Energie des elektrischen Feldes

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik[Kne74, 204]) (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 729])

Versuch zur Vorlesung: Energie im Kondensator

Ein Plattenkondensator der Kapazität $C$ sei auf die Spannung $U=\frac{Q} {C}$ aufgeladen. Wir transportieren die Ladung $\Delta Q$ von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist

$$W\left( Q,Q+\Delta Q\right) =U\cdot\Delta Q=\frac{Q\Delta Q}{C}$$ (2.82)

Dabei haben wir die Ladung $\Delta Q$ über die Potentialdifferenz $U$ transportiert.

$$W\left( 0,Q\right) = {\displaystyle\int\limits_{0}^{Q}} \frac{QdQ}{C}=\frac{Q^{2}}{2C}$$ (2.83)

also

$$E_{pot}\left( C\right) =\frac{Q^{2}}{2C}$$ (2.84)

oder mit $C =\frac{\epsilon_{0}A}{d}$

$$E_{pot}\left( d\right) =\frac{Q^{2}d}{2\epsilon_{0}A}$$ (2.85)

oder mit $Q =U\cdot C$

$$E_{pot}\left( U\right) =\frac{U^{2}\cdot C}{2}$$ (2.86)

oder mit $Q=E A \epsilon_{0}$ und $A\cdot d=V$ (das Volumen)

$$E_{pot}=E^{2} \cdot A \cdot d \cdot \epsilon_{0}=E^{2} \cdot V \cdot \epsilon _{0}=E \cdot D \cdot V$$ (2.87)

oder mit $w_{el}=\lim\limits_{V \rightarrow 0}\frac{E_{pot}}{V}$ der Energiedichte des elektrischen Feldes

$$w_{el}=\frac{\epsilon_{0}E^{2}}{2}=\frac{\vec{E}\cdot\vec{D}}{2}$$ (2.88)

Die Kraft $\Delta\vec{F}_{V}$ auf ein Volumenelement $\Delta V$ wird durch

$$\vec{F}_{V}\left( \vec{r}\right) =\lim\limits_{\Delta V\righ... ...V}=\rho_{el}\left( \vec{r}\right) \vec{E}\left( \vec{r}\right)$$ (2.89)

beschrieben, da

$$\Delta\vec{F}_{V}\left( \vec{r}\right) =\vec{E}\left( \vec {... ...Q=\vec{E}\left( \vec{r}\right) \cdot \rho_{el } \cdot \Delta V$$ (2.90)

Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus

$$\sigma_{Maxwell}=\lim\limits_{\Delta A\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{F} \left( \vec{r}\right) }{\Delta A}$$ (2.91)

Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes.

Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: $E_{pot}=\frac{Q^{2}}{2C}$. Die Arbeit, den Kondensator von $d$ auf $d+\Delta d$ zu bringen ist.

$$W\left( d,d+\Delta d\right) = F\Delta d$$

$$= E_{pot}\left( d+\Delta d\right) -E_{pot}\left( d\right)$$

$$= \frac{Q^{2}}{2\epsilon_{0}A}\left( d+\Delta d\right) -\frac{Q^{2} d}{2\epsilon_{0}A}$$

$$= \frac{Q^{2}\Delta d}{2\epsilon_{0}A}$$

$$= \frac{Q^{2}}{A^{2}}\cdot\frac{\Delta dA}{2\epsilon_{0}}$$

$$= \sigma^{2}\frac{\Delta dA}{2\epsilon_{0}}$$

$$= \epsilon_{0}^{2}E^{2}\cdot\frac{A\Delta d}{2\epsilon _{0}}$$

$$= \frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}A\Delta d$$ (2.92)

und damit

$$\sigma_{Maxwell}=\frac{F}{A}=\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}=\vec{D} \cdot \vec{E}$$ (2.93)

Beispiel: In einem Laser können Felder von $10^{12}V/m$ auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von $8.85\cdot 10^{12}Pa \simeq 8.85\cdot 10^{7}$ bar.

Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck.

Versuch zur Vorlesung: Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) ES-16