Umrechnung von thermodynamischen Funktionen

(Siehe Handbook of Chemistry and Physics [Wea80, pp. D-120])

Die folgenden Funktionen werden betrachtet:

$p$

Druck

$V$

Volumen

$T$

Temperatur

$\nu$

Molzahl

$S$

Entropie

$U$

innere Energie

$c_{p\text{,} mol}$

molare Wärmekapazität bei konstantem Druck

$\alpha$

isobarer Volumenausdehnungskoeffizient

$\kappa$

isotherme Kompressibilität

$H=U+pV$

Enthalpie

$F=U-TS$

freie Energie

$G=H-TS$

freie Enthalpie

Aus den folgenden Tabellen können die ersten Ableitungen von $p$, $V$, $T$, $U$, $S$, $H$, $F$ und $G$ als Funktion von $\left(\partial V / \partial T\right)_p$, $\left(\partial V / \partial p\right)_T$ und $\left(\partial H / \partial T\right)_p$ berechnet werden. Diese Grössen können gemessen werden:

$$\alpha = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$$ isobare Volumenkompressibilität (K..786)

$$\kappa = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T$$ isotherme Kompressibilität (K..787)

$$\nu c_{p\text{,} mol} = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p$$ molare Wärmekapazität bei konstantem Druck (K..788)

Beispiel:

Wir wollen $\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S$ als Funktion von $T$, $p$ und $V$ berechnen.

• In der Zeile Konstante geht man zu $S$. Am Kreuzungspunkt mit der Zeile (Differential) $H$ findet man $-V \nu c_{p\text{,} mol}/T$.
• In der Zeile Konstante geht man zu $S$. Am Kreuzungspunkt mit der Zeile (Differential) $p$ findet man $-\nu c_{p\text{,} mol}/T$.
• Das Resultat erhält man mit

  $$\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S = \frac{-V \nu c_{p\text{,} mol}/T}{-\nu c_{p\text{,} mol}/T} = V$$

  
  

Wir wollen $\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T$ als Funktion von $T$, $p$ und $V$ berechnen.

• In der Zeile Konstante geht man zu $T$. Am Kreuzungspunkt mit der Zeile (Differential) $S$ findet man $\left(\partial V / \partial T\right)_p$.
• In der Zeile Konstante geht man zu $T$. Am Kreuzungspunkt mit der Zeile (Differential) $V$ findet man $-\left(\partial V / \partial p\right)_T$.
• Das Resultat erhält man mit

  $$\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{\left(\parti... ...partial V / \partial p\right)_T} = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$$

  
  

	Konstanten
Differenzial	$T$	$p$
$T$	0	$1$
$p$	$-1$	0
$V$	$-\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$	$\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$S$	$\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$	$\frac{\nu c_{p\text{,} mol}}{T}$
$U$	$T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}+p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$	$\nu c_{p\text{,} mol}-p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$H$	$-V+T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$	$\nu c_{p\text{,} mol}$
$F$	$p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$	$-S-p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$G$	$-V$	$-S$

Thermodynamische Relationen I

	Konstante
Differenzial	$V$
$T$	$\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$
$p$	$-\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$V$	0
$S$	$\left( \frac{1}{T}\right) \left[ \nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V... ...al p}\right) _{T}+T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}^{2}\right]$
$U$	$\nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}+T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}^{2}$
$H$	$\nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}+T\left(... ...al V}{\partial T}\right) _{p}^{2}-V\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)$
$F$	$-S\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$
$G$	$-V\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}-S\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$

Thermodynamische Relationen II

	Konstante
Differenzial	$S$
$T$	$-\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$p$	$-\frac{\nu c_{p\text{,} mol}}{T}$
$V$	$\left( -\frac{1}{T}\right) \left[ \nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial ... ...al p}\right) _{T}+T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}^{2}\right]$
$S$	0
$U$	$\left( \frac{p}{T}\right) \left[ \nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V... ...al p}\right) _{T}+T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}^{2}\right]$
$H$	$-\frac{V_{\nu}c_{p\text{,} mol}}{T}$
$F$	$\left( \frac{1}{T}\right) \left[ p_{\nu}c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partia... ...l T}\right) _{p}^{2}+TS\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}\right]$
$G$	$\left( -\frac{1}{T}\right) \left[ \nu c_{p\text{,} mol}V-TS\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}\right]$

Thermodynamische Relationen III

	Konstante
Differenzial	$U$
$T$	$-T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}-p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$
$p$	$-\nu c_{p\text{,}\,mol}+p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}%%$
$V$	$-\nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}-T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}^{2}$
$S$	$\left( -\frac{p}{T}\right) \left[ \nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial ... ...al p}\right) _{T}+T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}^{2}\right]$
$U$	0
$H$	$-V\left[ \nu c_{p\text{,} mol}-p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _... ...al p}\right) _{T}+T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}^{2}\right]$
$F$	$p\left[ \nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}... ...artial T}\right) _{p}+p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}\right]$
$G$	$-V\left[ \nu c_{p\text{,} mol}-p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _... ...artial T}\right) _{p}+p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}\right]$

Thermodynamische Relationen IV

	Konstante
Differenzial	$H$
$T$	$V-T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$p$	$-\nu c_{p\text{,} mol}$
$V$	$-\nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}-T\left... ...}{\partial T}\right) _{p}^{2}+V\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$S$	$\frac{V\nu c_{p\text{,} mol}}{T}$
$U$	$V\left[ \nu c_{p\text{,}\,mol}-p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{... ... _{T}+T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}%% ^{2}\right] \right]$
$H$	0
$F$	$-\left[ S+p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}\right] \times\left... ...\nu }c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}\right]$
$G$	$-V_{\nu}c_{p\text{,} mol}-VS+TS\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$

Thermodynamische Relationen V

	Konstanten
Differenzial	$F$
$T$	$-p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$
$p$	$S+p-\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$V$	$S\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$
$S$	$\left( -\frac{1}{T}\right) \left[ p_{\nu}c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\parti... ...l T}\right) _{p}^{2}+TS\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}\right]$
$U$	$-p\left[ \nu c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T... ...artial T}\right) _{p}+p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}\right]$
$H$	$\left[ S+p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}\right] \times\left[... ...\nu }c_{p\text{,} mol}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}\right]$
$F$	0
$G$	$S\left[ V+p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}\right] +pV\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$

Thermodynamische Relationen VI

	Konstanten
Differenzial	$G$
$T$	$V$
$p$	$S$
$V$	$V\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}+S\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$
$S$	$\left( \frac{1}{T}\right) \left[ \nu c_{p\text{,} mol}V-TS\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}\right]$
$U$	$V\left[ \nu c_{p\text{,} mol}-p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{... ...artial T}\right) _{p}+p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}\right]$
$H$	$V_{\nu}c_{p\text{,} mol}+VS-TS\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$F$	$-S\left[ V+p\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}\right] +pV\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right) _{p}$
$G$	0

Thermodynamische Relationen VII