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Wir definieren den Winkel genau so wie in der Zeichnung
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Wir betrachten punktförmige Lichtquellen in einem Spalt der Breite
. Ihr Abstand ist
. Der
Phasenunterschied zwischen zwei Lichtquellen in die Richtung
ist
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(6.41) |
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Der gesamte Phasenunterschied ist
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(6.42) |
Für
ist
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(6.43) |
Wie hängt nun die Amplitude von ab?
Die Amplitude resultiert aus der Addition von
Einzelamplituden
. Aus der Abbildung
ist ersichtlich, dass
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(6.44) |
Für den Winkel ist
. Die Amplituden der einzelnen Quellen sind
unabhängig von der Beobachtungsrichtung. Deshalb ist auch die Bogenlänge
. Wir
lösen nach
auf und setzen ein.
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(6.45) |
Wenn wir berücksichtigen, dass ist und wir
setzen, erhalten wir für die
Intensität
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(6.46) |
Wenn wir einsetzen, bekommen wir
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(6.47) |
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Wir können mit
das Beugungsmuster für einen ebenen Schirm
berechnen. Soll das Beugungsmuster in Funktion von
betrachtet werden, muss es mit einer
Sammellinse (Gitter im Brennpunkt) betrachtet werden.
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Die Lage der Beugungsmaxima und -minima ist gegeben durch ,
für die
Minima und
,
sowie
für die Maxima.
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||
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(6.48) |
Die Amplitude in den Nebenmaxima
bekommt man durch Ableitung und Nullsetzen.
Ungefähr liegen diese Maxima in der Mitte zwischen den Minima. Die Amplitude ist dort ungefähr
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(6.49) |
Damit gilt für die Intensitäten der Nebenmaxima
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(6.50) |
Die genaue Lage der Minima kann man durch
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(6.51) |
oder vereinfacht
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(6.52) |
Nullstellen gibt es für
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(6.53) |