Mittelung über den Stossquerschnitt

Mittelung über den Stossquerschnitt

Bei jedem Stoss wird der Impuls um die Strecke $d$ weiter transportiert (Siehe Abbildung I.1). Bei einem zentralen Stoss ist $d=2r$, bei einem Stoss mit dem Stossparameter $b=2r$ ist $d=0$. $d$ hängt wie folgt von $b$ ab:

$$d^2 = (2r)^2-b^2 = 4r^2-b^2$$ (I..774)

Bei der Mittelung berücksichtigen wir die Zylindersymmetrie

$$\left<d\right> = \frac{1}{\pi(2r)^2}\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{2r}d(b) b db d\phi$$

$$= \frac{1}{4\pi r^2}\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{2r}\sqrt{4r^2-b^2} b db d\phi$$

$$= \frac{2\pi}{4\pi r^2}\int\limits_0^{2r}\sqrt{4r^2-b^2} b db$$

$$= \frac{1}{2 r^2}\int\limits_0^{2r}\sqrt{4r^2-b^2} b db$$

Dieses Integral kann mit der Substitution

$$x^2 = 4r^2-b^2$$

und damit

$$2x dx = -2b db$$

gelöst werden. Die Grenzen transformieren sich wie $0 \rightarrow 2 r$ und $2r \rightarrow 0$.

$$\left<d\right> = \frac{1}{2 r^2}\int\limits_0^{2r}\sqrt{4r^2-b^2} b db$$

$$= -\frac{1}{2 r^2}\int\limits^0_{2r}x x dx$$

$$= \frac{1}{2 r^2}\int\limits_0^{2r}x x dx$$

$$= \frac{1}{2 r^2} \frac{1}{3} (2r)^3$$

$$= \frac{4}{3} r$$ (I..775)