Lichtgeschwindigkeit

(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1025])

Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe der Periodendauer der Umlaufzeit des Jupitermondes Io.

Astronomische Beobachtungen waren schon immer sehr genau. Ole Rømer beobachtete 1675 dass der Eintritt des Jupitermondes Io in den Kernschatten sich abhängig von den Sternkonstellationen verschob. Die Periode der Umlaufzeit beträgt 42.5 Stunden und nimmt zu, wenn die Erde sich vom Jupiter weg bewegt und ab, wenn sie sich auf den Jupiter zu bewegt. Der maximale Zeitunterschied ist $2*150\times 10^9 m / 3 \times 10^8 m/s = 1000 s$. Zwischen zwei Eintritten in den Kernschatten ist der Zeitunterschied zum mittleren Zeitunterschied $150 \times 10^9 m / (365.24*24 h)*42.5 h/3 \times 10^8 m/s = 2.42 s$. Ole Rømer brauchte also eine Uhr, die in 24h weniger als eine Sekunde Fehler hatte. Ole Rømer mass eine Lichtgeschwindigkeit von ungefähr $2 \times 10^8 m/s$. Daraus kann geschlossen werden, dass seine Zeitmessung eine relative Genauigkeit von $3\times 10^{-7}$ hatte, besser als manche Armbanduhr heute.

Eine gewaltige Verbesserung der Genauigkeit erzielte Bradley mit seiner Beobachtung der Aberration des Lichtes. Analog zum Regen, der, wenn man steht von oben kommt und der wenn man geht schräg von vorne fällt, ändert das Licht seine Einfallsrichtung. Aus der Winkeländerung kann auf die Lichtgeschwindigkeit geschlossen werden, wenn man die Eigengeschwindigkeit kennt.

Bradley beobachtete die Position eines Fixsterns (möglichst unendlich weit weg) zu verschiedenen Zeiten.

In der Abbildung sind zwei extreme Positionen aufgezeichnet, da wo die Erde mit maximaler Geschwindigkeit auf den Stern sich hinbewegt und da, wo sie sich mit maximale Geschwindigkeit entfernt. Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist etwa $v_{Erde}=3\cdot 10^4 m/s$. Alternativ könnte man die Position des Sterns auch im Abstand von 12 Stunden ausmessen. dabei müsste die Umfangsgeschwindigkeit, die in Ulm etwa $v_{Umfang,\; Ulm} = 327 m/s$ und damit etwa $100$ mal kleiner ist, verwendet werden.

Dreiecke zur Berechnung der Lichtgeschwindigkeit nach Bradley

Zur Berechnung verwenden wir den Sinussatz:

$$\frac{v_{Erde}}{\sin\phi}= \frac{c}{\sin(\pi-\alpha-\phi)}$$ (2..1)

Praktischerweise ergeben sich für beide Fälle, sowohl auf die Erde zu wie von der Erde weg die gleiche Gleichung. Diese Beziehung formen wir um

$$c = \frac{\sin(\pi-\alpha-\phi)}{\sin\phi}v_{Erde}$$ (2..2)

$$=\frac{\sin(\alpha+\phi)}{\sin\phi}v_{Erde}$$

$$=\frac{\sin\alpha\cos\phi+\cos\alpha\sin\phi}{\sin\phi}v_{Erde}$$

Für kleine Winkel $\phi \ll \pi$ bekommen wir

$$c = \frac{\sin\alpha}{\tan\phi}v_{Erde}$$ (2..3)

Wie gross ist nun der zu messende Winkel $\phi$? Wir betrachten einen Stern,d er etwa $\pi/4$ über der Ekliptik (der Bahnebene der Erde) liegt. Mit $v_{Erde}=30 km/s$ und $c=300000km/s$ und $\alpha=\pi/4$ erhalten wir

$$\phi \approx \tan\phi = \sin\alpha\frac{v_{Erde}}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0.0001\approx 7\cdot 10^{-5} = 0.24'$$ (2..4)

Der gemessene Winkelunterschied zwischen den Punkten $A$ und $B$ ist somit

$$\Delta \Phi = 2\phi \approx 0.48'$$ (2..5)

Wenn wir nur im Zeitabstand von einem Tag messen, ist der der Winkel $\Delta \Phi = 0,29''$.

Lichtgeschwindigkeitsmessung nach Armand Fizeau (1849)

Fizeau verwendete einen Weg von $8.63 km$. Bei bestimmten Geschwindigkeiten (welchen?) wurde der Weg des Lichtes blockiert, bei anderen durchgelassen. Nehmen wir an, dass das Zahnrad mit 100 Umdrehungen pro Sekunde rotiere. Das licht wird blockiert, wenn das Zahnrad sich um einen halben Zahn weiter dreht in der Laufzeit des Lichts. Die Laufzeit ist $t = 8630m/3\times 10^8m/s = 2,877 \times 10^{-5} s$. Die Umdrehungszeit des Rades ist $0.01 s$. Also hat das Rad $n= 0.01/ (2 \times 2,877 \times 10^{-5}) = 174$ Zähne, machbar!.

Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Drehspiegelmethode

Versuch zur Vorlesung: Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Drehspiegelmethode (Versuchskarte O-030)

Eine verbesserte Methode ist die Messung der Lichtgeschwindigkeit. Er verwendete einen Drehspiegel. Seine Genauigkeit war so gross, dass er auch den Unterschied der Lichtgeschwindigkeit in stehendem und fliessendem Wasser messen konnte.

Heute wird die Lichtgeschwindigkeit mit moderner Elektronik gemessen.

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt $299\;792\;458\;\frac{m}{s}$. Sie ist eine Definitionsgrösse.