Übungsblatt 5
Grundkurs IIIa für Physiker

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

17. 6. 2002

Aufgaben für die Übungsstunden

Brechung und Linsen, PDF-Datei

Die Brechkraft einer Linse misst man in Diopterien

$$D = 1/f$$

$$1 dpt = 1/m$$

1. Ein alternder Physikprofessor entdecke, daß er Gegenstände nur im Abstand zwischen $0.75 m$ und $2.5 m$ scharf sehen kann. Er entscheide sich für eine Zweistärkenbrille. Der obere Teil der Gläser erlaube es ihm, Gegenstände in der Ferne scharf zu sehen, und mit dem unteren Teil sehe er Gegenstände im Abstand von $25 cm$ scharf. Nehmen Sie an, daß der Abstand Auge-Brille $2 cm$ beträgt. Berechnen Sie die Brechkraft
   1. für den oberen und
   2. für den unteren Teil der Brillengläser,
   3. Gibt es einen Bereich, in dem er Gegenstände weder mit dem unteren noch mit dem oberen Teil der Brille scharf sehen kann? Wenn ja, geben Sie den Bereich an.
   4. Gibt es einen Bereich, in dem er Gegenstände weder mit noch ohne Brille scharf sehen kann? Wenn ja, geben Sie den Bereich an.
2. Das Objektiv des Linsenteleskops im Yerkes-Observatorium hat eine Brennweite von $19.5 m$. Es werde auf den Mond gerichtet, der unter einem Sehwinkel von etwa $0009 rad$ erscheint. Wie groß ist der Durchmesser des Mondbildes, das vom Objektiv erzeugt wird?
3. Das Spiegelteleskop auf dem Mount Palomar hat einen Spiegeldurchmesser von $5.1 m$ und eine Brennweite von $l.68 m$.
   1. Um welchen Faktor ist seine Lichtstärke größer als die des Linsenteleskops (Refraktors) des Yerkes-Observatoriums (Aufgabe 2), die einen Durchmesser von $l.02$ m hat?
   2. Die Brennweite des Okulars betrage $l.25 cm$. Welche Vergrößerung erreicht dieses Teleskop?

Hausaufgabe

1. Störreflektionen an einer dicken Linse. Eine von Luft umgebene dicke Linse $L$ hat die in der Abbildung gegebenen Charakteristika. Das einfallende monochromatische Licht fällt auf die Eintrittsfläche $E_{xy}$ und tritt aus der Fläche $S_{xy}$ aus.
   1. Bestimmen sie die Kardinalelemente von $L$ (Brechkraft, Brennweiten, Abstand zwischen $E$ und der objektseitigen Hauptebene, Abstand zwischen $S$ und der bildseitigen Hauptebene, Knotenpunkte, Brennebenen)!
   2. Bestimmen Sie algebraisch die zu der Eintrittsfläche $E_{xy}$ konjugierte Ebene!
   3. Man stellt fest, daß ein zu der optischen Achse paralleles Lichtbündel aus $L$ tritt und in verschiedenen Brennpunkten $F$, $F_1$, $F_2$,..., $F_n$ konvergiert: $F$ ist der übliche dioptrische Brennpunkt, während $F_1$, $F_2$,..., $F_n$ $l, 2,3,\ldots, n$ Doppelreflexionen zwischen der Ein- und Austrittsfläche entsprechen, z. B. ist $F_1$ der Brennpunkt des Lichtes, das an $E_{xy}$ gebrochen, an $S_{xy}$ und $E_{xy}$ reflektiert und schließlich an $S_{xy}$ gebrochen wurde.
      • Zeigen Sie durch Berechnen der Brechkräfte, daß die reflektierenden Eintritts- und Austrittsflächen konvergent sind!
      • In welchem Abstand von $S$ befindet sich $F_1$? Wie kann $F_n$ bestimmt werden?
   

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. 1. Ein Gegenstand im Unendlichen ($g = \infty$) soll dem Auge $2.5 m$ weit erscheinen; es ist $b = -248 cm$. Daraus folgt $l/f = l/g + 1/b = -0.00403 cm^{-1}$, und die Brechkraft beträgt $—0.403 dpt$.
   2. Hier soll der Gegenstand, der $25 cm$ weit entfernt ist (also bei $g = 23 cm$), scheinbar bei $b = —73 cm$ liegen. Daraus folgt $1/f = 0.0298 cm^{-1}$, und die Brechkraft beträgt $2,98 dpt$.
   3. Durch den oberen Teil des Brillenglases kann ein Gegenstand klar gesehen werden, dessen Bild $75 cm$ vor dem Auge liegt: $b = —73 cm$. Die Gegenstandsweite ist dann $g = (1/f - 1/b)^{-1} = 103 cm$; d.h. der Gegenstand befindet sich $105 cm$ vor dem Auge. Für den entferntesten Gegenstand, der durch den unteren Teil des Brillenglases klar zu sehen ist, beträgt die Bildweite $—250 cm$. Damit ist die Gegenstandsweite $g = [0.0298 - 1/(-250 + 2)]^{-1} = 29.6 cm$. Der Abstand vom Auge ist dabei $31.6 cm$. Mit der Zweistärkenbrille können also Gegenstände zwischen $31.6 cm$ und $105 cm$ nicht scharf gesehen werden,
   4. Ohne die Zweistärkenbrille sind Gegenstände zwischen $75 cm$ und $105 cm$ klar zu sehen. Es verbleibt somit ein Bereich zwischen $31.6 cm$ und $75 cm$, in dem weder mit noch ohne Zweistärkenbrille gut gesehen wird.
2. • Den Durchmesser $d$ des Bildes erhalten wir aus $d/f = \tan \epsilon \approx \epsilon$, wobei $\epsilon = 0.009 rad$ ist.
   • Es folgt $d = (19.5 m)\cdot (0.009 rad) = 17.6 cm$
3. 1. Die Lichtausbeute ist proportional zur Öffnungsfläche und damit beim Mount Palomar Teleskop um den Faktor $(5.1 m / 1.02 m)^2 = 25$ grösser als bei Yerkes-Observatorium.
   2. Vergrösserung: $v_T = -(f_{Ob}/f_{Ok}) = -134$

Lösungen Hausaufgabe

1. 1. Transfermatrix $T(\overline{ES}) = {R(S)}{T(\overline{ES})}{R(E)}$ hat die explizite Form:
      
      
      $$T(\overline{ES}) = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -B_2 &... ...rray}{cc} 0.9 & 10^{-2} \\ -28 & 0.8 \\ \end{array}\right]$$
      
      
      wobei $e/n=10^{-2}$, $B_1 = (1.5-1)/(5\cdot10^{-2}) = 10\delta$, $B_2 = (1-1.5)/(-2.5\cdot10^{-2}) = 20\delta$ ist. Es gilt $\det T = 1$ Daraus folgen $B = 28\delta$,
      $f_b = 1/28 = 3.6 cm$,
      $\overline{SH_b} = 3.6(0.9-1)=-0.36 cm$,
      $\overline{EH_0} = -3.6(0.8-1)=0.72 cm$,
      $H_0 = N_0$,
      $H_b = N_b$,
      $\overline{H_b F_b} = f_b$,
      $\overline{H_0 F_0} = -f_b$.
   2. Da wir $p = \overline{H_0 A_0} = \overline{H_0 E_0} = -0.72 cm$ haben, gibt die Formel $1/p_b - 1/p_0 = B$ den Wert $p_b = -0.9 cm$
   3. • Wir erhalten
        
        $${R_m(S)}\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -B_{ms} & 1 \\ \end{array}\right]$$
        
        
        und
        
        $${R_m(E)}\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -B_{me} & 1 \\ \end{array}\right]$$
        
        
        mit $B_{ms} = -2 \cdot 1.5/(-2.5\cdot 10^{-2}) = 120\delta$ und $B_{me} = -2\cdot 1.5/(-5\cdot 10^{-2}) = 60\delta$.
      • Die Transfermatrix des Systems nach der Reflektion an $S$ und $E$ hat die Form
        
        $${T_1(S)}= {R(S)}{T(\overline{ES})}{R_m(R)}{T(\overline{SE})} {R_m(S)}{T(\overline{ES})}{R(E)}$$
        
        
        Nach Berechnung von ${T(\overline{ES})}{R_m(R)}{T(\overline{SE})} {R_m(S)}$,
        
        
        $$\left[\begin{array}{cc} 1 & 10^{-2} \\ 0 & 1 \\ \end{arr... ...1.28 & 1.4\cdot 10^{-2} \\ -108 & 0.4 \\ \end{array}\right]$$
        
        
        ($\det = 1$) erhält man für $T_1(\overline{ES})$
        
        $$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -20 & 1 \\ \end{array}\... ...t[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -10 & 1 \\ \end{array}\right]$$
        
        
        
        
        $$= \left[\begin{array}{cc} -1.292 & 0.12\cdot 10^{-2} \\ -75,36 & -70.4\cdot 10^{-2} \\ \end{array}\right]$$
        
        
        Für die Strecke $\overline{SF_1}$ erhalten wir $\overline{SF_1} = \overline{SH_b}+\overline{H_b F_1} = f_b a = -1.292/75.36 = -1.71 cm$. Zur Bestimmung von $F_n$ berechnen wir $\left\{T_1(\overline{ES})\right\}^n$ ausgehend von $T_n(\overline{ES}) = R(S)\left\{T_1(\overline{ES})\right\}^n T(\overline{ES})R(E)$, so dass wir erhalten: $\overline{SF_n} = a^{(n)}/B^{(n)}$.

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