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Unterabschnitte

• Stehende Wellen
• Das Michelson-Interferometer

Phasendifferenz und Kohärenz

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1109]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 514])

Interferenz

Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten.

Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.

Kohärenzzeit

Jede Quelle hat ein beschränktes Phasengedächtnis. Dies bedeutet, dass die Wellenzüge, die vor einer Zeit grösser als die Kohärenzzeit $\tau$ emittiert wurden, keine definierte Phasenbeziehung mehr haben. Der Phasenunterschied wird eine stochastische Grösse.

Kohärenzlänge

Die Kohärenzzeit $\tau$ kann in eine Kohärenzlänge $L$ umgerechnet werden. Ist der Weglängenunterschied grösser als $L$, gibt es keine Kohärenz mehr.

Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite $\Delta\omega$, dann ist die Kohärenzzeit $\tau \approx \omega^{-1}$ und $L \approx c\tau \approx \frac{c}{\omega}$.

Ist die Lichtquelle ausgedehnt ($b$), dann gibt es nur im Winkelbereich $\sigma < \frac{\lambda}{4b}$ eine kohärente Überlagerung.

Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die beiden Wellenzüge mit den Amplituden $E_1$ und $E_2$ kohärent oder nicht sind.

bei kohärentem Wellenzügen

$I(x,t) = \sqrt{\varepsilon }\left(E_1(x,t)+E_2(x,t)\right)^2$

bei inkohärenten Wellenzügen

$I(x,t) = \sqrt{\varepsilon }\left[E_1(x,t)^2+E_2(x,t)^2\right]$

Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied $\varphi$ und den Amplituden $E_1$ und $E_2$ ist die resultierende Amplitude

$$E(x,t) = E_1 e^{j(kx-\omega t)}+ E_2 e^{j(kx-\omega t-\varphi (x))}$$

$$= E_1 \left(e^{j(kx-\omega t)}+ e^{j(kx-\omega t-\varphi (x))}\right) + (E_2 - E_1)e^{j(kx-\omega t-\varphi (x))}$$

$$= E_1 e^{j(kx-\omega t)}\left(1+ e^{j\varphi (x)}\right) + (E_2 - E_1)e^{j(kx-\omega t-\varphi (x))}$$ (6.5)

Stehende Wellen

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 435]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 513])

Wenn wir eine nach links laufende Welle $y_1(x,t) = A \sin(kx +\omega t)$ und eine nach rechts laufende Welle $y_2 = A\sin(kx -\omega t +\delta)$ zur Interferenz kommen lassen, erhalten wir

$$y(x,t) = y_1(x,t)+y_2(x,t)$$

$$= A \sin(kx +\omega t)+ A\sin(kx -\omega t +\delta)$$

$$= 2A\cos\left(\omega t-\frac{\delta}{2}\right)\sin\left(kx +\frac{\delta}{2}\right)$$ (6.6)

Die Summe der beiden Wellenfunktionen ist das Produkt zweier Terme

• ein zeitabhängiger Teil,der für alle Orte gleich ist: $\cos\left(\omega t-\frac{\delta}{2}\right)$
• ein ortsabhängiger Teil, der für alle Zeiten gleich ist: $\sin\left(kx +\frac{\delta}{2}\right)$

Damit bilden sich räumlich stehende Knotenlinien aus, wir haben eine stehende Welle.

Das Michelson-Interferometer

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1114])

Aufbau des Michelson-Interferometers.

Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei $\ell_1$, der zum beweglichen $\ell_2$. Deshalb ist der gesamte Weglängenunterschied $\Delta\ell = 2(\ell_2-\ell_1)$. Immer wenn $\Delta\ell$ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge $\lambda$ ist, tritt konstruktive Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um $\lambda/4$ verschoben, ändert sich $\Delta\ell$ um $\lambda/2$, dann haben wir destruktive Interferenz.

Wenn wir das Interferometer mit einer Intensität von $I_0$ betreiben und wenn wir eine Intensitätsänderung von $\Delta I$ noch messen können, dann können wir die mögliche Distanzauflösung wie folgt berechnen:

$$I(x) = n A^2\cos^2\left(2\pi \frac{x}{\lambda}\right) = I_0\cos^2\left(2\pi \frac{x}{\lambda}\right)$$ (6.7)

oder umgeschrieben

$$I(x) = \frac{I_0}{2}\left[1+\cos\left(4\pi \frac{x}{\lambda}\right)\right]$$ (6.8)

Die Ableitung dieser Gleichung ist

$$\frac{dI(x)}{dx} = -\frac{2 \pi I_0}{\lambda}\sin\left(4\pi \frac{x}{\lambda}\right)$$ (6.9)

Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit ist

$$\left\vert\left(\left.\frac{dI(x)}{dx}\right\vert _{max}\right)\right\vert = \frac{2\pi I_0}{\lambda}$$ (6.10)

Wir können also die Distanz

$$\Delta x = \frac{\Delta I}{\left.\frac{dI(x)}{dx}\right\vert _{max}} = \frac{\Delta I}{2\pi I_0} \lambda$$ (6.11)

Wenn zum Beispiel $\lambda = 500 nm$ ist und $\Delta I/I_0 = 0.01$ ist, ist $\Delta x = 2.75 nm$

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