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Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor
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(7.1) |
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(7.2) |
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Der Strahl von der -ten zur
-ten Linse ist durch
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(7.3) |
Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der -ten
Linse gleich wie nach der
-ten ist. Daraus folgt
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(7.4) |
Ausmultipliziert erhalten wir
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(7.5) |
Um eine Resonatormode zu bekommen muss
sein. Wir setzen
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(7.6) |
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Materialien
Folien zur Vorlesung am 17. 07. 2002 (PDF)
Damit bekommen wir auch
Wir lösen die erste Gleichung nach auf und erhalten
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(7.8) |
Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen
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(7.9) |
Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (7.7) ein und erhalten
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(7.10) |
Durch ausrechnen erhält man, dass ist. Wenn wir
setzen, können wir schreiben
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(7.11) |
Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ
7.1 Die Lösung der Differentialgleichung ist
. Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz
mit
ein und erhalten
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(7.12) |
Die Lösung ist
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(7.13) |
Mit
und daraus
ist die obige Gleichung erfüllt. Die allgemeine
Lösung ist also
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(7.14) |
mit
. Damit wir eine stabile Lösung haben, muss
reell sein. Daraus folgt
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(7.15) |
Aus der Definition von folgt
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(7.16) |
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Wenn wir die neuen normierten Koordinaten und
einführen, heisst die
Stabilitätsbedingung
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(7.17) |
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Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man setzt, wobei
der Krümmungsradius des Spiegels ist.
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