Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor
(7.1) |
(7.2) |
|
Der Strahl von der -ten zur -ten Linse ist durch
(7.3) |
Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der -ten Linse gleich wie nach der -ten ist. Daraus folgt
(7.4) |
Ausmultipliziert erhalten wir
(7.5) |
Um eine Resonatormode zu bekommen muss sein. Wir setzen
(7.6) |
Materialien
Folien zur Vorlesung am 17. 07. 2002 (PDF)
Damit bekommen wir auch
Wir lösen die erste Gleichung nach auf und erhalten
(7.8) |
Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen
(7.9) |
Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (7.7) ein und erhalten
(7.10) |
Durch ausrechnen erhält man, dass ist. Wenn wir setzen, können wir schreiben
(7.11) |
Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ 7.1 Die Lösung der Differentialgleichung ist . Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz mit ein und erhalten
(7.12) |
Die Lösung ist
(7.13) |
Mit und daraus ist die obige Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung ist also
(7.14) |
mit . Damit wir eine stabile Lösung haben, muss reell sein. Daraus folgt
(7.15) |
Aus der Definition von folgt
(7.16) |
Wenn wir die neuen normierten Koordinaten und einführen, heisst die Stabilitätsbedingung
(7.17) |
|
Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man setzt, wobei der Krümmungsradius des Spiegels ist.
|