Oberflächenspannung

Molekulares Bild der Oberfläche

Kräfte sind isotrop verteilt Nettokraft in das Innere der Flüssigkeit

Schiebt sich ein Molekül an die Oberfläche, so leistet es die Arbeit $W_{is}\left( M\right)$ gegen $\vec{F}_{S}$

also ist

$$E(M)=W_{is}(M)$$ (3.204)

Die potentielle Energie der Moleküle in der Oberfläche $A$ ist minimal, wenn die Oberfläche $A$ minimal ist.

$$E_{S}\left( M\right) =\sigma_{S}\cdot A$$ (3.205)

Die Einheit von $\sigma_{S}$ ist $\left[ \frac{N}{m}\right]$. $\sigma_{S}$ heisst Oberflächenspannung.

Wenn $n\cdot A$ Moleküle an der Oberfläche sind, gilt

$$\sigma_{S}=nE_{A}\left( M\right) =\frac{1}{d_{eff^{2}}}E_{S}\left( M\right)$$ (3.206)

Dabei ist $n=\frac{1}{d_{eff^{2}}}$ die Flächendichte der Moleküle, $d_{eff}$ der effektive Durchmesser eines Moleküls und $E_{S}\left( M\right)$ die Arbeit, die benötigt wird um ein Molekül gegen die Oberflächenkraft an die Oberfläche zu bringen.

Anwendung:

Berechnung der Kraft eines Flüssigkeitsfilmes

1. Der Flüssigkeitsfilm hat 2 Oberflächen

2. Verschiebung um $\Delta y$ benötigt die Arbeit

   $$\Delta F\cdot\Delta y=2\Delta E_{S}=\sigma_{S}\cdot2\Delta A=2\sigma _{S}b\Delta y$$ (3.207)

   
   
   
   
   und

   $$\Delta F=2\sigma_{S}b$$ (3.208)

   
   

Pro Flüssigkeitsoberfläche wirkt auf die Breite $\Delta x$ die Kraft.

$$\Delta F_{S}=\sigma_{S}\Delta x$$ (3.209)

Tropfenzähler. Situation kurz vor dem Abreissen

Der Umfang ist $2\pi r$. Das Kräftegleichgewicht verlangt, dass kurz vor dem Abreissen die aufwärtsgerichte Kraft der Oberflächenspannung gerade das Gewicht des Tropfens kompensieren.

$$2\pi r\sigma_{S}=V\rho g$$ (3.210)

Also ist

$$V=\frac{2\pi r\sigma_{S}}{\rho g}$$ (3.211)

Also kann man mit der obigen Physik einen Tropfenzähler beschreiben.

Freie Oberflächen

Krümmungsradien bei einer freien Oberfläche

Die Oberfläche ist charakterisiert durch 2 Krümmungsradien $R_{1}$ und $R_{2}$

Behauptung

$$\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{\Delta p}{2\sigma_{S}}$$ (3.212)

Beweis für eine Kugel

Oberflächenspannung und Druck in einer Kugel

Wir haben eine Äquatorialfläche $A$ und einen Äquatorialumfang $U$. Die Druckkraft ist $\Delta p\cdot A$, die Oberflächenspannung am Umfang $2\sigma_{S}U$ (da wir 2 Oberflächen haben!)

Also

$$\Delta pA =2\sigma_{S}U$$

$$\Delta p\pi R^{2} =2\sigma_{S}\cdot2\pi R$$

$$\frac{2}{R} =\frac{\Delta p}{2\sigma_{S}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$$ (3.213)

da bei der Kugel $R_{1}=R_{2}=R$ ist.

Beispiel Seifenblasen.

Die kleinere Seifenblase hat den grösseren Druck (gilt auch für Luftballons, wieso?)

Freie Oberflächen sind Minimalflächen mit

$$\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=0$$ (3.214)

Da der Krümmungsradius $R^{-1}\propto\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$ ist, gilt auch

$$\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=0$$ (3.215)

Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität

Benetzende Flüssigkeiten

Steigt die Flüssigkeit wird ihre Oberfläche kleiner.

$$F_{Graviation}=F_{S} \left( \text{am Umfang}\right)$$ (3.216)

$$\pi r^{2}\cdot h\cdot\rho\cdot g=\sigma_{S}\cdot2\pi r$$ (3.217)

und

$$h=\frac{2\sigma_{S}}{r\rho g}$$ (3.218)

Bei Nichtbenetzung hat man eine Kapilardepression (Beispiel Glas und Quecksilber)

Grenzflächenenergien existieren zwischen beliebigen Medien.

Kräftegleichgewicht an der Grenzfläche

Sei $\sigma_{23}$ negativ. Dann ist

$$\sigma_{12}\cos\theta=\sigma_{13}-\sigma_{23}$$ (3.219)

Wenn $\sigma_{13}-\sigma_{23}>\sigma_{12}$ ist, kriecht die Flüssigkeit hoch. Wenn $\sigma_{23}>\sigma_{13}>0$ dann ist $\theta>90 {{}^\circ}$. Beispiel: Quecksilber.

Das Problem kann auch anders angesehen werden:

• Flüssigkeitsteilchen werden von der Wand durch Adhäsionskräfte angezogen

• Flüssigkeitsteilchen werden von der Flüssigkeit durch Kohäsionskräfte angezogen