Unterabschnitte

• Dielektrika
  • Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika
  • Das Gesetz von Clausius und Mosotti
  • Kondensator gefüllt mit Dielektrikum
• Elektrische Phänomene

Elektrische Eigenschaften der Materie

Materialien

Übungsblatt 03 vom 14. 11. 2002 (HTML oder PDF)

Folien zur Vorlesung am 14. 11. 2002 (PDF)

Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung $Ze$ und einer Elektronenwolke der Ladung $-Ze$. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander.

Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle

Das Kräftegleichgewicht lautet:

$$\vec{F}=Ze\vec{E}=-k(-\vec{x}) = k\vec x$$ (2.94)

Das induzierte Dipolmoment ist

$$\vec{p}_{ind}=Ze\vec{x}$$ (2.95)

und damit

$$\vec{p}_{ind}=\frac{\left( Ze\right) ^{2}}{k}\cdot\vec{E}=\alpha\vec{E}$$ (2.96)

Dabei ist $\alpha$ die atomare Polarisierbarkeit (Einheit $\left[ \alpha \right] =\frac{F}{m^{2}}=\frac{Cm^{2}}{V} =\frac{Asm^{2}}{V}$).

gefüllte Elektronenschale

Atom oder Molekül	$\alpha /\left( 10^{-40}\frac{Asm^{2}}{V}\right)$
He	0.2
Li$^{+}$	0.03
Ne	0.4
K$^{+}$	0.9
Xe	3.5
O$^{-}$	3.5
CCL$_{4}$	10
CL$^{-}$	4
I$^{-}$	7

nicht gefüllte Elektronenschale

Atom oder Molekül	$\alpha /\left( 10^{-40}\frac{Asm^{2}}{V}\right)$
H	0.7
Li	13
K	38
Cs	46

Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld $\vec{E}$ ist

$$E_{pot}=\frac{\alpha}{2}\vec{E}^2=\frac{\vec{p}_{ind}^2}{2\alpha }=\frac{1}{2}\vec{E}\vec{p}_{ind}$$ (2.97)

da

$$\Delta E_{pot}=W\left( \vec{p},\vec{p}+\Delta\vec{p}\right) ... ...E}\cdot\Delta\vec{p}=\frac{\vec{p}}{\alpha}\cdot \Delta\vec{p}$$ (2.98)

und damit

$$E_{pot}= {\displaystyle\int\limits_{0}^{\vec{p}}} \frac{\vec{p}}{\alpha}d\vec{p}=\frac{\vec{p}^{2}}{2\alpha}$$ (2.99)

Dielektrika

Versuch zur Vorlesung: Plattenkondensator mit Dielektrikum ES-3

Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt

$$\vec{D}=\epsilon_{0}\vec{E}$$ (2.100)

Isolatoren in einem Kondensatoren

Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist

$$E=\frac{U}{d}$$ (2.101)

unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.

Andererseits ist

$$D=\epsilon_{0}E=\frac{\epsilon_{0}U}{d}=\frac{\epsilon_{0}Q}{Cd} =\frac{\epsilon_{0}Q}{\epsilon_{0}\frac{A}{d}d}=\frac{Q}{A}$$ (2.102)

abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden.

In vielen Fällen sind $\vec{D}$ und $\vec{E}$ linear voneinander abhängig.

$$\vec{D}=\epsilon\epsilon_{0}\vec{E}=\left( 1+\chi_{e}\right) \epsilon _{0}\vec{E}$$ (2.103)

mit $\epsilon\geq 1$ und $\chi_{e}\geq 0$

$\epsilon$ heisst die Dielektrizitätskonstante, $\chi_{e}$ die dielektrische Suszeptibilität.

Im allgemeinen sind $\epsilon$ und $\chi_{e}$ Tensoren.

Material	$\epsilon$
Vakuum	1
Luft	1.0006
Paraffin	2.1
Glas	5-9
Wasser(291k, 0Hz)	81
Wasser (291k, 1PHz	1,77

Alle Formeln der Elektrostatik können auf Dielektrika angewandt werden, indem $\epsilon_{o}$ durch $\epsilon\epsilon_{0}$ ersetzt wird.

Woher rührt $\epsilon>1$?

Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.

Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld.

Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.

Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten elektrischen Feld.

Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.104) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.

Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika

Im ladungsfreien Raum gilt $\textrm{div} {}\vec D = 0$ (siehe Gleichung (2.19) ). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch $\textrm{rot} {}\vec E = 0$. Wir betrachten eine Oberfläche $S$, die ein Stück $\Delta A$ der Grenzfläche umschliesst. Dann ist

$$\int\limits_S \vec D \cdot d\vec a = -D_{1\bot}\Delta A + D_{2\bot}\Delta A = 0$$

und damit gilt für die dielektrische Verschiebung die folgende Stetigkeitsbedingung

$$D_{1\bot} = D_{2\bot}$$ (2.104)

Wir verwenden weiter eine Schlaufe $s$, die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten

$$\int\limits_{A(s)} \textrm{rot} {}\vec E \cdot d\vec a = \... ...c s = E_{1\vert\vert}\frac{s}{2}-E_{2\vert\vert}\frac{s}{2}=0$$

und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung

$$E_{1\vert\vert} = E_{2\vert\vert}$$ (2.105)

Mit $\textrm{grad} {}\varphi = -\vec E =$ können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential $\varphi$ umgeschrieben werden

$$\varphi_1 = \varphi_2$$

$$\epsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n} = \epsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n}$$ (2.106)

Das Gesetz von Clausius und Mosotti

In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Dielektrizitätszahl und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation ist wie folgt definiert:

$$\vec P = N \vec p_{ind} = N \alpha \vec E_{lokal}$$ (2.107)

wobei $N$ die Dichte der induzierten Dipole ist.

Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti

Wir betrachten ein homogenes Dielektrikum mit $\epsilon$, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius $R$ entfernt wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[Som78, 68],das von einem externen Feld $E$ in der $x$-Richtung hervorgerufen wird. Das Dielektrikum erzeugt an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte $\sigma(\Theta) = P_n = P_x\cos\Theta$. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5) ) ist der Beitrag von $\sigma da$ gegeben durch

$$dE_{i,r} = \frac{\sigma da}{4\pi \epsilon_0 R^2} = \frac{P_x\cos\Theta }{4\pi \epsilon_0 R^2}da$$ (2.108)

gegeben. Die $x$-Komponente ist dann

$$dE_{i,x} = \frac{P_x\cos^2\Theta }{4\pi \epsilon_0 R^2}da$$ (2.109)

Wir integrieren über die ganze Kugel und beachten, dass $da = r^2\sin\Theta d\Theta d\varphi$ ist. Die Integration über $\varphi$ (Faktor $2\pi$) und diejenige über $r$ (Faktor $1$, da die Ladung an der Oberfläche konzentriert ist) sind sofort ausführbar, so dass wir mit $\int \cos^2(\Theta)\sin(\Theta)d\Theta = -\frac{1}{3}\cos^3(\Theta)$

$$E_{i,x} = \frac{P_x}{4\pi\epsilon_0} 2\pi \int\limits_0^{\pi}\cos^2\Theta \sin\Theta d\Theta = \frac{1}{3\epsilon_0}P_x$$ (2.110)

erhalten. Da die $x$-zufällig gewählt wurde, gilt die Lorentz-Beziehung auch allgemein

$$E_i = \frac{1}{3\epsilon_0}P$$ (2.111)

Mit

$$\vec P = \left(\epsilon-1\right) \epsilon_0 \vec E = \chi_e \epsilon_0 \vec E$$ (2.112)

wird aus der Kombination von Gleichung (2.115) und Gleichung (2.119) die Clausius-Mosotti-Beziehung

$$\frac{\chi_e}{\chi_e+3}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}=\frac{N\alpha}{3\epsilon_0}$$ (2.113)

die die Polarisierbarkeit $\alpha$ mit der Dielektrizitätszahl $e$ verknüpft.

Kondensator gefüllt mit Dielektrikum

Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum

Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung Q tragen. Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor $\epsilon$ geringer als das Feld $E_{0}$ ohne Dielektrikum

$$E=\frac{E_{0}}{\epsilon}$$ (2.114)

Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand $d$ ist

$$U=Ed=\frac{E_{0}d}{\epsilon}=\frac{U_{0}}{\epsilon}$$ (2.115)

Die Kapazität ist

$$C=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{\frac{U_{0}}{\epsilon}}=\epsilon\frac{Q}{U_{0} }=\epsilon C_{0}$$ (2.116)

Also ist beim Plattenkondensator

$$C=\epsilon\epsilon_{0}\frac{A}{d}$$ (2.117)

Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant

$$D=\frac{Q}{A}$$ (2.118)

Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,

$$Q=\epsilon Q_{0}$$ (2.119)

Elektrische Phänomene

Materialien

Folien zur Vorlesung am 21. 11. 2002 (PDF)

Versuch zur Vorlesung: Steighöhe im Kondensator ES-12

Die Energiedichte im Kondensator ist

$$w_{el}=\frac{1}{2}\vec D \cdot \vec E$$ (2.120)

Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.

Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.

Wie geht das?

Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung

Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten[Kän78].

1. Mechanische Arbeit:
   
   $$dW_{mech}=Fdx$$
   
   

2. Elektrostatische Energie im Volumen $abdx$: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch
   
   $$E=\frac{U}{a}$$
   
   
   Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an
   

   $$dW_{el} = \left( \frac{1}{2}\epsilon\epsilon_{0}E^{2}-\frac{1}{2} \epsilon_{0}E^{2}\right) abdx$$

   $$= \frac{1}{2}\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}\frac{U^{2}}{a^{2} }abdx$$

   $$= \frac{1}{2}\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}U^{2}\frac{b} {a}dx$$ (2.121)

   
   

3. Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert. Die Kapazität ändert sich um
   

   $$dC = \epsilon\epsilon_{0}\frac{b dx}{a}-\epsilon_{0}\frac{b dx}{a}$$

   $$= \left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}\frac{b dx}{a}$$ (2.122)

   
   
   Die Spannung U$_{0}$ wird aufrecht erhalten und die Ladung $dQ$ transportiert $\left( E_{pot}=qU\right)$
   Also
   

   $$dW_{Batt} = UdQ$$ (2.123)

   $$= U\cdot UdC$$

   $$= \left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}U^{2}\frac{b dx}{a}$$

   
   

4. Die Energiebilanz ist
   

   $$dW_{mech}+dW_{el}=dW_{Batt}$$ (2.124)

   
   
   
   

   $$Fdx+\frac{1}{2}\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}U^{2}\f... ...{a}dx=\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}U^{2}\frac{b}{a}dx$$ (2.125)

   
   
   und somit
   

   $$F=\frac{1}{2}\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}\frac{b}{a}U^{2}$$ (2.126)