Unterabschnitte

• Kugeln im inhomogenen Magnetfeld
• Der Satz von Larmor
• Diamagnetismus
• Magnetisierung
• Das magnetische Moment des Elektrons: Spin
• Paramagnetismus
• Ferromagnetismus

Magnetische Eigenschaften der Materie

Kugeln im inhomogenen Magnetfeld

Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.

Versuch zur Vorlesung: Dia- und Paramagnetismus EM177

Materie im inhomogenen Magnetfeld zeigt zwei verschiedene Verhalten:

diamagnetisches Verhalten

Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt.

paramagnetisches Verhalten

Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen.

ferromagnetisches Verhalten

Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen. Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist.

Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus

Die Materie im inhomogenen Magnetfeld verhält sich wie wenn die Materie aus einem Kreisstrom bestände. Auf diesen Kreisstrom wirkt, je nach Umlaufsinn eine Kraft zum hohen oder zum niedrigen Feld. Das magnetische Moment der Kreisströme ist beim Diamagnetismus antiparallel zu $\vec B$. Beim Paramagnetismus und beim Ferromagnetismus zeigt das magnetische Moment in die Richtung von $\vec B$. Der Kreisstrom ist induziert, das heisst, dass seine Richtung von der von $\vec B$ abhängt. Die resultierende Kraft ist die Biot-Savart-Kraft. Sie ist proportional zum Produkt $\vec B \times d\vec\ell$. Wenn man die Richtung des Magnetfeldes umkehrt, wird auch $d\vec \ell$ umgekehrt. Die Richtung der Kraft ist als unabhängig von der Richtung von $\vec B$.

Wenn der Kreisstrom (die Materie) sich auf der Symmetrieachse eines rotationssymmetrischen inhomogenen Magnetfeldes befindet, ist

$$F_z = m_z \cdot \frac{\partial B_z(z,0)}{\partial z}$$ (4.101)

wobei $m_z$ das induzierte magnetische Moment des Kreisstromes ist.

Der Satz von Larmor

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 162])

Illustration zum Satz von Larmor

Wir hatten postuliert, dass das Verhalten der Materie in einem Gradienten eines Magnetfeldes durch atomare Kreisströme gegeben ist. Wenn wir ein Modell (nach der Quantenphysik nicht realistisch) eines Atoms betrachten, bei dem ein einzelnes Elektron auf einer Bahn mit dem Radius $r$ sich um den positiv geladenen Kern bewegt, ist der resultierende Strom

$$I = -e \frac{v}{2\pi r}$$ (4.102)

Der Betrag des magnetischen Momentes ist dann

$$\left\vert\vec m\right\vert = \pi r^2 I = \frac{1}{2} e\cdot v\cdot r$$ (4.103)

Die Wirkung eines äusseren Magnetfeldes wird berechnet, indem man betrachtet, wie ein einzelnes Atom auf ein von null anwachsendes äusseres Feld reagiert.

Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im Linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert.

Im Ausgangszustand ist die Zentripetalkraft $\vec F_0 = -m_ev^2/r$ die Coulombanziehung zwischen dem Elektron und dem Kern sowie durch die gemittelte Coulombabstossung durch die anderen Elektronen gegeben. Das anwachsende Magnetfeld hat die gleiche Wirkung wie beim Betatron: es entsteht ein tangentiales $\vec E$-Feld, das das Elektron beschleunigt. Wir setzen die $z$-Achse nach oben an. In einem rechtshändigen System ist dann

• das Magnetfeld: $-B$, Betrag: $B$
• die Geschwindigkeit: $-v$, Betrag: $v$
• die Zentripetalkraft: $-F_0$, Betrag: $F_0$
• das induzierte elektrische Feld: $E$, Betrag: $E$

Wir setzen diese Grössen ein, um vorzeichenrichtig zu rechnen. Aus dem Induktionsgesetz folgt

$$\oint\limits_{S(r)} \vec E \cdot d\vec r = 2\pi\cdot r\cdot... ...2 \cdot \frac{d -B(t)}{dt} = \pi r^2 \cdot \frac{d B(t)}{dt}$$ (4.104)

Dabei ist $\phi_B = (-B)\cdot A$ Wir erhalten also

$$E(t) =\frac{r}{2} \cdot \frac{d B(t)}{dt}$$ (4.105)

Die Beschleunigung des Elektrons (nicht-relativistisch) ist durch das zweite Newtonsche Axiom gegeben

$$m_e \frac{dv}{dt} = -e\cdot E = \frac{e \cdot r}{2} \cdot \frac{d B(t)}{dt}$$ (4.106)

Hier ist $m_E$ die Ruhemasse des Elektrons. Die Geschwindigkeitsänderung hängt also mit der Magnetfeldänderung wie folgt zusammen

$$dv = -\frac{e \cdot r}{2m_e} \cdot d B$$ (4.107)

Der gesamte Geschwindigkeitszuwachs des Elektrons ist also

$$\Delta v = -\frac{e \cdot r}{2m_e} \cdot B$$ (4.108)

wenn $B$ das Feld im Endzustand ist. Der Betrag der Geschwindigkeit hat also zugenommen. Nun bewirkt das äussere $\vec B$-Feld die Lorentzkraft

$$\vec F_L = -e \cdot (-v) \cdot (-B)$$ (4.109)

die, nach der rechten Hand-Regel zum Kreiszentrum zeigt. Die Zentripetalkraft ist im Endzustand durch

$$F = -m\frac{\left(-v+\Delta v\right)^2}{r}$$ (4.110)

Da $v\gg \Delta v$ ist, können wir nach Taylor entwickeln

$$F \approx -\frac{m_e}{r}\left(v^2-2 v\cdot \Delta v\right)$$ (4.111)

$$= -\frac{m_e}{r}\left(v^2+2 v\cdot \frac{e \cdot r}{2m_e} \cdot B\right)$$

$$= -\frac{m_e}{r}v^2 - e\cdot v\cdot B$$

$$= F_0 + F_L$$

Die Lorentz-Kraft bewirkt also, dass die Elektronenbahnen für kleine Geschwindigkeitsänderungen sich nicht ändern. Die Larmorwinkelgeschwindigkeit ist

$$\Omega \equiv \frac{\Delta v}{r} = \frac{e\cdot B}{2m_e}$$ (4.112)

und vektoriell geschrieben

Der Satz von Larmor gilt allgemein, auch bei beliebiger Orientierung von Magnetfeld und Bahnebene des Elektrons. Der Satz von Larmor bildet die Grundlage des Verständnisses des Diamagnetismus

Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel

Man kann den Satz von Larmor aus der Kreiseltheorie ableiten. Das Elektron ist, bei einer Bahn mit konstantem Radius, ein starrer Körper. Dieser Kreisel hat den Drehimpuls

$$\vec \ell = m \cdot \left(\vec r \times \vec v\right)$$ (4.113)

Das magnetische Moment des Kreisstromes ist nach Gleichung (4.108)

$$\vec m = -\frac{e}{2m}\vec \ell$$ (4.114)

Der Kreisel erfährt ein mechanisches Drehmoment

$$\vec M = \vec m \times \vec B$$ (4.115)

Der Drehimpulssatz bedeutet, dass

$$\frac{d\vec\ell}{dt}=\vec M=-\frac{e}{2m}\vec\ell \times \vec B = \frac{e}{2m}\vec B \times \vec \ell$$ (4.116)

Wir erhalten also eine Präzessionsbewegung des Drehimpuslvektors $\vec \ell$ um $\vec B$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec\Omega$

$$\frac{d\vec\ell}{dt}=\vec\Omega \times \vec \ell$$ (4.117)

Wir erhalten die

Diamagnetismus

Berechnung des Diamagnetismus

Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente der Elektronen exakt null.

$$\vec m_A = \sum\limits_{j}\vec m_j = 0$$ (4.118)

Man kann sich dies vereinfacht so vorstellen, dass jede Elektronenbahn von zwei gegenläufigen Elektronen besetzt ist. Ein diamagnetisches Atom hat deshalb, ohne äusseres $\vec B$-Feld eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Diese entsteht, weil sich die einzelnen Elektronenbewegungen über die Zeit ausmitteln.

Wenn ein $\vec B$-Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment $\vec m_A$, das zum Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der Ladungsdichte

$$\rho_{el} = -\frac{Z e}{(4/3)\pi R^3}$$ (4.119)

wobei $Z$ die Kernladungszahl und $R$ der Radius der Elektronenwolke ist.

Ein einzelner Kreisstrom

Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit

$$\Omega = \frac{e}{2m}B$$ (4.120)

Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom

$$\delta I = \rho_{el}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi \cdot v(r,\varphi)$$ (4.121)

mit

$$v(r,\varphi) = \Omega \cdot r \cdot \sin\varphi$$ (4.122)

Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment $\vec m_A$ entgegengesetzt zu $\vec\Omega$ und entgegengesetzt zu $\vec B$, hier also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische Moment ist

$$\delta m_A (r,\varphi)= \textrm{Fl{\uml a}che}\cdot\textrm{Strom} = \pi r^2 \sin^2\varphi\cdot \delta I$$ (4.123)

oder

$$\delta m_A (r,\varphi) = \pi r^2 \sin^2\varphi\cdot \rho_{el}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi \cdot v(r,\varphi)$$ (4.124)

$$= \pi r^2 \sin^2\varphi\cdot \rho_{el}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi \cdot \Omega \cdot r \cdot \sin\varphi$$

$$= \pi r^4 \sin^3\varphi \cdot \rho_{el}\cdot\Omega \cdot dr \cdot d\varphi$$

Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Integration über $r$ und $\varphi$ Er ist

$$\left\vert\vec m_A\right\vert = \int\limits_0^R\int\limits_0^\pi \delta m_A(r,\varphi)drd\varphi$$ (4.125)

$$= \pi\cdot\rho_{el}\cdot\Omega\cdot\int\limits_0^Rr^4\cdot dr\cdot\int\limits_0^\pi\sin^3\varphi\cdot d\varphi$$

$$= \pi\cdot\rho_{el}\cdot\Omega\cdot\int\limits_0^Rr^4\cdot dr\cdot \frac{4}{3}$$

$$= \pi\cdot\rho_{el}\cdot\Omega\cdot\frac{R^5}{5}\cdot \frac{4}{3}$$

$$= \pi\cdot\frac{Z\cdot e}{\frac{4\pi}{3}R^3}\cdot\Omega\cdot\frac{R^5}{5}\cdot \frac{4}{3}$$

$$= \pi\cdot\frac{Z\cdot e}{\frac{4\pi}{3}R^3}\cdot\frac{eB}{2m_e}\cdot\frac{R^5}{5}\cdot \frac{4}{3}$$

$$= \frac{Z\cdot e^2 \cdot B\cdot R^2}{10 m_e}$$

Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment

$$\vec m_A = - \frac{Z\cdot e^2\cdot R^2}{10 m_e}\vec B$$ (4.126)

Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.

Magnetisierung

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 170])

Atomare Kreisströme

Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere magnetische Moment pro Volumeneinheit

$$\vec M(\vec R) = \frac{\sum_{\Delta V}\vec m_{A_i}}{\Delta V}$$ (4.127)

Dabei ist $\vec m_{A_1}$ das magnetische Moment eines Atoms oder einer Atomgruppe, wobei $\Delta V$ ein geeignetes Volumenelement ist. Eine Probe heisst homogen magnetisiert, wenn $\vec M(\vec r)$ unabhängig vom Probenort ist.

Das externe Magnetfeld soll senkrecht zur Bildebene des obigen Bildes sein. Die atomaren Kreisströme müssen dann in der Bildebene liegen. Betrachten wir ein Flächenelement $d\vec a$, das senkrecht zur Bildebene liegt, dann stellen wir fest, dass alle Kreisströme zweimal durch dieses Ebenenelement gehen, einmal in positiver und einmal in negativer Richtung. Bis auf die Ströme an den Rändern heben sich alle Ströme auf. Das heisst, dass das mittlere Stromdichtefeld

$$\vec i = 0$$ (4.128)

ist, da $dI(a)=\vec i \cdot d\vec a$. Nur die Ströme am Rand, die Oberflächenströme mit der Stromdichte $j$, können deshalb die Quelle der beobachteten makroskopischen Magnetisierung sein. Für eine Probe der Höhe $\Delta z$ ist der gesamte Strom an der Oberfläche

$$\Delta I = \Delta z \cdot j$$ (4.129)

Diese makroskopischen Oberflächenströme erklären die experimentellen Beobachtungen. Da für ein diamagnetisches Atom $\vec m$ entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist, und da damit auch die makroskopische Magnetisierung $\vec M$ entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist, wird diese Probe wie beobachtet vom Magnetfeldgradienten abgestossen.

Das magnetische Feld aller Kreisströme muss identisch mit dem externen Feld $\vec B$ sein. Nun ist aber das magnetische Moment eines Kreisstromes in genügender Entfernung nicht von der Fläche dieses Stromes abhängig. Deshalb muss die Summe aller einzelner atomarer magnetischer Momente dem magnetischen Moment des Oberflächenstromes gleich sein.

$$m_a \cdot n\cdot A\cdot\Delta z = A\cdot I = A\cdot j\cdot \Delta z$$ (4.130)

wobei $n$ die Volumendichte der Atome ist. Der Oberflächenstrom

$$j = m_a \cdot n = M$$ (4.131)

das heisst, die Oberflächenstromdichte ist gleich der Magnetisierung.

Das magnetische Moment des Elektrons: Spin

Elektronenspin

Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem Drehimpuls $\vec s$ (Spin) herrührt. Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes magnetisches Moment $\vec m_s$. Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse einen festen Betragswert

$$s_z = \frac{1}{2} \frac{h}{2\pi}=\frac{1}{2}\hbar$$ (4.132)

hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch

$$h = 6.63 \times 10^{-34}Js$$ (4.133)

oder mit $2\pi\hbar = h$

$$\hbar \approx 10^{-34}Js$$

ist. Nach der Quantenmechanik gilt

$$\vec m_s = -\frac{e}{m}\vec s$$ (4.134)

Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre $\vec m_s = -(1/2)\frac{e}{m}\vec s$. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons ist

$$\left\vert m_{s,z}\right\vert=\frac{e}{2m}\hbar \equiv 1 \mu_B = 0.927\times10^{-23}A\cdot m^2$$ (4.135)

auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton.

Paramagnetismus

Materialien

Übungsblatt 07 vom 30. 01. 2003 (HTML oder PDF)

Folien zur Vorlesung am 30. 01. 2003 (PDF)

Bei paramagnetischen Atomen hebt sich das magnetische Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches Moment nicht vollständig auf.

$$\vec m_A \neq 0$$ (4.136)

Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die Grössenordnung eines Bohrsche Magneton $1\mu_B$. Ohne äusseres Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die einzelnen atomaren magnetischen Momente ungeordnet sind. Im äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente teilweise, da die thermische Brownsche Bewegung, temperaturabhängig, für Unordnung sorgt.

Curie-Gesetz

Die maximal mögliche Magnetisierung bei der Temperatur $T$ ist

$$M_S = \frac{1}{3}\frac{m_A B}{k_bT}$$ (4.137)

Dies ist die maximale Magnetisierung nach dem Curie-Gesetz. Für kleine Magnetfelder gilt

$$M = \frac{1}{3}\frac{m_A B}{k_bT}\cdot M_S$$ (4.138)

Ferromagnetismus

Versuch zur Vorlesung: Ferromagnetismus - Modellversuch EM175

Ferromagnetische Atome haben genau so wie paramagnetische Atome ein permanentes magnetisches Moment $\vec m_A$. Im Gegensatz zu den Paramagneten bleibt jedoch auch ohne äusseres Magnetfeld ein magnetisches Moment übrig. Die Magnetisierung als Funktion des Magnetfeldes kann mit der unten stehenden Apparatur gemessen werden.

Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis.

Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis

$$-A\cdot\frac{dB(t)}{dt}-\frac{Q(t)}{C}= R\cdot I_2(t)$$ (4.139)

Dabei ist $Q(t)$ die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche Ableitung der Ladung.

$$-\frac{A}{R}\cdot\frac{dB(t)}{dt}= \frac{Q(t)}{RC}+ \frac{dQ(t)}{dt}$$ (4.140)

Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom $I_1(t)$, der die Frequenz $\omega$ hat. Also ist auch $Q(t)$ eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass $dQ(t)/dt \approx \omega Q(t)$ ist. Wenn $1/RC \ll \omega$ ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt

$$Q(t) = const\cdot B(t)$$ (4.141)

und damit für die Spannung am Kondensator

$$U_C(t) = Q(t)/C \propto B(t)$$ (4.142)

Der Ausgangsstrom selber erzeugt das anregende Feld.

Hysteresekurve eines Ferromagneten

Diese Abbildung zeigt das skizzierte Resultat des obigen Versuches. Interessant ist, dass bei $I=0$, also ohne anregendes Magnetfeld, trotzdem ein Feld $B \neq 0$ gemessen wird. Diese Feld kann nur von einer nichtverschwindenden Magnetisierung ohne äusseres Feld herrühren. Diese nichtverschwindende Magnetisierung $\vec M \neq 0$ ist das Kennzeichen eines Ferromagneten.

Andererseits gibt es zwei Punkte, bei denen das resultierende Magnetfeld null ist, obwohl ein äusseres Magnetfeld angelegt wurde. Dies kann nur sein, wenn die Magnetisierung im Material das äussere Feld gerade kompensiert.

Weiter nimmt für sehr grosse anregende Felder das resultierende Magnetfeld kaum mehr zu. Man spricht von einer Sättigung der Magnetisierung.

Versuch zur Vorlesung: Magnetische Bezirke EM178

Ferromagnetische Domänen

Das beobachtete Verhalten kann mit ferromagnetischen Domänen, auch Weisssche Bezirke genannt, erklärt werden. Das Material besteht, wie oben skizziert, aus einer grossen Zahl kleiner Bereiche, die jeder seine eigene Orientierung der Magnetisierung haben. Die gemittelte Magnetisierung hängt davon ab, wie zufällig die Domänen verteilt sind.

Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld

Wird ein äusseres Magnetfeld angelegt, beginnen die Domänen, die bezüglich des externen Feldes richtig orientiert sind, zu wachsen, die anderen schrumpfen. Dei makroskopische Magnetisierung wächst, hinkt aber hinter der Anregung zurück.

Bei der Änderung der Grösse der Domänen müssen Domänenwände verschoben werden. Dies kostet Energie und zeigt sich als Hysterese. Dieser Energieverlust bei der Grössenänderung stabilisiert aber auch die Domänen.

Löschen des remanenten Magnetismus

Um die makroskopische Orientierung der Domänen zum Verschwinden zu bringen, muss man die ferromagnetische Substanz langsam aus einem Wechselfeld entfernen. Das Bild oben zeigt die resultierenden Hysteresekurven. Die Hystereseschlaufe wird so quasikontinuierlich auf einen Punkt, den Ursprung des Koordinatensystems zusammengezogen.

Anwendung: Entmagnetisieren von Schraubenziehern, Löschen von Tonbändern.