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An jedem Punkt hat die Geschwindigkeit einen Betrag und eine Richtung.
Das Vektorfeld ist durch Stromlinien charakterisiert. Wenn nicht von der Zeit abhängt, heisst die Strömung stationär.
Bahnlinien: Bahn eines Teilchens
Bei stationären Strömungen sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. Inkompressible Strömungen sind Strömungen mit konstanter Dichte .
Fluss
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Der Fluss ist definiert als
(3.220) |
oder
(3.221) |
Integralform
(3.222) |
wobei beliebige Fläche (auch gekrümmt) ist. ist der Fluss. Er hat die Einheit
Berechnung der Divergenz
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Im allgemeinen Fall ändert die Dichte mit dem Ort. Wir haben links die Dichte und die Geschwindigkeit und rechts und . Zusammen erhalten wir
Analog bekommt man für die - und die -Richtung:
(3.223) |
Der Nettofluss aus dem Volumen ergibt sich zu
(3.224) |
Ohne Quelle ist . Die Grösse
(3.225) |
(Divergenz) beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss. Sie ist in dem Falle auch gleich null.
Wenn ist, so muss sich die Dichte an der Stelle ändern, oder es muss eine Quelle vorhanden sein.
Wir erinnern uns, der Fluss beschreibt die Massenänderung pro Zeit im Volumen . Die Masse im Volumen nimmt um ab (bei positivem und nimmt um zu. Zusammen ergibt sich
und damit
(3.226) |
Damit bekommt man
Dies ist die Kontinuitätsgleichung. |
Wenn nicht vom Ort abhängt, hat man auch.
Dann heisst die Quelldichte.
Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall
Es gilt:
(3.228) |
(3.229) |
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Die Stromlinien durch definieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinen Austausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit
(3.230) |
Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.
Geschwindigkeitsgradient und Rotation
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Wenn die Strömung inhomogen ist, werden mitgeführte Teilchen gedreht.
Wasser strömt mit am Würfel vorbei. Wir haben ein Gleichgewicht, wenn
(3.231) |
zeigt in die Richtung. Im Allgemeinen ist
(3.232) |
mit wird
die Rotation des Strömungsfeldes.
Es gilt dann
(3.233) |
Falls ist kann aus dem Geschwindigkeitspotential abgeleitet werden.
(3.234) |
Dann gilt
Für inkompressible Flüssigkeiten gilt
(3.235) |
Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch die gleiche Mathematik beschrieben werden:
Strömung Graviation Elektrostatik
Mitbewegtes System
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Sei das Laborsystem, das mitbewegte System,das folgt. Seien lokale zeitliche Ableitungen und totale zeitliche Ableitungen
Das 2. Newtonsches Gesetz beschreibt die Bewegung von aber nur in
(in betrachtet man Volumina, nicht Massen)
Also ist
(3.236) |
Lokale Ableitung:
ist in fest
(3.237) |
Totale zeitliche Ableitungen
In beschreiben die physikalischen Grössen das gleiche Teilchen.
(3.238) |
wobei die Koordinaten in sind
(3.239) |
Ableitung: totale Ableitung auf der Bahn
(3.240) |
Zusammenhang:
Dichte
(3.241) |
Beweis:
(3.242) |
(3.243) |
Grund Massenerhaltung
(3.244) |
(3.245) |
Sei für beliebige . Dann ist die Dichte und die Kontinuitätsgleichung .
(3.246) |
Im Stromfaden gilt
(3.247) |
Inkompressible Flüssigkeiten
(3.248) |
dann gilt:
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Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand.
ist parallel zur Wand.
(3.249) |
heisst Viskosität (Scherviskosität)
Beispiel
Wasser:
Glyzerin
Allgemein:
(3.250) |
wobei klein sein soll.
Temperaturabhängigkeit:
Moleküle müssen ihren Platz wechseln ( Bolzmannstatistik)
(3.251) |
Volumenkräfte
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Laminare Stromlinien sind dadurch charakterisiert, dass benachbarte Stromlinien benachbart bleiben (Beispiel: Blut)
(3.252) |
Allgemein:
(3.253) |
oder
(3.254) |
Die Druckkraft ist
(3.255) |
also
(3.256) |
und beschreiben die Dynamik
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an der Wand
in der Mitte
Reibungskraft
Druck:
ist eine Parabel
Am Rand ist
Rohrströmung
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Rand:
also
infinitesimal
Volumenstrom:
also:
(3.257) |
Das ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille, wobei und
Der Strömungswiderstand ist:
Druckkraft
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Die Kugel hat im Abstand keinen Einfluss mehr auf die Strömung
Oberfläche:
Genauer erhält man
das Stokes-Gesetz. |
Das Navier-Stokes-Gesetz, die Bewegungsgleichung für viskose Medien lautet
(3.259) | ||
wobei die Scherviskosität, die Volumenviskosität, die Volumenkraft (siehe Gleichung (3.57) ), das Geschwindigkeitsfeld und die Dichte der Flüssigkeit ist.
Die Volumenviskosität kommt von der Dissipation beim Komprimieren oder Expandieren von Flüssigkeiten oder Gasen. Wenn wir eine Volumenelement betrachten, so messen wir neben der statischen Druckkraft
In Spezialfällen vereinfacht sich die Navier-Stokes-Gleichung.
(3.260) | ||
(3.261) | ||
(3.262) | ||
(3.263) | ||
|
Reibungskraft:
Verschieben um :
(3.264) |
Kinetische Energie in der Grenzschicht:
(3.265) |
mit wird
Reynolds-Kriterium
(3.266) |
(3.267) |
dabei ist eine typische Dimension und die mittlere Geschwindigkeit.
wenn
Allgemein gilt: Es gibt für jede Geometrie eine kinetische Reynoldszahl. mit
turbulent | ||
laminar | (3.268) |
Bem. Strömungen mit der gleichen Reynoldszahl sind ähnlich Windkanal
Bei ist
ist etwa der Mittelwert aus
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ideal: keine Reibung, laminar
Volumenerhaltung:
Energiebilanz:
also
Dies ist die Bernoulli-Gleichung. |
Ist die Flüssigkeit im Gravitationsfeld, muss noch berücksichtigt werden (allg.
Manometer
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Ein Manometer misst nur den statistischen Druck
Prandtlsches Staurohr
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(3.270) |
Ausströmen aus einem Loch. Der äussere
Druck , der ja überall gleich ist, wurde vernachlässigt.
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(3.271) |
Wenn der Druck ein Schweredruck ist, gilt
Wenn wird der statische Druck . Negative Drucke können nicht existieren. Das System reagiert mit einer Dampfbildung (Kavitation).
Stromlinie
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Nach Bernoulli ist der Druck vorne und hinten gleich. Also gäbe es keinen Widerstand (Paradoxon von d'Alembert).
Reales Bild einer Wirbelstrasse
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Def. Wirbel: Wenn ein Boot auf einem geschlossenen Weg angetrieben wird
Def. Zirkulation :
(3.272) |
Potentialwirbel
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(3.273) | ||
(3.274) |
Beim Potentialwirbel gilt:
Nach Bernoulli gibt es einen Radius , bei dem der dynamische Druck negativ würde. ergibt sich zu
für | (3.275) |
d.h. für ist das Konzept des Potentialwirbels nicht sinnvoll.
Volumenkraft
(3.276) |
(nach innen gerichtet)
Helmholtzsche Wirbelsätze
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In Wirbeln gelten die folgenden Gesetze:
(3.277) |
Othmar Marti