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Berechnung der Energie im Magnetfeld
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Wir betrachten eine mit einer Wechselstromquelle
verbundene reale Spule. Diese
Spule wird modelliert durch einen Widerstand
und eine ideale Spule
. Die Differentialgleichung dieses
Kreises lautet
![\begin{displaymath}
U(t)= L\cdot \dot I(t)+R\cdot I(t)
\end{displaymath}](img1114.gif) |
(4.91) |
Die stationäre Lösung dieser Gleichung hat die Form
![\begin{displaymath}
I_S(t) = I_0\cos(\omega t-\delta)
\end{displaymath}](img1115.gif) |
(4.92) |
Für den Fall, dass
ist, bekommt man
![\begin{displaymath}
I_S(t) =-\frac{U_0}{\omega L}\cdot \cos\omega t
\end{displaymath}](img1117.gif) |
(4.93) |
Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist
![\begin{displaymath}
P_U(t) = U(t)\cdot I(t)= -\frac{U_0^2}{\omega L}\cdot \sin\...
...ga t = -\frac{U_0^2}{\omega
L}\cdot\frac{1}{2}\sin(2\omega t)
\end{displaymath}](img1118.gif) |
(4.94) |
Die Leistung der Spannungsquelle kann nur die Energie des
-Feldes ändern, da wir keine dissipativen
Elemente haben (
). Wenn man die Differentialgleichung für den Fall mit
multipliziert, bekommt man
![\begin{displaymath}
P_U= U(t)\cdot I(t)= L\cdot I\cdot \dot I= \frac{d}{dt}\left(\frac{L}{2}I^2\right)
\end{displaymath}](img1121.gif) |
(4.95) |
Nun ist aber
. Damit ist die Energie des Magnetfeldes
![\begin{displaymath}
E_L = \frac{L}{2}I^2
\end{displaymath}](img1123.gif) |
(4.96) |
Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine Spule
![\begin{displaymath}
B = \mu_0 n I
\end{displaymath}](img1124.gif) |
(4.97) |
mit der Selbstinduktivität
![\begin{displaymath}
L = \mu_0 n^2 A\ell
\end{displaymath}](img1125.gif) |
(4.98) |
wobei
der Querschnitt der Spule und
ihre Länge ist. Eingesetzt in die Gleichung für die Energie
bekommt man
![\begin{displaymath}
E_L=\frac{1}{2}\cdot \mu_0 n^2 A\ell\cdot \left(\frac{B}{\mu_0 n}\right)^2 =\frac{B^2}{2\mu_0}A\ell
\end{displaymath}](img1127.gif) |
(4.99) |
Deshalb ist die Energiedichte des
-Feldes
![\begin{displaymath}
w_B = \frac{B^2}{2\mu_0}
\end{displaymath}](img1128.gif) |
(4.100) |
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm