Up: Grundkurs IIIb für Physiker
Übungsblatt 03
Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)
18. 11. 2002 oder 25. 11. 2002
Elektrostatisches Potential,
- Zwei identische, ungeladene, metallische Kugeln seien durch einen Draht verbunden (Abbildung a).
Zwei ähnliche leitende Kugeln mit gleich großen, aber entgegengesetzten Ladungen werden in die
Positionen gebracht, die Abbildung b) gezeigt,
- Zeichnen Sie die elektrischen Feldlinien zwischen den Kugeln l und 3 sowie die zwischen den
Kugeln 2 und 4.
- Was kann man über die Potentiale , , , und der Kugeln aussagen?
- Zeigen Sie, daß die Endladung auf jeder Kugel null sein muss, wenn man die Kugeln 3 und 4
mit einem Draht verbindet.
- Nach dem Bohrschen Atommodell bewegt sich das Elektron des Wasserstoffatoms auf einer kreisförmigen
Bahn mit dem Radius um das Proton,
- Stellen Sie einen Ausdruck für die kinetische Energie des Elektrons
als Funktion von auf, indem Sie die auf das Elektron nach dem Coulomb-Gesetz
einwirkende Kraft gleich setzen. Hierbei ist die Zentripetalbeschleunigung.
Zeigen Sie, daß bei jedem Abstand die kinetische
Energie halb so groß ist wie die potentielle Energie,
- Es sei
der Radius der
Elektronenbahn im Wasserstoffatom. Berechnen Sie
sowie
und die Gesamtenergie
in Elektronenvolt. Die Energie , die nötig ist, um das Elektron aus dem
Wasserstoffatom zu entfernen, heißt lonisierungsenergie.
- Welche Kapazität hat der Plattenkondensator in der Abbildung?
- Die Platten eines Kondensators haben eine Fläche von und einen Abstand von .
Der Kondensator sei auf eine
Spannung von aufgeladen. Wie groß ist
- die elektrische Feldstärke,
- die Energiedichte zwischen den Platten?
- Bestimmen Sie die gespeicherte Energie, indem Sie das Ergebnis von (4b) mit dem
Volumen zwischen den Platten multiplizieren.
- Wie groß ist die Kapazität?
- Berechnen Sie die gespeicherte Energie als
und vergleichen Sie das
Ergebnis mit dem Resultat aus Teil (4c).
- (freiwillige Zusatzaufgabe) Berechnen Sie die Ersatzkapazität von nach der unten stehenden Schaltung.
- Ein -Kondensator werde auf 3,0 kV aufgeladen, dann von der
Spannungsquelle getrennt und mit einem ungeladenen -Kondensator verbunden
- Wie verteilen sich die Ladungen?
- Vergleichen Sie die elektrische potentielle Energie in beiden Kondensatoren vor dem
Verbinden mit der nach dem Verbinden.
- Drei Kondensatoren seien, wie in der Abbildung gezeigt, miteinander verbunden. Wie gross ist
die Kapazität zwischen den Punkten und ?
- Wie groß ist die Energiedichte in einem
elektrischen Feld, dessen Feldstärke der Durchschlagsfestigkeit von Luft entspricht ()?
-
- Berechnen Sie für die Anordnung in der Abbildung mit , und
die Ersatzkapazität,
- Die einzelnen Kondensatoren haben eine Durchschlagsfestigkeit ,
und . Welche Spannung kann dann maximal zwischen den Punkten und angelegt werden, ohne daß
Durchschläge auftreten?
-
- Die Kugeln und induzieren Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens auf den Kugeln und .
Daher haben die Feldlinien folgenden Verlauf:
- Weil die Kugeln und leitend miteinander verbunden sind, haben sie gleiches Potential.
Die positiv geladene Kugel hat das höchste Potential und die negativ geladene das niedrigste Potential.
Also ist
. Die
Gleichheitszeichen gelten, wenn ist. Die Potentiale der Kugeln und haben
einen mittleren Wert, weil die auf ihnen induzierten Ladungen jeweils nur
einen Bruchteil von betragen.
- Wenn die Kugeln und leitend miteinander verbunden werden, dann
haben auch sie gleiches Potential. Wegen
müssen in diesem Falle
alle vier Kugeln gleiches Potential haben. Das ist nur bei möglich.
- Hier ist nach dem zweiten Newtonschen Axiom bzw.
Daraus folgt
Die potentielle Energie ist
Damit ist
Dies gilt für alle .
- Mit
und
ist die kinetische Energie
Damit erhalten wir
und
Also sind nötig, um ein Wasserstoffatom zu ionisieren.
- Dieser Kondensator ist eine Kombination von drei Kondensatoren, die jeweils die Fläche haben.
Die Kondensatoren mit den Dielektrizitätszahlen und sind in Reihe
geschaltet. Sie haben eine Dicke von . Parallel dazu ist der Kondensator mit und
der Dicke .
mit
Zusammen ergibt sich mit
- Sei , und
- und damit
- Die Energiedichte
-
-
-
- Die dargestellte Schaltung ist die zweidimensionale Projektion einer vierdimensionalen Schaltung,
bei der jede Kante eines Würfels die gleiche Kapazität trägt. Man nummeriert alle Ecken eines Würfels in
der -ten Dimension mit 0 oder 1. Wir erhalten also -stellige Zahlen. Zwei Ecken sind miteinander
verbunden, wenn sich die Zahl ihrer Einsen um eins unterscheidet.
Wir erhalten die folgende Eckenzahl:
- Alles 0 : 1 Ecke
- Eine 1 : n Ecken
- Zwei 1 : Ecken
- Drei 1 :
Ecken
Allgemein: Es gibt
Ecken eines -dimensionalen Würfels mit Einsen.
Die zweite Frage, die es zu beantworten gilt, ist: Auf wieviele Arten kann eine 1 hinzugefügt werden?
- Alles 0 : n Arten
- Eine 1 : (n-1) Arten
- Zwei 1 : (n-2) Arten
Allgemein: Wenn Einsen schon gesetzt sind, kann man auf Arten noch eine 1 dazufügen.
Nun sind alle Ecken mit der gleichen Anzahl 1 äquivalent bezüglich Symmetrieoperationen um die Achse von
nach . Sie sind deshalb auf gleichem Potential.
Die Gesamtkapazität ist also die Serieschaltung von
- Kapazitäten von der Startecke aus
- Kapazitäten von Ecken mit einer 1
-
Kapazitäten von Ecken mit zwei 1
Allgemein:
Kapazitäten.
Das Resultat ist also
oder
In unserem Falle haben wir
Bemerkung: Dieses Verfahren lässt sich auch auf Widerstände und Spulen anwenden.
- Mit und
- Ladung auf :
Wenn die beiden Kondensatoren verbunden werden, bleibt erhalten.
Die neue Spannung muss an beiden gleich sein.
also
oder
- Die Energie vorher ist
Die Spannung nachher ist
Die Energie nachher ist
Wo ist die Energie hin? Sie ist in Form von Strahlung und Joulscher Wärme in den Verbindungsdrähten
dissipiert.
-
- Wenn wir in der vorherigen Aufgabe mit ersetzen, erhalten wir das Resultat für diese
Aufgabe.
-
- An liegt die gesamte Spannung Also ist
Die Ladung der beiden Kondensatoren ist gleich, also teilt sich die Spannung proportional
zu den Kehrwerten der Kondensatoren auf. Die Kapazität der Serieschaltung ist
Also
Also
Die maximale Spannung ist . Das schwächste Bauteil in der Schaltung ist .
Übungsblatt 03
Grundkurs IIIb für Physiker
This document was generated using the
LaTeX2HTML translator Version 99.2beta8 (1.46)
Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996,
Nikos Drakos,
Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999,
Ross Moore,
Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.
The command line arguments were:
latex2html uebungsblatt03
The translation was initiated by marti on 2002-11-25
Up: Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm