} = \frac{x}{ct} = \tan\alpha$$

Wir erhalten also

Lorentz-Kontraktion

$$f = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ (4.434)

In jedem gegen das Inertialsystem des Beobachters mit $v$ bewegten Inertialsystem erscheinen die in Richtung der Bewegung zeigenden Längen um $f = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ verkürzt.

In mehreren Dimensionen entstehen durch die Laufzeiten vom Bildpunkt zum Auge zusätzliche Verzerrungen, so dass Objekte nicht einfach verkürzt erscheinen.

Als Beispiel betrachten wir eine Länge. $a$ sei die Länge gemessen im ruhenden System. $a'$ sei die Länge gemessen im bewegten System. Dann ist

$$a=f\cdot a'=a'\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

Uhrenvergleich

Darstellung des Uhrenvergleichs

.

Vergrösserte Darstellung aus der vorherigen Abbildung.

Aus $R$, beziehungsweise $R'$ kann das Punktereignis Uhr zeigt 1 im anderen Bezugssystem rekonstruiert werden. Die Argumentation ist analog wie beim Längenvergleich. Wir fordern:

$$f = \frac{\overline{0P}}{\overline{0Q}} = \frac{\overline{0Q'}}{\overline{0P'}}$$

und damit

$$f^2 = \frac{\overline{0P}}{\overline{0Q}} \frac{\overline{0Q'}}{\overline{0P'}}$$

$0QQ'$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Also ist

$$\frac{\overline{0Q}}{\overline{0Q'}} = \cos\alpha$$

Das Dreieck $0PP'$ ist ein allgemeines Dreieck, bei dem der Sinussatz

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

angewendet werden kann, wobei $b$ die $\beta$ gegenüberliegende Seite ist, und analog weiter.

Wenn wir den Schnittpunkt $\overline{PP'}$ mit $\overline{QQ'}$ mit $U$ bezeichnen, so ist das rechtwinklige Dreieck $UQP$ kongruent zu $0QQ'$. Also ist $\angle PUQ = \alpha$ und $\angle UPQ = \pi/2 - \alpha$. Der Aussenwinkel dazu ist $\angle 0PP' = \pi/2+\alpha$. Dieser Winkel liegt $\overline{0P'}$ gegenüber. Aus der Winkelsumme im Dreieck bekommt man schliesslich $\angle 0P'P = \pi -\alpha -(\pi/2 +\alpha) = \pi/2-2\alpha$. Dieser Winkel liegt $\overline{0P}$ gegenüber. Also ist

$$\frac{\overline{0P}}{\sin(\pi/2-2\alpha)}=\frac{\overline{0P'}}{\sin(\pi/2+\alpha)}$$

und

$$\frac{\overline{0P}}{\overline{0P'}} = \frac{\sin(\pi/2-2\alpha)}{\sin(\pi/2+\alpha)}=\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}$$

sowie

$$f^2 = \frac{\overline{0P}}{\overline{0Q}} \frac{\overline{0Q'}}{\... ...rline{0Q}}= \frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}\frac{1}{\cos\alpha}=1-\tan^2\alpha$$

$\tan\alpha$ ist die Steigung der Weltlinie. Also bekommen wir wieder

$$f = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ (4.435)

Jeder Beobachter sieht die Uhr des anderen erst später die 1 erreichen. Bewegte Uhren gehen also langsamer wegen der Zeitdilatation.

Link zur Vorlesung:(Zeitdilatation)

Zwischen zwei Punktereignissen misst derjenige Beobachter den kürzesten Zeitabstand, der sie (soweit möglich) direkt erlebt, also für den sie beide ''hier'' sind.

Zwischen zwei Punktereignissen misst derjenige den kürzesten Abstand, für den sie gleichzeitig erfolgen (bei ihm ist der Massstab am längsten!).

Da wir keine Aussage über die Natur der Uhren gemacht haben, müssen wir schliessen, dass die obige Aussage für alle Prozesse gilt.

Wir können das oben gesagte auch so formulieren:

Im bewegten System (Geschwindigkeit $v$) am Punkt 0 gibt es zwei Ereignisse $A$ und $B$ im Abstand $t'$

Im Ruhesystem $x$,$y$,$z$,$t$ misst man

$$t\left( x=vt,0,0\right) =\frac{t'\left( x'=0\text{,} y'=0\text{,} z'=0\right)}{ \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$ (4.436)

Der Vollständigkeit halber steht unten noch das in den Lehrbüchern übliche, kaum verständliche Diagramm.

Traditionelle Darstellung des Uhrenvergleichs nach (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 842])

Der relativistische Dopplereffekt

Der longitudinale relativistische Dopplereffekt. Links ist mein Standpunkt, rechts der von B.

Die obige Skizze soll die Frage klären, welche Periode $T'$ B misst für ein Signal, für das ich die Periode $P$ messe. Die Berechnung läuft wie folgt:

• B's Weltlinie läuft schräg zu der meinen.
• Sinussatz:
  $$\overline{0Q} = \overline{0P}\frac{\sin\pi/4}{\sin(\pi/4-\alpha)}= \overline{0P}\frac{1}{\cos\alpha-\sin\alpha}$$

• Die Zeitdifferenz ist durch den vertikalen Abstand gegeben:
  $$\overline{0Q}\cos\alpha = \overline{0P}\frac{1}{1-\tan\alpha}=\overline{0P}\frac{1}{1-v/c}$$

• Damit ist
  $$T' = \frac{T}{1-v/c}$$
  der normale Dopplereffekt, der für $v \ll c$ gilt.
• Die Zeiteinheit ist auf B's Zeitachse um $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ grösser.
• Also muss
  $$T' = T \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-v/c}$$
  sein.
• Mit der Frequenz $\nu = 1/T$ bekommt man:
  $$\nu' = \nu \frac{1-v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \nu \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}$$

$B$ würde anders argumentieren (rechte Seite von Abbildung 4.3.5)

• Ohne Berücksichtigung der Zeitdilatation wäre:
  $$T' = T \frac{\sin(3\pi/4 -\alpha)}{\sin(\pi/4)}=T\left(1+\frac{v}{c}\right)$$

• Die Zeitdilatation, die nach B's Ansicht für mich gilt:
  $$T' = T\frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

• Frequenz:
  $$\nu' = \nu\frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+v/c}=\nu\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}$$

Der Dopplereffekt wird also durch die spezielle Relativitätstheorie für alle Inertialsysteme konsistent beschrieben.

Longitudinaler relativistischer Dopplereffekt:

$$\nu'=\nu\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$$ (4.437)

wenn im ungestrichenen System mit der Frequenz $\nu$ Strahlung ausgesendet wird und in dem mit $v$ sich dazu bewegenden gestrichenen System $\nu'$ gemessen wird.

Wenn eine Bewegung im Winkel $\alpha$ schräg zur zur Beobachtungsrichtung verläuft, ist der relevante Längenunterschied nicht $\Delta \ell'$ sondern $\Delta\ell'\cos\alpha$. Sei $T'$ die Periodendauer im bewegten Bezugssystem und $\Delta \ell'$ die Distanz, um die sich das bewegte Bezugssystem in $T'$ bewegt. Die Zeitdilatation ist unabhängig von der Bewegungsrichtung, die Längenkontraktion jedoch nicht!

Wir erhalten die Beziehungen

$$\Delta\ell\cos\alpha = -\frac{v T}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cos\alpha$$ (4.438)

$$\Delta t' = \frac{T}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (4.439)

$$T' = \Delta t'+\frac{-\Delta\ell\cos\alpha}{c}$$ (4.440)

Eingesetzt ergibt sich

$$T' = \frac{T}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{v T}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}\cos\alpha =\frac{T}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \left(1+\frac{v}{c}\cos\alpha\right)$$

Für die Frequenzen ($\nu = 1/T$) gilt dann

$$\nu' = \nu\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v}{c}\cos\alpha}$$ (4.441)

Für $\alpha=0$ bekommt man den transversalen Dopplereffekt

$$\nu' = \nu{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (4.442)

Dies ist nichts anderes als ein Ausdruck der Zeitdilatation. Bei Schallwellen gibt es keinen transversalen Dopplereffekt.

Addition von Geschwindigkeiten

Addition von Geschwindigkeiten

In diesem Gedankenexperiment sollen B und ich einen Meteoriten beobachten:

• B's Geschwindigkeit gegen mein Bezugssystem sei $v$.
• Die Geschwindigkeit des Meteoriten gegen mein Bezugssystem sei $u$
• Die Weltlinie des Meteoriten, die Weltlinie von B sowie meine Weltlinie kreuzen alle im Punkte 0

Im Punkte $R'$ misst B durch Rückdatierung, dass der Meteorit zur Zeit $t'$ in $P$ und er in $R$ gewesen sind.

Die Länge einer Einheit auf B's $ct'$-Achse und die Länge einer Einheit von B's Ortsachse $x'$ sind gleich, unabhängig von B's Geschwindigkeit $v$. Wäre das nicht so, dann wäre eine Achse, die $ct'$-Achse vor den anderen Achsen ausgezeichnet.

In dem durch $R$ gegebenen Zeitpunkt $t'$ bestimmt B die Geschwindigkeit des Meteoriten durch

$$w = \frac{\overline{PR}}{\left(\frac{\overline{0R}}{c}\right)}= c \frac{\overline{PR}}{\overline{0R}}$$ (4.443)

Damit berechnet man mit dem Sinussatz

$$w = c \frac{\overline{PR}}{\overline{0R}} = c\frac{\sin(\alpha+\delta)}{\sin(\pi/2-\delta+\alpha)}$$

$$ = c \frac{\sin(\alpha+\delta)}{\cos(\alpha-\delta)}$$

$$ = c\frac{\sin\alpha \cos\delta + \cos\alpha\sin\delta}{\cos\alpha\cos\delta +\sin\alpha\sin\delta}$$

$$ = c\frac{\tan\alpha+ \tan\delta}{1+\tan\alpha\tan\delta}$$

$$ = c\frac{\frac{v}{c}+ \frac{u}{c}}{1+\frac{v}{c}\frac{u}{c}}$$

$$ = -\frac{v+u}{1+uv/c^2}$$ (4.444)

Die relativistische Summe zweier Geschwindigkeiten ist

$$w = \frac{u+v}{1+uv/c^2}$$ (4.445)

ein Wert, der um $(1+uv/c^2)^{-1}$ kleiner ist als die klassische Addition von Geschwindigkeiten.

Es gibt die folgenden Spezialfälle:

• $v=c$: $w = \frac{u + c}{1+ uc/c^2} = c \frac{u+c}{c+u} = c$ unabhängig von $u$
• $u = v$: $w = \frac{2u}{1+u^2/c^2}$
• $u= 0$: $w = \frac{0+v}{1+0v/c^2} = v$. Dies bedeutet, dass in dem Falle die klassischen Gleichungen wieder gelten sollten.
• $uv\ll c^2$: $w = \frac{u + v}{1+ uv/c^2} \approx \left(u+v\right)\left(1-uv/c^2\right) \approx u+v$

Aus den Spezialfällen lernt man

$c$ ist die maximal mögliche Geschwindigkeit.

Zwei Beispiele:

• $u=v=0.5 c$: $w = \frac{c}{1+0.25} = \frac{4}{5} c$
• $u=v=0.9 c$: $w = \frac{1.8 c}{1+0.81} = \frac{180}{181} c$

Messung von Beschleunigungen

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 845])

Das folgende Gedankenexperiment soll zur Ableitung des Messverfahrens für relativistische Beschleunigungen dienen.

• B soll im Moment des Zusammentreffens mit A einen Körper K beschleunigen lassen.
• die Anfangsgeschwindigkeit für B ist $u'(t'=0)=0$.
• Nach der Zeit $\Delta t'$ misst B die Geschwindigkeit $u'$ und bestimmt die Beschleunigung aus
  $$a' = \frac{u'}{\Delta t'}$$

• Für A sieht die Situation folgendermassen aus:
• Die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers $K$ ist diejenige von B, also $u(t=0) = v$.
• Nach der Zeit $\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ wird die Geschwindigkeit $u$ gemessen.
• Zur Zeit der zweiten Messung hat K für mich nach dem Additionstheorem die Geschwindigkeit
  $$w = \frac{v+u'}{1+vu'/c^2}$$

• Die Geschwindigkeit von K nimmt nach

  $$\Delta w = \frac{v+u'}{1+vu'/c^2}- v$$

  $$\approx \left(v+u'\right)\left(1-\frac{vu'}{c^2}\right)-v$$

  $$= v - \frac{v^2 u'}{c^2} + u' - \frac{v u'^2}{c^2} -v$$

  $$\approx - \frac{v^2 u'}{c^2} + u'$$

  $$= u'\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$$

  
  
  zu.
• Die Beschleunigung, die A misst, ist
  $$a = \frac{\Delta w}{\Delta t} = \frac{u'}{\Delta t}\left(1-\frac{... ...'}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}= a' \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}$$

Die von B gemessene longitudinale Beschleunigung $a'$ ist grösser als die von A gemessene Beschleunigung

$$a = a' \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}$$ (4.446)

.

Bewegte Masse

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 1176]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 846])

Gedankenexperiment zur Bestimmung der relativistischen Masse

Von dem Startturm aus werden zwei identische Raketen in kurzer Zeit auf die Geschwindigkeit $v$ oder $-v$ beschleunigt. Wir betrachten die Situation nach der Beschleunigung. Im Ruhesystem des Startturms ist klar, dass der Schwerpunkt $S$ am Ort bleibt, da wir eine bezüglich des Startturms symmetrische Situation haben.

Für den Reisenden in der Rakete $A$ sieht die Situation so aus:

• Der Startturm bewegt sich mit $v$ nach rechts.
• $B$ bewegt sich bezüglich des Startturms mit $v$ nach rechts.
• Für $A$ ist $B$'s Geschwindigkeit

  $$w = \frac{2v}{1+v^2/c^2}$$ (4.447)

  
  
  nach rechts nach Gleichung (4.63) .

Für den Reisenden in der Rakete $B$ sieht die Situation so aus:

• Der Startturm bewegt sich mit $v$ nach links.
• $A$ bewegt sich bezüglich des Startturms mit $v$ nach links.
• Für $B$ ist $A$'s Geschwindigkeit
  $$w = \frac{2v}{1+v^2/c^2}$$
  nach links nach Gleichung (4.63) .

Daraus würden A und B mit klassischer Mechanik gegenseitig schliessen, dass der Schwerpunkt des Systems sich vom Startturm wegbewegt.

Nach dem 1. Einsteinschen Postulat muss die Beschreibung sowohl für das Ruhesystem des Startturms wie auch für A (und für B) konsistent sein. Der Schwerpunkt S kann sich nur dann für $A$ immer über dem Startturm befinden, wenn die Masse von $B$, $m_B$, zunimmt. Der Abstand (für grosse Zeiten) von $B$ zum Startturm im Bezugssystem von $A$ geht wie

$$\ell_B = (w-v)\cdot t = \left(\frac{2v}{1+v^2/c^2}-v\right) t$$ (4.448)

Der Abstand des Startturms von $A$ ist in dessen Bezugssystem $\ell_A = v\cdot t$. Wir können uns auch vorstellen, dass wir das System aus den beiden Raketen am Schwerpunkt unterstützen, die Situation ist analog zu einer Balkenwaage. Bezüglich des Schwerpunktes muss die Summe aller Drehmomente null sein. Dies geht offensichtlich nur, wenn die Masse von B, $m_B$ nicht konstant, sondern von der Geschwindigkeit $w$ abhängt. Also ist

$$m_A \ell_A = m_B(w) \ell_B = m_B(w) \left(\frac{2v}{1+v^2/c^2}-v\right) t = m_A v \cdot t$$ (4.449)

Wir erhalten deshalb

$$m_B(w) = m_A \frac{v}{\frac{2v}{1+v^2/c^2}-v}$$

$$ = m_A \frac{1}{\frac{2}{1+v^2/c^2}-1}$$

$$ = m_A \frac{1+v^2/c^2}{2-(1+v^2/c^2)}$$

$$ = m_A \frac{1+v^2/c^2}{1-v^2/c^2}$$

$$ = m_A \frac{c^2+v^2}{c^2-v^2}$$ (4.450)

Diese Gleichung sollte nun mit $w$ ausgedrückt werden. Wir verwenden den Trick, dass

$$c^2-v^2 = \sqrt{(c^2-v^2)^2}$$

$$= \sqrt{c^4-2 c^2 v^2 +v^4}$$

$$=\sqrt{c^4 + 2 c^2 v^2 + c^4 - 4 c^2 v^2}$$

$$= \sqrt{(c^2+v^2)^2-4 c^2v^2}$$

ist¹. Dann ist

$$\frac{c^2+v^2}{c^2-v^2} = \frac{1}{\frac{c^2-v^2}{c^2+v^2}}$$

$$ = \frac{1}{\sqrt{\frac{(c^2-v^2)^2}{(c^2+v^2)^2}}}$$

$$ = \frac{1}{\sqrt{\frac{(c^2+v^2)^2-4 c^2 v^2}{(c^2+v^2)^2}}}$$

$$ = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4 c^2 v^2}{(c^2+v^2)^2}}}$$

$$ = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4 v^2}{c^2(1+v^2/c^2)^2}}}$$ (4.451)

Nun ist aber mit der Gleichung (4.65) für $w$ gerade $\frac{4 v^2}{(1+v^2/c^2)^2} = w^2$ und damit

$$m_B(w) = m_A\frac{1}{\sqrt{1-w^2/c^2}}$$ (4.452)

Die mit der Geschwindigkeit $v$ bewegte Masse (in ihrem Ruhesystem mit $m_0$, Ruhemasse) hat den Wert

$$m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (4.453)

Der Rechenweg mit dem Startturm diente dazu, eine Markierung für den Schwerpunkt zu haben. Der Startturm ist eine Hilfskonstruktion.

Die zu einem Inertialsystem mit der Geschwindigkeit $v$ bewegte Masse ist immer schwerer als eine im Inertialsystem ruhende Masse.

$$m'=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$ (4.454)

Masse-Energie-Äquivalenz

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 1176]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 847])

Nach Gleichung (4.71) wird die Arbeit (Kraft mal Weg), die in eine Masse gesteckt wurde, nicht nur zur Erhöhung der Geschwindigkeit, sondern auch zur Erhöhung der Masse verwendet. Wir können Gleichung (4.71) für kleine Geschwindigkeiten entwickeln

$$m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = m_0 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2} \approx m_0 + \frac{m_0}{2}\frac{v^2}{c^2}+ \ldots$$ (4.455)

Diese Gleichung könnte man auch als

$$m(v) c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$ = m_0 c^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$

$$ \approx m_0 c^2 + \frac{m_0}{2}v^2 + \ldots$$

$$ = m_0 c^2 +E_{kin, klassisch}+\ldots$$ (4.456)

schreiben.

Nach der relativistischen Mechanik entspricht einer (geschwindigkeitsabhängigen) Masse die Energie

$$E = m(v) c^2$$ (4.457)

.

Die relativistische kinetische Energie ist

$$E_{kin, rel} = E - m_0 c^2 = m_0 c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right)$$ (4.458)

Der relativistische Impuls ist analog zum klassischen Impuls definiert:

$$\vec{p}= m(v) \vec{v}= \frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (4.459)

Die relativistische Kraft ist analog zum 2. Newtonschen Gesetz durch

$$\vec{F}= \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d \left(m(v)\vec{v}\right)}{dt}$$ (4.460)

gegeben.

Die Gesamtenergie $E$ kann wie folgt umgeformt werden

$$E = m(v) c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt {\frac{m_0^2 c^4}{1-v^2/c^2}} = \sqrt{\frac{m_0^2 c^4 - m_0^2 c^2 v^2 + m_0^2 c^2 v^2}{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt{\frac{m_0^2 c^4\left(1 - v^2/c^2\right) + m_0^2 c^2 v^2}{1-v^2/c^2}} = \sqrt{m_0^2 c^4 + \frac{m_0^2 c^2 v^2}{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt{m_0^2 c^4 + c^2\frac{m_0^2 v^2}{1-v^2/c^2}} = \sqrt{m_0^2 c^4 + c^2 p^2}$$ (4.461)

Dieses Resultat nennt man den relativistischen Energiesatz

Relativistischer Energiesatz

$$E = \sqrt{m_0^2 c^4 + c^2 \vec{p}^2}$$ (4.462)

Relativistische Beschleunigung

Wir betrachten eine Masse $m$, die mit einer konstanten Kraft $\vec{F}= \vec{F}_0$ beschleunigt werde. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz ist

$$\vec{F} =\frac{d}{dt}\vec{p}$$

$$=\frac{d}{dt}\left( m\vec{v}\right)$$

$$=\frac{dm}{dt}\vec{v}+m\frac{d\vec{v}}{dt}$$

$$=\left( \frac{d}{dt}\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right) \vec{v}+\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\frac{d\vec{v}} {dt}$$

$$=-\frac{1}{2}\frac{m_{0}\cdot\left( -2\frac{\vec{v}}{c^{2}}\right... ...ac{d\vec{v}}{dt}+\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \frac{d\vec{v}}{dt}$$

$$=\frac{m_{0}\vec{a}}{\left( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) ^{\frac{3} {2}}}$$ (4.463)

Daraus berechnet man skalar

$$\frac{{F}}{m_{0}}dt=\frac{d{v}}{\left( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) ^{\frac {3}{2}}}$$ (4.464)

und

$$\int\limits_{0}^{t}\frac{{F}}{m_{0}}dt =\frac{{F}}{m_{0}}t$$

$$=\int\limits_{0}^{v\left( t\right) }\frac{d{v}}{\left( 1-\frac{v^{2} }{c^{2}}\right) ^{\frac{3}{2}}}$$

$$=\left. \frac{v}{\left( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) ^{\frac{1}{2}} }\right\vert _{0}^{v\left( t\right) }$$ (4.465)

$$= \frac{v(t)}{\left( 1-\frac{v(t)^{2}}{c^{2}}\right) ^{\frac{1}{2}} }$$ (4.466)

Daraus folgt

$$v\left( t\right) =\frac{F}{m_{0}}t\frac{1}{\sqrt{1+\left( \frac{Ft}{m_{0} c}\right) ^{2}}}$$ (4.467)

und

$$a\left( t\right) =\frac{dv\left( t\right) }{dt}$$

$$=\frac{F}{m_{0}}\frac{1}{\left( 1+\left( \frac{Ft}{m_{0}c}\right) ^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}$$ (4.468)

Zeitverlauf der relativistischen Geschwindigkeit (links) und der relativistischen Beschleunigung bei konstanter Kraft.

Die folgenden Approximationen können gemacht werden:

$$v \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{F t}{m_0} & \textrm{f{\... ...-2} \right)& \textrm{f{\uml u}r} & t \gg \frac{m_0 c}{F} \end{array}\right.$$ (4.469)

Für die Beschleunigung erhalten wir die Approximationen

$$a(t) \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{F}{m_0} & \textrm{f{... ...\right)^3 & \textrm{f{\uml u}r} & t \gg \frac{m_0 c}{F} \end{array} \right.$$ (4.470)

Sowohl bei der Geschwindigkeit wie auch bei der Beschleunigung ist $t \ll \frac{m_0 c}{F}$ der klassische Newtonsche Bereich.

Der Impuls selber nimmt linear mit der Zeit zu, unabhängig, ob eine relativistische oder eine klassische Betrachtung durchgeführt wird. Im klassischen Fall beruht die Impulszunahme auf der Zunahme der Geschwindigkeit, im relativistischen Fall auf der Zunahme der Masse.

Die kinetische Energie ist durch Gleichung (4.76) gegeben. Setzen wir Gleichung (4.85) ( $v^2/c^2 = \frac{A^2}{1+A^2}$) mit $A=Ft/(m_0 c)$, so erhalten wir

$$E_{kin} = m_0 c^2\left(\frac{1}{\left(1 - \frac{A^2}{1+A^2}\right)^{1/2}}-1\right) = m_0 c^2 \left(\left(1+A^2\right)^{1/2}-1\right)$$ (4.471)

oder

$$E_{kin} = m_0 c^2 \left(\left(1+\left(\frac{F t}{m_0 c}\right)^2\right)^{1/2}-1\right)$$ (4.472)

Verlauf der kinetischen Energie bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Die Approximation ergibt

$$E_{kin} \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}\frac{F^2 t^... ... F c t & \textrm{f{\uml u}r} & t \gg \frac{m_0 c}{F} \end{array}\right.$$ (4.473)

Die kinetische Energie nimmt im relativistischen Falle nur linear mit der Zeit zu.

Mit Gleichung (4.85) kann auch die Distanz als Funktion der Zeit berechnet werden. Wir integrieren

$$x(t) = \int_0^t v(\tau)d\tau = c \int_0^t \frac{\frac{F t}{m_0 c}}{\left(1+\left(\frac{F t}{m_0 c}\right)^2\right)^{1/2}}d\tau$$ (4.474)

Wir substituieren $A=\frac{F t}{m_0 c}$ und bemerken, dass $dA = \frac{F}{m_0 c} dt$ ist, oder auch $dt = \frac{m_0 c}{F} dA$.

$$x(t) = c \frac{m_0 c}{F} \int_0^{F t/(m_0 c)} \frac{A}{\sqrt{1+A^2}} dA$$

$$ = \left.\frac{m_0 c^2}{F}\left(\sqrt{1+A^2}-1\right)\right\vert _0^{F t/(m_0 c)}$$

$$ = \frac{m_0 c^2}{F}\left(\sqrt{1+\left(\frac{F t}{m_0 c}\right)^2}-1\right)$$ (4.475)

Verlauf der zurückgelegten Distanz bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Wir können wieder approximieren

$$x(t) \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}\frac{F}{m_0}t^... ...F} c t & \textrm{f{\uml u}r} & t \gg \frac{m_0 c}{F} \end{array}\right.$$ (4.476)

Die weitere Rechnung zeigt, dass die relativistische Eigenzeit $\tau=t'$ sich in der beschleunigten Masse langsamer bewegt.

Wir verwenden Gleichung Gleichung (4.85) und haben dann

$$\frac{v}{c} = \frac{Ft}{m_0 c}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{Ft}{m_0 c}\right)^2}}$$

$$\left(\frac{v}{c}\right)^2 = \left(\frac{Ft}{m_0 c}\right)\frac{1}{1+\left(\frac{Ft}{m_0 c}\right)^2}$$

$$1-\left(\frac{v}{c}\right) = 1-\left(\frac{Ft}{m_0 c}\right)\frac{1}{1+\left(\frac{Ft}{m_0 c}\right)^2}$$

$$= \frac{1}{1+\left(\frac{Ft}{m_0 c}\right)^2}$$

$$\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{Ft}{m_0 c}\right)^2}}$$

Mit

$$d\tau = dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\sqrt{1+\left(\frac{Ft}{m_0 c}\right)^2}}$$ (4.477)

bekommt man

$$\tau = \int\limits_0^t \frac{d\hat{t}}{\sqrt{1+\left(\frac{F\hat{... ..._0 c}\right)^2}}= \frac{m_0c}{F}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{F t}{m_0 c} \right)$$ (4.478)

Verlauf der Eigenzeit bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Wir kehren Gleichung (4.96) um und erhalten

$$t=\frac{m_0 c}{F} \sinh\left(\frac{F\tau}{m_0 c}\right)$$

und setzen dies in den Weg ein.

$$x(\tau) = \frac{m_0 c^2}{F}\left(\sqrt{1+\left(\sinh\left(\frac{F... ...1\right)= \frac{m_0 c^2}{F}\left(\cosh\left(\frac{F\tau}{m_0 c}\right)-1\right)$$ (4.479)

Zurückgelegte Strecke als Funktion der Eigenzeit.

Lorentz-Transformation

Link zur Vorlesung:(Lorentz-Transformation)

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 1157]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 853])

Die im vorherigen Abschnitt besprochenen Transformationen der zeit und der Länge lassen sich in der sogenannten Lorentz-Transformation zusammenfassen.

Beschreibung eines Punktereignisses in zwei gegeneinander bewegten Bezugssystemen

Das Punktereignis $P$ soll im gestrichenen Koordinatensystem (B) sowie im ungestrichenen Koordinatensystem (A) ausgemessen werden.

• Jede Längeneinheit von B bringt A um $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ ihrer Einheiten nach rechts und um $(v/c)/\sqrt{1-v^2/c^2}$ in der ,,Zeitachse'' $ct$ nach oben.
• Jede ,,Zeiteinheit'' auf der $ct'$-Achse bringt A um $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ ,,Zeiteinheiten'' auf der $ct$-Achse nach oben und um $(v/c)/\sqrt{1-v^2/c^2}$ nach rechts.

Wenn wir die obigen Beobachtungen zusammenfassen, erhalten wir

$$x = \left(x'+ \frac{v}{c} \left(ct'\right)\right)\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$ct = \left(\frac{v}{c} x' + \left(c t'\right)\right) \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (4.480)

Wir rechnen nun nicht mehr mit $ct$ sondern mit der Zeit $t$ direkt und erhalten die Lorentz-Transformation.

$$\begin{array}{ccc} x = \frac{x' + v t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}} &\h... ...h} &t = \frac{v x' /c^2 + t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{array}$$ (4.481)

Die Lorentz-Transformation kann auch in Matrix-Schreibweise dargestellt werden:

$$\left(\begin{array}{c} x ct \end{array}\right) = \frac{1}... ... \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x' ct' \end{array}\right)$$ (4.482)

Lorentztransformation als Drehung

Wir erproben, was wäre, wenn wir die Lorentz-Transformation als Drehung auffassen würden. Die $x$-Achse würde positiv (im Gegenuhrzeigersinn) um $\alpha$ gedreht, die $ct$-Achse würde negativ (im Uhrzeigersinn) um den gleichen Winkel $\alpha$ gedreht.

Wir verwenden die Definition $\tan\alpha = v/c$ sowie $\cos\alpha = (1+\tan^2\alpha)^{-1/2}$ und $\sin\alpha = \tan\alpha\cdot (1+\tan^2\alpha)^{-1/2}$.

Dann ist

$$a = \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1+v^2/c^2}}$$

$$cb =\sin\alpha = \frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \frac{v}{c\sqrt{1+v^2/c^2}}$$

$$cA = 1\cdot c \cos\alpha = \frac{c}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \frac{c}{\sqrt{1+v^2/c^2}}$$

$$b =1\cdot c \sin\alpha = \frac{c\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \frac{v}{\sqrt{1+v^2/c^2}}$$

und damit

$$a =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{v^{2}}{c^{2}}}} b = \frac{v}{c^{2}}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$

$$A =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{v^{2}}{c^{2}}}} B = \frac{v} {\sqrt{1+\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$ (4.483)

Eingesetzt, würde man eine Transformation erhalten, die formal wie die Lorentztransformation aussieht, die aber unter der Wurzel ein $+$-Zeichen anstelle des geforderten $-$-Zeichens besitzt. Die Drehgleichungen wären dann

$$x = x' \cos\alpha + y'\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+v^2/c^2}}x'+\frac{v}{c}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{v^{2}}{c^{2}}}}ct'$$

$$ct = -x'\sin\alpha + y'\cos\alpha = -\frac{v}{c\sqrt{1+v^2/c^2}}x'+\frac{1}{\sqrt{1+v^2/c^2}}ct'$$ (4.484)

oder

$$x = \frac{1}{\sqrt{1+v^2/c^2}}x'+\frac{v}{\sqrt{1+\frac{v^{2}}{c^{2}}}}t'\nonumber$$

$$t = -\frac{v}{c^2\sqrt{1+v^2/c^2}}x'+\frac{1}{\sqrt{1+v^2/c^2}}t'$$

Diese Rotation sieht unserer Lorentz-Transformation sehr ähnlich. Die Vorzeichen unter den Wurzeln beim Cosinus und beim Sinus sowie bei der Gleichung für $t$ stimmen nicht.

Wenn man jedoch nicht $ct$ als Zeitachse verwendet, sondern $ict$, wobei $i=\sqrt{-1}$ die imaginäre Einheit ist, bekommt man mit den obigen Drehgleichungen die Lorentz-Transformation. Dabei müssen alle Vorkommnisse von $c^2$ durch $-c^2$ ersetzt werden.

Wir erhalten also

$$x = \frac{1}{\sqrt{1+v^2/(-c^2)}}x'+\frac{v}{\sqrt{1+\frac{v^{2}}{(-c^{2})}}}t' = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}x'+\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}t'\nonumber$$

$$t = -\frac{v}{-c^2\sqrt{1+v^2/(-c^2)}}x'+\frac{1}{\sqrt{1+v^2/(-c^2)}}t' = \frac{v}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}}x'+\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}t'$$

Der Vergleich mit Gleichung (4.98) zeigt, dass dies die Lorentztransformation ist. In einem Raum mit den Koordinaten $(x; y; z; ict)$ ist die Lorentz-Transformation nichts anderes als eine Rotation des Koordinatensystems.

Wenn wir, analog zum klassischen dreidimensionalen Raum ( $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$) den Abstand

$$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2+\left(ict\right)^2} = \sqrt{x^2+y^2+z^2-c^2t^2}$$

definieren, haben wir eine, vom jeweiligen Koordinatensystem unabhängige Definition des Abstandes. Dieser sogenannte Viererabstand ist unabhängig vom Koordinatensystem, sofern die einzelnen Koordinatensysteme mit der Lorentz-Transformation ineinander übergeführt werden können. Ein Punktereignis wird in dieser Sprache mit einem Vierervektor beschrieben.

Der so gemessene Abstand ist relativistisch invariant.

Bei einer dreidimensionalen Betrachtung wird nur die der Geschwindigkeit parallele Raumkomponenten relativistisch verändert. Mit der dreidimensionalen Geschwindigkeit

$$\vec{u}=\left( \begin{array}[c]{c} u\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

bekommen wir

Lorentz-Transformation

$$x' = \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}$$ $$y' = y$$ $$z' = z$$ $$t' = \frac{t-\frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}} }$$

$$x = \frac{x'-ut'}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}$$ $$y = y'$$ $$z = z'$$ $$t = \frac{t'-\frac{ux'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac {u^{2}}{c^{2}}}}$$

Vergleich der Lorentz-Transformation mit der Galilei-Transformation

Grösse	Galilei-Transformation	Lorentz-Transformation
	klassische Physik	relativistische Physik
Ortskoordinaten	$x; y; z$	$x; y; z$
Zeitkoordinaten	$t$	$ict$
Länge	$x = x' + v t'$	$x = \frac{x' + v t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Zeit	$t=t'$	$t = \frac{v x' /c^2 + t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Abstand	$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$	$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2-c^2t^2}$

Vergleich von Galilei- und Lorentz-Transformation

Das Zwillingsparadoxon

Weltlinie beim Zwillingsparadoxon

Wir nehmen an, dass B sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt. B's Eigenzeit ist

$$\Delta t^{\prime}=\Delta t\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

wobei

$$\Delta t=\frac{\ell}{v}$$

Für A ist die gesamte Reisezeit

$$t_{tot}=2\Delta t=\frac{2\ell}{v}$$

Für B dauert die Reise

$$t'_{tot}=2\Delta t'=\frac{2l}{v}\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2}}}<t_{tot}$$

Von A aus gesehen ist B jünger nach der reise als A. Das Paradox ist: Für B bewegt sich A, warum ist A nicht jünger als B?

Zwillingsparadoxon: Fahrplan der Signale, die A und B austauschen

Test: A und B senden regelmässig Signale. Wir nehmen an, dass die Reise $\ell=8 Lichtjahre$ weit geht. Die gesamte Reise soll $t_{tot}=20 Jahre$ dauern. Die Reisegeschwindigkeit muss also $v=0.8c$ sein. Dann ist die Zeit für den Reisenden $t'_{tot}=20 Jahre\sqrt{1-(0.8c)^2/c^2}=12 Jahre$.

A sendet einmal pro Jahr ein Signal ( $\nu = 1/Jahr$) aus, genauso wie B. B misst auf dem Hinweg die Frequenz (Dopplereffekt) $\nu'=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}=\sqrt{\frac{0,2}{1,8}}=\sqrt{\frac{2} {18}}=\frac{1}{3}$, also zwei Signale auf der ganzen Hinreise. Auf dem Rückweg mist B wegen dem Dopplereffekt die Frequenz $\nu' =\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}=\sqrt{\frac{0,8}{0,2}}=3$, also 18 Signale. Zusammen misst B auf der ganzen Reise 20 Signale.

B sendet genauso Signale mit der Frequenz $\nu = 1/Jahr$ aus. A misst auf B's Hinweg wegen dem Dopplereffekt Signale mit der Frequenz $\nu'=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}=\frac{1}{3}$. Während 18 Jahren misst er also total 6 Signale. Auf dem Rückweg von B misst A Signale mit der Frequenz $\nu' =\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}=3$. Während 2 Jahren misst A total 6 Signale. Warum ist B jünger? B befindet sich während seiner Reise in 2 Inertialsystemen, A nur in einem.