Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)
2. 12. 2002 oder 9. 12. 2002
Elektrische Eigenschaften der Materie, Ströme,
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Das -Teilchen ist zweifach geladen.
Da nur jedes 2. -Teilchen die andere Kondensatorplatte erreicht und sie positiv lädt, fliesst ein Strom von
Dieser Strom wirkt analog zum Problem des zu ladenden Kondensators. Da die Halbwertszeit sehr gross ist, vernachlässigen wir sie
viel kleiner als die Halbwertszeit.
Berücksichtigen wir die Halbwertszeit, dann ist in guter Näherung
und
Bei Berücksichtigung der Halbwertszeit erhalten wir
(1) |
(2) |
Zudem muss das -Feld senkrecht auf den zylindrischen Mantelflächen zwischen Leiter und Elektroden
stehen (Äquipotentialflächen). Dies bedeutet insbesondere das Verschwinden
der -Komponente des -Feldes. Somit drängt sich der Ansatz
auf. (3 ) bedeutet das Verschwinden von überall im Innern des Leiters. Wir haben also ein zweidimensionales Potentialproblem vor uns (unabhängig von der Plattendicke !). Die zylindrischen Mantelflächen zwischen Leiter und Elektroden sind geladen, z.B. positiv oben, negativ unten. Da , können wir die Beeinflussung der Ladungsverteilung oben durch die Ladungen unten vernachlässigen. An den Elektroden gilt
Aus (5
) folgt
Analog findet man
Das Linienintegral berechnet sich mit (6
) und (7
) zu
(Im letzten Schritt wurde verwendet.)
Der totale Strom wird durch Integration über die Elektrodenflächen bestimmt.
(9) |
Mit Gleichung (4) erhalten wir
Mit bekommen wir für den Widerstand
(11) |
Wir erhalten
(12) |
Es ist interessant zu bemerken, dass das Feldlinienbild des Stromdichtefeldes dieses Problems identisch ist mit demjenigen des -Feldes zweier unendlich langer, homogen geladener Drähte.
Wir haben uns hier mit der stationären Stromverteilung im homogenen Ohmschen Leiter beschäftigt. Die Resultate bleiben auch für ''Quasistationäre'' Verhältnisse gültig, z.B. für zeitabhängige Wechselspannungen, solange die Frequenzen nicht zu gross sind (d.h. unter Vernachlässigung der Induktionseffekte).
Zwischen und messe man den Widerstand für eine sehr lange Leiter.
Aus der Tatsache, dass überhaupt etwas Endliches herauskommt, d. h. dass der Widerstand konvergiert, folgt,
dass man oben ein weiteres Glied anlöten kann, ohne zu ändern. Die zu berechnende Schaltung ist:
Nur die Lösung mit ist physikalisch sinnvoll, so dass wir
berechnet man, indem man diese Formel wiederholt anwendet. Wir benützen die Tatsache, dass der Widerstand unserer unendlich langen Leiter konstant ist.
oder
ist dann .
Anwendungen der Techniken aus dieser Aufgabe und der damit entwickelten Technik:
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Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.
The command line arguments were:
latex2html uebungsblatt04
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