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Kapazität: eine geometrische Eigenschaft

\framebox[\textwidth][c] {\centering\textbf{Dieser Stoff wurde am 7. 11. 2002 behandelt}}
(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 722]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik[Kne74, 202])



Versuch zur Vorlesung: Kapazität von Kugeln ES-27

Wir wollen das Problem:

Wir wissen:

Im Inneren der Leiter ist $U=const$ und $\rho =0$


\includegraphics[width=0.7\textwidth]{elektrostatik-012.eps}

Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum


Wir betrachten eine kleine zylinderförmige Oberfläche und verwenden

\begin{displaymath}
\oint\limits_{s}\vec{E}ds=\frac{\rho _{eingeschlossen}}{\epsilon _{0}}
\end{displaymath} (2.68)

Da das Feld im Inneren des Leiters verschwindet und die Seitenflächen keinen Beitrag geben, ist

\begin{displaymath}
{\epsilon _{0}\vec{E_{\perp }}}=\sigma
\end{displaymath} (2.69)

Bei einer genügend grossen ebenen Fläche $A$ ist die Ladung dann


\begin{displaymath}
Q = \int\limits_A \sigma da = \int\limits_A {\epsilon _{0}\vec{E_{\perp }}} \approx {\epsilon _{0}\vec{E_{\perp
}}}A
\end{displaymath} (2.70)

$A$ repräsentiert hier die Geometrie, so dass man schliessen kann, dass die gesamte Ladung von der Geometrie der Leiter abhängt[Jac75, 48]. Wenn wir die Leiter $1,2,\ldots n$ betrachten, ist


\begin{displaymath}
U_{j}-U_{i}=\frac{Q}{C_{ji}}=U_{ji}= \varphi_{ij}
\end{displaymath} (2.71)

mit $U_{j}$ dem Potential auf dem Leiter $j$ und $U_{i}$ dem Potential auf dem Leiter $i$. $C_{ji}$ ist die Kapazität zwischen den Leitern $i$ und $j$.

Es ist $C_{ij}=C_{ji}$

Die Einheit der Kapazität ist

\begin{displaymath}
1 Farad=1 F=1\frac{C}{V}=1\frac{As}{V}
\end{displaymath} (2.72)

Als erstes Beispiel betrachten wir den Plattenkondensator


\includegraphics[width=0.3\textwidth]{elektrostatik-013.eps}

Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche $A$ die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist.


Wir benutzen, dass das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten homogenen Flächenladung konstant $E=\frac{\sigma }{2\epsilon _{0}}$ ist. (Gleichung (2.29) )

Auf den Kondensatorplatten (2 Seiten!) ist die Ladung $Q=2A\sigma =\epsilon _{0}EA$.

Das elektrische Feld zwischen den beiden Platten stammt von beiden Platten, also ist


\begin{displaymath}
\vec{E}=2\vec{E}_{Ebene}
\end{displaymath} (2.73)

Deshalb ist das Potential am Ort der zweiten Platte gemessen von der ersten Platte


\begin{displaymath}
U_{2,1}=\vec{E}\cdot \vec{d}=-2E_{Ebene}\cdot d=-2 \frac{\sigma }{\epsilon _{0}}d=-\frac{\sigma d}{\epsilon
_{0}}
\end{displaymath} (2.74)

Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten oder die angelegte Spannung

\begin{displaymath}
U=\frac{\sigma d}{\epsilon _{0}}=\frac{Qd}{A\epsilon _{0}}
\end{displaymath} (2.75)

oder
\begin{displaymath}
\frac{Q}{U}=\epsilon _{0}\frac{A}{d}=C
\end{displaymath} (2.76)

Damit haben wir die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet. Beachte, dass wir einen endlichen Plattenkondensator, der in einen unendlichen Plattenkondensator eingebettet ist, betrachtet haben, um Randeffekte auszuschliessen.


\includegraphics[width=0.7\textwidth]{elektrostatik-032.eps}
Durch die Dreiteilung des Kondensators können bei einem realen Kondensator die Randeffekte minimiert werden. Die kleine Lücke stört das homogene Feld nur unwesentlich.



Beispiel: Ein Kondensator mit $d=0.1\mu m$, $A=lm^{2}$ und $U=10V$

Dann ist $C=88,5\mu F$, $Q=0,885mC$, $\sigma =0,855
\frac{mC}{m^{2}}$ und $E=10^{8}V/m$


Aus der Additivität des elektrischen Feldes folgt, dass bei der Parallelschaltung von Kondensatoren sich die Kapazitäten addieren.



Versuch zur Vorlesung: Reihen- und Parallelschaltung von Kapazitäten EM-48


\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elektrostatik-014.eps}

Parallelschaltung von Kondensatoren



$\displaystyle Q_{1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle C_{1}U$  
$\displaystyle Q_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle C_{2}U$  
$\displaystyle Q_{3}$ $\textstyle =$ $\displaystyle C_{3}U$ (2.77)


\begin{displaymath}
Q_{ges}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=(C_{1}+C_{2}+C_{3})U
\end{displaymath} (2.78)

oder

\begin{displaymath}
\frac{Q_{ges}}{U}=C_{ges}=\frac{Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}}{U}=C_{1}+C_{2}+C_{3}
\end{displaymath} (2.79)



\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{be...
...ung
\begin{equation}
C=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{i}
\end{equation}}\end{minipage}}

Bei der Reihenschaltung wird die angelegte Spannung $U$ auf die in Reihe geschalteten Kondensatoren aufgeteilt.


\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elektrostatik-015.eps}

Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren


Auf den Kondensatoren sind die Ladungen

$Q=Q_{1}=\left( U-U_{1}\right) C_{1}=Q_{2}=\left( U_{1}-U_{2}\right) C_{2}=Q_{3}=U_{2}C_{3}$ gespeichert, da in diesem System nur Ladungen verschoben, aber nicht erzeugt oder vernichtet werden können.

Also ist


$\displaystyle \frac{Q}{C_{1}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle U-U_{1}$  
$\displaystyle \frac{Q}{C_{2}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle U_1-U_{2}$  
$\displaystyle \frac{Q}{C_{3}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle U_2$ (2.80)

oder

\begin{displaymath}
U=\frac{Q}{C_{1}}+\frac{Q}{C_{2}}+\frac{Q}{C_{3}}
=Q\left( ...
...}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}\right) =\frac{Q}{ C_{ges.}}
\end{displaymath} (2.81)



\framebox[0.9\textwidth]{\begin{minipage}{0.9\textwidth}\large\textcolor{red}{F{...
...{1}{C_{ges}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}}
\end{equation}}\end{minipage}}


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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm