Gausssche Strahlen

(Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 106])

Als Vorstufe betrachten wir die durch eine Linse induzierte abstandsabhängige Phasendifferenz für paraxiale Strahlen. Die Linsenkrümmung sei $R$. Die $x,y$-Ebene sei senkrecht zur optischen Achse. Dann ist die Dicke der Sammellinse durch $d(x,y) = d_0-(x^2+y^2)/2R_1-(x^2+y^2)/2R_2$ gegeben. Der optische Weg setzt sich dann aus $s = s_{Linse}(r)+s_{Luft}(r)$ zusammen. Die Zeit, die Das Licht für das durchlaufen dieser Strecke benötigt ist

$$t = t_{Linse} + t_{Luft} = \frac{s_{Linse}(r) n}{c} + \frac{s_{Luft}(r)}{c}$$ (6..18)

Mit $s_{Luft} = s_0-s_{Linse}$ und unter Weglassung aller konstanten Terme bekommt man

$$t = - (x^2+y^2)\left(\frac{1}{2R_1}+\frac{1}{2R_2}\right)(n-1)$$ (6..19)

Mit $1/f = (n-1)(1/R_1 +1/R_2)$ ist das Resultat

$$t = -\frac{x^2+y^2}{2f}$$ (6..20)

Wenn wir mit $E_L(x,y)$ die Amplitudenverteilung links von der Linse und mit $E_R(x,y)$ die Verteilung rechts von der Linse beschreiben, gilt

$$E_R(x,y) = E_L(x,y)e^{i k \frac{x^2+y^2}{2f}}$$ (6..21)

Den gleichen Effekt erreicht man mit einem Medium, das die folgende Variation des Brechungsindexes hat

$$n(x,y) = n_0\left[1-\frac{k_2}{k}(x^2+y^2)\right]$$ (6..22)

Mit dem Fermatschen Prinzip in differentieller Schreibweise

$$\frac{d}{ds}\left(n\frac{d\vec{r}}{ds}\right) = \vec\nabla n = {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} n$$ (6..23)

kann die Trajektorie des Lichtstrahls ausgerechnet werden. Dabei ist $s$ die Weglänge entlang des Lichtstrahls. Bei paraxialen Strahlen kann $d/ds$ durch $d/dz$ ersetzt werden. Damit ist die Gleichung für paraxiale Strahlen

$$\frac{d^2r}{dz^2}+ \left(\frac{k_2}{k}\right)r = 0$$ (6..24)

Wenn der Strahl am Eingang die Position $r_0$ und die Steigung $r_0'$ hat, ist die Lösung

$$r(z) = \cos\left(\sqrt{\frac{k_2}{k}}z\right)r_0+ \sqrt{\frac{k}{k_2}}\sin\left(\sqrt{\frac{k_2}{k}}z\right)r_0'$$

$$r'(z) = \sqrt{\frac{k}{k_2}}\sin\left(\sqrt{\frac{k_2}{k}}z\right)r_0 + \cos\left(\sqrt{\frac{k_2}{k}}z\right)r_0'$$ (6..25)

Aus der Elektrizitätslehre folgt (ohne Ableitung), dass für das elektrische Feld

$$\nabla^2 \vec{E}+ k^2(\vec{r})\vec{E}= 0$$ (6..26)

gilt. Wir beschränken uns auf den Fall wo $k^2(\vec{r}) = k^2-k k_2 r^2$ gilt. Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten für Funktionen, die nur von $r=\sqrt{x^2+y^2}$ abhängen, ist

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$ (6..27)

Wir verwenden die Abkürzung $\nabla_t^2 =\frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}$. Weiter setzen wir an:

$$E = \psi(x,y,z)e^{-iz}$$ (6..28)

und erhalten

$$\nabla_t^2 \psi - 2 i k \frac{\partial \psi}{\partial z} - k k_2 r^2 \psi = 0$$ (6..29)

Wenn die Intensität entlang $z$ sich nur wenig ändert $(k (\partial \psi/\partial z) \gg \partial^2\psi/\partial z^2 \ll k^2\psi$, ist, können wir für $\psi$ ansetzen

$$\psi(x,y,z) = \exp\left\{-i\left[P(z)+\frac{1}{2}Q(z)r^2\right]\right\}$$ (6..30)

Wir setzen dies ein und bekommen

$$-Q^2r^2-2iQ-kr^2\frac{\partial Q}{\partial z} - 2 k \frac{\partial P}{\partial z} - k k_2 r^2 =0$$ (6..31)

Da dies Gleichung für alle $r$ gelten soll, müssen die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von $r$ einzeln verschwinden. Also ist

$$Q^2+ k \frac{\partial Q}{\partial z}+ kk_2 = 0$$

$$\frac{\partial P}{\partial z} = \frac {i Q}{k}$$ (6..32)

In einem homogenen Medium ist $k_2 = 0$ so dass wir die Gleichung

$$Q^2 + k\frac{\partial Q}{\partial z} = 0$$ (6..33)

erhalten. Wir definieren die Funktion $s(z)$ über

$$Q = k\frac{\frac{\partial s}{\partial z}}{s}$$ (6..34)

Durch Einsetzen sehen wir, dass

$$\frac{\partial^2 s}{\partial z^2} = 0$$ (6..35)

Damit muss $s(z) = az+b$ sein. Somit ist $Q$

$$Q(z) = k\frac{a}{az+b}$$ (6..36)

Bequemer ist es im weiteren, wenn wir die Funktion

$$q(z) = \frac{k}{Q(z)} = \frac{2\pi n}{\lambda Q(z)}$$ (6..37)

verwenden. Diese hat die Form

$$q(z) = z+q_0$$ (6..38)

Wir setzen $Q(z)$ in die Gleichung für $P(z)$ ein und erhalten

$$\frac{\partial P}{\partial z} = -\frac{i}{q} = -\frac{i}{z+q_0}$$

$$P(z) = -i\ln\left(1+\frac{z}{q_0}\right)$$ (6..39)

Wir nehmen an, dass $q_0$ rein imaginär ist. Dann gilt für die örtliche Amplitudenverteilung

$$\psi(r,z) = exp\left\{-i\left[-i\ln\left(1+\frac{z}{q_0}\right)+\frac{k}{2(q_0+z)}r^2\right]\right\}$$ (6..40)

Wir setzen $q_0 = i\frac{\pi \omega_0^2n }{\lambda}$, berücksichtigen $\lambda = 2\pi n/k$ und verwenden die Identität $\ln(a+ib) = \ln\sqrt{a^2+b^2}+i\arctan(b/a)$ und erhalten für den ersten Term im obigen Produkt

$$\exp\left[-\ln\left(1-i\frac{\lambda z}{\pi\omega_0^2 n}\right)\r... ...^4 n^2}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{\lambda z}{\pi \omega_0 n}\right)\right]$$ (6..41)

Der zweite Term wird

$$\exp\left[\frac{-ikr^2}{2(q_0+z)}\right] = \exp\left\{\frac{-r^2}... ...ikr^2}{2z\left[1+\left(\frac{\pi\omega_0 n}{\lambda z}\right)^2\right]}\right\}$$ (6..42)

Die folgenden Definitionen sind üblich

$$\omega^2(z) = \omega_0^2\left[1+\left(\frac{\lambda z}{\pi \omega_0^2 n}\right)^2\right]=\omega_0^2\left(1+\frac{z^2}{z_0^2}\right)$$ (6..43)

$$R(z) = \left[1+\left(\frac{\pi\omega_0 n}{\lambda z}\right)^2\right] = z\left(1+\frac{z_0^2}{z^2}\right)$$ (6..44)

$$\eta(z) = \arctan\left(\frac{\lambda z}{\pi \omega_0^2 n}\right)= \arctan\left(\frac{z}{z_0}\right)$$ (6..45)

$$z_0 \equiv \frac{\lambda z}{\pi \omega_0^2 n}$$ (6..46)

Die Parameter haben die folgende Bedeutung:

$\omega (z)$	Der halbe Strahldurchmesser an der Position $z$
$R(z)$	Der Krümmungsradius der Wellenfront an der Stelle $z$
$\eta(z)$	Phasenfaktor
$z_0$	Ort der maximalen Krümmung der Wellenfront

Mit dieser abgekürzten Schreibweise wird

$$E(x,y,z) = E-0 \frac{\omega_0}{\omega(z)}\exp\left[-i\left(kz-\eta(z)\right)-r^2\left(\frac{1}{\omega^2(z)}+\frac{ik}{2r(z)}\right)\right]$$ (6..47)

Weiter ist

$$\frac{1}{q(z)}=\frac{1}{R(z)}-i\frac{\lambda}{\pi n \omega^2(z)}$$ (6..48)

Die Grösse $1/q(z)$ beschreibt die Gaussschen Strahlen. Der Realteil gibt den Krümmungsradius der Wellenfronten, der Imaginärteil den Strahldurchmesser.

Die Grösse $q(z)$ ist deshalb sehr wichtig, weil mit Hilfe der Transfermatrizen $q(z)$ propagiert werden kann. Die Transfermatrizen geben deshalb auch die Änderung der Strahlform durch optische Elemente an.

Divergenz und Strahldurchmesser

(Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 106])

Die obigen Parameter haben die folgende Bedeutung

$\omega (z)$ und $\omega _0$

Die transversale Amplitudenverteilung folgt einer Gausskurve, wie man aus dem Term $\exp[r^2/\omega^2(z)]$ ersehen kann. $\omega (z)$ ist die Distanz zur optischen Achse, bei der die Intensität um den Faktor $e$ vom Maximum abgefallen ist. $\omega _0$ beschreibt den minimalen Strahldurchmesser.

$R(z)$

$R(z)$ ist der Krümmungsradius der Wellenfronten. Aus $R(z) = z\left(1+\frac{z_0^2}{z^2}\right)$ ist ersichtlich, dass $\lim\limits_{z\rightarrow 0} R(z) = \infty$ ist. Damit nähern Gausssche Wellen im Fokus eine ebene Welle an. Ebenso ist $\lim\limits_{z\rightarrow \pm\infty} R(z) = \pm\infty$. Auch für sehr grosse Distanzen sind Gausssche wellen eine gute Approximation für ebene Wellen.

Öffnungswinkel

Weit weg vom minimalen Strahldurchmesser kann ein Gaussscher Strahl durch einen Öffnungswinkel

$$\Theta = \arctan\left(\frac{\lambda}{\pi\omega_0 n}\right) \approx \frac{\lambda}{\pi\omega_0 n}$$ (6..49)

beschrieben werden. Es gilt deshalb die folgende Gleichung

$$\Theta \omega_0 = const = \frac{\lambda}{\pi n}$$ (6..50)

die formal äquivalent zur Unschärferelation ist. Damit ist klar, dass ein kleinerer Brennfleck unweigerlich einen grösseren Öffnungswinkel bedeutet. In einer nullten Approximation sieht man auch, dass $\omega_0 \geq \frac{\lambda}{\pi^2 n}$ sein muss.

Wirkung optischer Elemente auf Gausssche Strahlen

Die Transformation eines Gaussschen Strahls mit optischen Elementen, die durch die Matrix

$$\left[\begin{array}{cc} A & B C & D \end{array}\right]$$

charakterisiert sind, wird durch

$$q_2 = \frac{A q_1 + B}{C q_1 + D}$$ (6..51)

beschrieben. Zum Beispiel wirkt eine Linse mit der Brennweite $-f$, also der Matrix

$$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 -1/f & 1 \end{array}\right]$$

so auf einen Gaussschen Strahl

$$q_2 = \frac{q_1}{-q_1/f+1}$$ (6..52)

Wir nehmen den Kehrwert und bekommen

$$\frac{1}{q_2} = \frac{1-q_1/f}{q_1} = \frac{1}{q_1} -\frac{1}{f}$$ (6..53)

Mit der Definition $1/q = 1/R +i\lambda/(\pi n \omega^2)$ wird die Gleichung

$$\frac{1}{R_2} + i\frac{\lambda}{\pi n \omega_2^2} = \frac{1}{R_1} + i\frac{\lambda}{\pi n \omega_1^2} -\frac{1}{f}$$ (6..54)

Diese Gleichung muss für den Real- und den Imaginärteil separat erfüllt sein. Also haben wir

$$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_1}-\frac{1}{f} \hspace{0.1\textwidth}\textrm{(Realteil)}$$

$$\omega_1 = \omega_2 \hspace{0.1\textwidth} \textrm{(Imaginärteil)}$$ (6..55)

Wenn zwei optische Elemente mit den Matrizen

$$\left[\begin{array}{cc} A_1 & B_1 C_1 & D_1 \end{array}\right]$$

und

$$\left[\begin{array}{cc} A_2 & B_2 C_2 & D_2 \end{array}\right]$$

hintereinander geschaltet, ist das Resultat durch

$$q_3 = \frac{A_2 q_2 + B_2}{C_2 q_2 + D_2}$$

$$ = \frac{A_2 \frac{A_1 q_1 + B_1}{C_1 q_1 + D_1} + B_2}{C_2 \frac{A_1 q_1 + B_1}{C_1 q_1 + D_1} + D_2}$$

$$ = \frac{(A_2 A_1 + B_2 C_1)q_1 +(A_2 B_1 + b_2 D_1)}{(C_2 A_1 + D_2 C_1)q_1 + (C_2 B_1+D_2 D_1)}$$

$$ = \frac{A_T q_1 + B_T}{C_T q_1 + D_T}$$ (6..56)

gegeben. Die Analyse dieser Gleichung zeigt, dass für die Koeffizienten auch

$$\left[\begin{array}{cc} A_T & B_T C_T & D_T \end{array}\right... ...array}\right]\left[\begin{array}{cc} A_1 & B_1 C_1 & D_1 \end{array}\right]$$ (6..57)

gilt. Damit gelten für Gausssche Strahlen die gleichen mathematischen Formeln für die Berechnung von optischen Systemen wie bei Lichtstrahlen.

Fokussierung eines Gaussschen Strahls.

In der Eingangsebene $1$ ist $R_1 = \infty$ und $\omega = \omega_{01}$. Dann ist

$$\frac{1}{q_1} = \frac{1}{R_1}-i\frac{\lambda}{\pi \omega_{01}^2 n} = -i\frac{\lambda}{\pi \omega_{01}^2 n}$$ (6..58)

In der Ebene $2$ ist

$$\frac{1}{q_2} = \frac{1}{q_1}-\frac{1}{f} = -\frac{1}{f}-i\frac{\lambda}{\pi \omega_{01}^2 n}$$ (6..59)

Damit ist

$$q_2 =\frac{1}{-\frac{1}{f}-i\frac{\lambda}{\pi \omega_{01}^2 n}}=\frac{-a+ib}{a^2+b^2}$$ (6..60)

wobei $a = 1/f$ und $b=\lambda/(\pi \omega_{01}^2 n)$. In der Ebene $3$ ist

$$q_3 = q_2 +\ell = \frac{-a}{a^2+b^2}+\ell + \frac{ib}{a^2+b^2}$$ (6..61)

Nun muss in der Ebene $3$ auch gelten

$$\frac{1}{q_3} = \frac{1}{R_3}-i\frac{\lambda}{\pi \omega_{3}^2 n}... ...+b^2}}{\left(\frac{-a}{a^2+b^2}+\ell\right)^2+\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)^2}$$ (6..62)

In der Ebene $3$ soll der Durchmesser minimal sein, also ist $R_3 = \infty$. Damit muss in der obigen Gleichung der Realteil null sein. Damit ergibt sich die Bedingung

$$0 = \frac{-a}{a^2+b^2}+\ell \Leftrightarrow \ell = \frac{a}{a^2+b... ...\pi \omega_{01}^2n/\lambda}\right)}=\frac{f}{1+\left(\frac{f}{z_{01}}\right)^2}$$ (6..63)

Und damit ist auch der Ort des Strahlminimums gegeben. Der neue Strahldurchmesser ist

$$\frac{\omega_3}{\omega_{01}} = \frac{\frac{f\lambda}{\pi\omega_{0... ...n}\right)^2}}=\frac{\frac{f}{z_{01}}}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{z_{01}}\right)^2}}$$ (6..64)

Der Parameter $z_0$ ist der konfokale Parameter, der angibt, in welcher Distanz vom Strahlminimum der Strahldurchmesser um $\sqrt{2}$ zunimmt. Der Wert des konfokalen Parameters ist

$$z_0 = \frac{\pi \omega_{01}^2 n}{\lambda}$$ (6..65)

Moden

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 881]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 118])

Versuch zur Vorlesung: Laser (Versuchskarte AT-052)

Die Gaussschen Strahlen sind die Grundmode von Laserstrahlung. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine Knotenlinie hat. Es existieren weiter Moden, die durch die Anzahl Knotenlinien in horizontaler und vertikaler Richtung charakterisiert sind. Die möglichen Moden sind durch die Randbedingungen vorgegeben. So erzeugt eine vertikale Störung durch die Resonatorachse eine Mode mit zwei Maxima, die durch eine vertikale Knotenlinie getrennt sind.

Im folgenden werden Messungen von Moden gezeigt, die im Institut für Experimentelle Physik an vertikal emittierenden Laserdioden (VCSEL) aus der Abteilung Optoelektronik gemessen wurden.

Aufbau der Nahfeld-Messeinrichtung für Modenverteilungen. (Zeichnung von Markus Fischer[Fis97]).

Nahaufnahme von Glasfaser-Nahfeldsonden. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

Transmission von Nahfeld-Glasfasersonden. (Schaubild gezeichnet von Markus Fischer[Fis97]).

Wellenleitermoden für elliptische Wellenleiter. Links sind die Bezeichnungen, dann die Anordnung der elektrischen Felder und schliesslich die Intensitätsmuster gezeigt. (gezeichnet nach [Dyo95].)

Diese Aufnahme zeigt Moden bei relativ geringen Strömen. Deshalb können nur die Grundmode sowie noch wenige Oberwellen anschwingen. Die Modenform wird durch die Verunreinigungen auf den Laserspiegeln (rechts sichtbar) hervorgerufen. In der Unteren Reihe ist der Analysator für die Polarisation um $\pi/2$ gedreht worden. Die beiden Reihen zeigen also die beiden orthogonalen Polarisationszustände des Lichtes. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

Bei ähnlichem Strom hängen die möglichen Moden auch vom Durchmesser des Resonators ab. Dieser Resonator ist grösser als der im vorherigen Bild. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

Hier ist der Strom bei gleicher Geometrie grösser als im vorherigen Bild. Entsprechend schwingen mehr Moden an. Beachten Sie, dass die Knotenlinien von Moden mit einer orthogonalen Polarisation auch orthogonal sind. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

Dieser Laserresonator hat den grösseren Durchmesser als der vorherige. Da auch der Injektionsstrom grösser ist, schwingen hier sehr viele Moden an, die zum Teil auch nicht mehr identifiziert werden können. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

Hier wird gezeigt, dass die Sonde, hier ''Spitze'' genannt, keinen Einfluss auf die Messung hat. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

Wie bei allen Messmethoden gibt es auch hier Artefakte. So führen hier Rückwirkungen auf den Laser zu einer optisch sonst nicht erklärbaren Streifenbildung. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

Nach Yariv[Yar75, 118] genügen die Moden in rechteckförmigen Wellenleiter

$$E_{\ell,m} = E_0\frac{\omega_0}{\omega(z)}H_\ell\left(\sqrt{2}\frac{x}{\omega(z)}\right) H_m\left(\sqrt{2}\frac{y}{\omega(z)}\right)$$

$$ \times \exp\left[-ik\frac{x^2+y^2}{2q(z)}-ikz+i(m+n+1)\eta\right]$$

$$ = E_0\frac{\omega_0}{\omega(z)}H_\ell\left(\sqrt{2}\frac{x}{\omega(z)}\right) H_m\left(\sqrt{2}\frac{y}{\omega(z)}\right)$$

$$ \times \exp\left[-\frac{x^2+y^2}{\omega^2(z)}-ik\frac{x^2+y^2}{2R(z)}-ikz+i(m+n+1)\eta\right]$$

wobei $H_\ell$ das Hermitsche Polynom $\ell$-ten Grades ist und die anderen Grössen wie bei den Gaussschen Strahlen definiert sind.