Up: Grundkurs IIIb für Physiker

Übungsblatt 05
Grundkurs IIIb für Physiker

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

16. 12. 2002 oder 13. 1. 2003

Aufgaben für die Übungsstunden

Elektrische Eigenschaften der Materie, Ströme,

In einem geschlossenen kreisförmigen Leiter (Kreisradius ) fliesse der Strom .
1. Berechnen Sie die allgemeine Gleichung für $\vec B$ im Punkt , wobei die -Achse die Senkrechte auf die Kreisebene durch den Kreismittelpunkt ist (der Durchstosspunkt sei .
2. Berechnen Sie $\vec B$ auf der -Achse.
3. Berechnen Sie $\vec B$ auf der Ebene für $y \ll R$ . Verwende eine Serienentwicklung bis zum ersten nicht verschwindenden Glied.
4. Berechnen Sie $\vec B$ für einen allgemeinen Punkt unter Verwendung einer vernünftigen Serienentwicklung.
Zwei der Kreisströme aus der Aufgabe 1 sollen parallel zueinander im Abstand so angeordnet sein, dass ihre Rotationssymmetrieachsen zusammenfallen. Definiere dazu ein Koordinatensystem, bei dem die -Achse die Symmetrieachse ist, mit dem Nullpunkt in der Mitte zwischen den beiden Kreisströmen.
1. Stellen Sie eine Gleichung für $\vec B$ auf.
2. Lösen Sie die Gleichung für den Symmetriepunkt.
3. Geben Sie eine Näherungslösung für die Umgebung des Symmetriepunktes an.
Eine Elektrolok Re6/6 hat sechs Fahrmotoren die je auf eine Achse wirken. Sie hat eine Leistung von . Die Motoren werden mit einer Spannung von angesteuert. Sie sollen als Leiterschlaufen mit einer Länge von (parallel zur Drehachse) und einem Abstand von von der Drehachse modelliert werden. Die Motoren laufen mit der -fachen Drehzahl wie die Antriebsräder, die einen Durchmesser von haben. Die Zugkraft ist
1. Welches Drehmoment wirkt an jeder Achse?
2. Welches Drehmoment wirkt an jedem Motor?
3. Berechnen Sie aus den Anschlusswerten den Motorstrom.
4. Wie gross muss die magnetische Induktion $\vec B$ sein?
5. Wie viele Leiterwindungen wird der Anker haben (machen Sie realistische Annahmen)?
In einer Leitung, die parallel zur -Achse liegt, befindet sich flüssiges Natrium. Entlang der -Achse wird die magnetische Induktion $\vec B$ angelegt. Entlang der -Achse fliesst der Strom . Was soll die Anordnung bewirken?

Hausaufgaben

In einem Synchrotron (kreisförmige Anordnung mit bewegen sich Elektronen mit .
1. Berechnen sie die homogene magnetische Induktion , die die Elektronen auf der Kreisbahn hält.
2. Wie muss $\vec B$ angeordnet sein?
Eine Metallscheibe mit dem Radius sei auf einer reibungsfreien Achse montiert. Durch die Achse und die Scheibe kann ein Strom fliessen, der am Rand der Scheibe über einen Schleifkontakt zugeführt wird. Parallel zur Scheibenachse verlaufe ein homogenes Magnetfeld mit . Bei einer Stromstärke von rotiert die Scheibe mit einer konstanten Kreisfrequenz. Wie gross ist die Reibungskraft am Schleifkontakt?
Zeigen Sie, dass der Radius der Bahn eines geladenen Teilchens in einem Zyklotron proportional zur Quadratwurzel der schon vollendeten Umläufe ist.
Beryllium hat eine Dichte von und eine molare Masse von . Ein Berylliumstab der Dicke und der Breite werde von einem Strom von durchflossen. Der Stab befindet sich in einem Magnetfeld von senkrecht zum Stab (parallel zur Dicke). Es wird eine Hall-Spannung von gemessen.
1. Wie gross ist die Ladungsträgerdichte in Beryllium?
2. Wie gross ist die Anzahl Atome pro ?
3. Wie gross ist die Anzahl der freien Elektronen pro Gitteratom?

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. - Wir rechnen für einen Punkt in der -Ebene. Das problem ist rotationssymmetrisch um die -Achse.
  - Beobachtungspunkt
  - Punkt auf Leiterschleife $P' = (0;R\sin(\phi);R\cos(\phi))$
  - $\vec \rho = (x;y-R\sin(\phi);-R\cos(\phi))$
  - $d\vec \ell = (0;R\cos(\phi);-R\sin(\phi))d\phi$
  - $d\vec \ell \times \vec \rho = (R(y\sin(\phi)-R);-Rx\sin(\phi);-Rx\cos(\phi))d\phi$
  - $B_x = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R(y\sin(\phi)-R)}{\left(x^2+y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}}d\phi$
  - $B_y \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{-Rx\sin(\phi)}{\left(x^2+y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}}d\phi$
  - $B_\phi = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{-Rx\cos(\phi)}{\left(x^2+y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}}d\phi$
2. - Die Bestimmungsgleichung wird
  - $B_x = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{-R^2}{\left(x^2+R^2\right)^{(3/2)}}d\phi$
  - $B_y = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{-Rx\sin(\phi)}{\left(x^2+R^2\right)^{(3/2)}}d\phi$
  - $B_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{-Rx\cos(\phi)}{\left(x^2+R^2\right)^{(3/2)}}d\phi$
  - Die Integrale für und haben eine Winkelfunktion mit der Potenz 1: deshalb sind sie null.
  - $B_x = -\frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{\left(x^2+R^2\right)^{(3/2)}}$
  - Das resultierende Magnetfeld hat also nur eine -Komponente und keine radiale Komponente.
3. - Die Serienentwicklung für und $y \ll R$
  - $B_x = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R(y\sin(\phi)-R)}{\left(y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}}d\phi$
  - $B_y = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{0}{\left(y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}}d\phi=0$
  - $B_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{0}{\left(y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}}d\phi=0$
  - $B_x = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{ y\sin \phi -R }{R^2} \left( 1+3\,{\frac {y\sin \phi }{R}} \right) d\phi$
  - $B_x = {\frac {-\mu_0 I \left( 2\,{R}^{2}-3\,{y}^{2} \right) }{4 R^{3} }}$
  - Das resultierende Magnetfeld hat also nur eine -Komponente und keine radiale Komponente.
4. - Wir haben
  - $B_x = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\left( y\sin\phi -R \right)}{R^... ...5y {x}^{2}\sin\phi} {2 {R}^{3} }}-{\frac {3{x}^{2}}{2 {R}^{2}}} \right) d\phi$
  - $B_y = -\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{x\sin \phi}{R^2} \left[ {\frac ... ...ac {15y{x}^{2}\sin\phi }{2R^3 }}- {\frac {3{x}^{2}}{ 2{R}^{2}}} \right] d\phi$
  - $B_z = -\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi} \frac{x\cos \phi }{R^2} \left({\frac... ...frac {15y{x}^{2}\sin\phi }{2R^3}}-{\frac {3{x}^{2}}{2 {R}^{2}}} \right) d\phi$
  - Diese Integrale ergeben
  - $B_x =\frac{\mu_0 I}{8}{\frac { \left( 6\,{x}^{2}{R}^{2}+6\,{y}^{2}{R}^{2 }-15\,{x}^{2}{y}^{2}-4\,{R}^{4} \right) }{ R^5}}$
  - $B_y = \frac{3\mu_0 I}{8}{\frac {xy \left( -2\,{R}^{2}+5\,{x}^{2} \right) } { R^5}}$
  - Wir sehen also, dass in diesem Falle das Magnetfeld eine Komponente in die -Richtung und eine in radiale Richtung hat.
1. - Beobachtungspunkt
  - Punkte auf Leiterschleife $P_1' = (-D/2;R\sin(\phi);R\cos(\phi))$ und $P_1' = (D/2;R\sin(\phi);R\cos(\phi))$
  - $\vec \rho_1 = (x+D/2;y-R\sin(\phi);-R\cos(\phi))$ und $\vec \rho_2 = (x-D/2;y-R\sin(\phi);-R\cos(\phi))$
  - $d\vec \ell = (0;R\cos(\phi);-R\sin(\phi))d\phi$
  - $d\vec \ell \times \vec \rho_1 = (R(y\sin(\phi)-R);-R(x+D/2)\sin(\phi);-R(x+D/2)\cos(\phi))d\phi$ und
    $d\vec \ell \times \vec \rho_1 = (R(y\sin(\phi)-R);-R(x-D/2)\sin(\phi);-R(x-D/2)\cos(\phi))d\phi$
  - $B_x = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\left[ \frac{R(y\sin(\phi)-R)}{\left((... ...n(\phi)-R)}{\left((x-D/2)^2+y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}} \right]d\phi$
  - $B_y = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\left[ \frac{-R(x+D/2)\sin(\phi)}{\lef... ...\sin(\phi)}{\left((x-D/2)^2+y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}} \right]d\phi$
  - $B_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\left[ \frac{-R(x+D/2)\cos(\phi)}{\lef... ...\cos(\phi)}{\left((x-D/2)^2+y^2+R^2-2Ry\sin(\phi)\right)^{(3/2)}} \right]d\phi$
2. - Am Symmetriepunkt ist und
  - $B_x = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\left[ \frac{-R^2}{\left(D^2/4+R^2\right)^{(3/2)}}+ \frac{-R^2}{\left(D^2/4+R^2\right)^{(3/2)}} \right]d\phi$
  - $B_y = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\left[ \frac{-R(D/2)\sin(\phi)}{\left(... ...(3/2)}}+ \frac{R(D/2)\sin(\phi)}{\left(D^2/4+R^2\right)^{(3/2)}} \right]d\phi$
  - $B_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi}\left[ \frac{-R(D/2)\cos(\phi)}{\left(... ...(3/2)}}+ \frac{R(D/2)\cos(\phi)}{\left(D^2/4+R^2\right)^{(3/2)}} \right]d\phi$
  - und haben je eine ungradzahlige Potenz einer Winkelfunktion. Also ist
  - $B_x = \frac{-{\mu_0 I}R^2}{\left(D^2/4+R^2\right)^{(3/2)}}$
3. - Die Reihenentwicklung bis zur ersten nicht verschwindenden Ordnung ergibt
  - $B_x = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi} \frac{16R\left( \sin\left( \phi\right) y-R\right) }{\left( 4{R}^{2}+{D}^{2}\right) ^{3/2}}$
    $\left\{ 1+{\frac{12R\sin\left( \phi\right) y}{\left( 4{R} ^{2}+{D}^{2}\right) }}+\right.$
    $\left. \frac{{x}^{2}}{\left( 4{R}^{2}+{D }^{2}\right) }\left[ \left( {-6}+{\fr... ...rac{7{D}^{2}}{\left( 4{R}^{2}+{D}\right) ^{2}}}\right) \right] \right\} d\phi$
  - $B_y = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi} -\frac{8R\sin\left( \phi\right) \left( 2x-D\right) }{\left( 4{R}^{2}+{D}^{2}\right) ^{3/2}}$
    $\left. \frac{{x}^{2}}{\left( 4{R}^{2}+{D }^{2}\right) }\left[ \left( {-6}+{\fr... ...rac{7{D}^{2}}{\left( 4{R}^{2}+{D}\right) ^{2}}}\right) \right] \right\} d\phi$
  - $B_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi} -\frac{8R\cos\left( \phi\right) \left( 2x+D\right) }{\left( 4{R}^{2}+{D}^{2}\right) ^{3/2}}$
    $\left\{ 1+{\frac{12R\sin\left( \phi\right) y}{\left( 4{R} ^{2}+{D}^{2}\right) }}+\right.$
    $\left. \frac{{x}^{2}}{\left( 4{R}^{2}+{D }^{2}\right) }\left[ \left( {-6}+{\fr... ...rac{7{D}^{2}}{\left( 4{R}^{2}+{D}\right) ^{2}}}\right) \right] \right\} d\phi$
  - Die Lösungen sind
  - $B_x = {\frac{-8\mu_{0}{I}{R}^{2}}{\left( 4{R}^{2}+{D}^{2}\right) ^{11/2}}\cdot}$
    $\left[ 256{R}^{8}-1200{y}^{2}{x}^{2}{R}^{2}{D}^{2}+96{R} ^{4}{D}^{4}-360{y}^{2}{x}^{2}{D}^{4}-384{y}^{2}{R} ^{6}+256{R}^{6}{D}^{2}\right.$
    $+192{x}^{2}{R}^{4}{D}^{2}+16{R}^{2}{D} ^{6}-384{x}^{2}{R}^{6}+{D}^{8}-72{y}^{2}{R}^{2}{D}^{4}$
    $\left. +168{x}^{2}{R}^{2}{D}^{4}+24{x}^{2}{D} ^{6}+960{y}^{2}{x}^{2}{R}^{4}-6{y}^{2}{D}^{6}-288{y}^{2}{R} ^{4}{D}^{2}\right]$
  - $B_y=\frac{192\mu_{0}{I}x{R}^{2}y}{\left( 4{R}^{2}+{D} ^{2}\right) ^{11/2}}\cdot$
    $\left[ 7{R}^{2}{D}^{4}+8{R}^{4}{D }^{2}+{D}^{6}-15{x}^{2}{D}^{4}-50{x}^{2}{R} ^{2}{D}^{2}-16{R}^{6}+40{x}^{2}{R}^{4}\right]$
1. - Die Anfahrzugkraft ist und verteilt sich auf 6 Achsen.
  - Pro Achse ist die Zugkraft
  - Die Räder haben Durchmesser.
  - das Drehmoment pro Achse ist
2. Da der Motor sich mal schneller als die Achse dreht, ist das Drehmoment am Motor $M_{Motor} = M/2.667 = 10504 Nm$
3. - Die Gesamtleistung ist
  - Die Leistung pro Motor ist
  - Aus $P=U\cdot I$ folgt
4. - Aus der Vorlesung: das magnetische Moment einer Leiterschleife ist maximal $m = a\cdot b\cdot I$
  - Das Drehmoment ist $M = m\cdot B \sin\phi$
  - Also ist $B = \frac{M}{m\sin\phi}$
  - Wir setzen $\sin\phi = 0.7$ (ein guter Mittelwert)
  - also: bei einer Leiterschlaufe
5. Nehmen wir an, wir hätten 50 Windungen, dann wäre und , realistische Grössen.
Die Elektronen werden durch die Lorentz-Kraft in Richtung der Röhre abgelenkt. Da sie mit den Natriumatomen stossen, übertragen sie einen Impuls in Richtung der Röhre und pumpen so das flüssige Metall.

Lösungen Hausaufgabe

1. - Die Masse der Elektronen ist: $m(v) = m_0 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$ oder $m(0.999c) = 9.1\times 10^{-31} kg \left(1-\frac{0.999^2c^2}{c^2}\right)^{-1/2} = 9.1\times 10^{-31} kg\times 22.366 = 2\times 10^{-29} kg$
  - Zentripetalkraft $F_z = m(v)\frac{v^2}{r} = 2\times 10^{-29} kg \frac{0.999^2 c^2}{10000m} = 1.8281 \times 10^{-16} N$
  - Die Zentripetalkraft muss gleich der Lorentzkraft sein, also
  - $B = \frac{F_z}{ev} = \frac{1.8281 \times 10^{-16} N}{1.6\times 10^{-19}C\cdot 0.999\cdot c}=3.8124\times 10^{-6} N$
  - Da die Magnete nicht auf der ganzen Länge des Synchrotrons verteilt sind, sondern ein Polygon bilden, sind grössere Magnetfelder nötig.
2. $\vec B$ muss senkrecht zur Ringebene stehen.
Fliesst der Strom durch eine Scheibe in einem Magnetfeld, so wirkt die Kraft $F = I\ell B = IRB$ Die Kraft ist gleichmässig über die Scheibe vom Rand bis zur Achse verteilt. Daher ist das von ihr verursachte Drehmoment $M = \frac{RF}{2} = I R^2 B/2$ . Die Reibungskraft wirkt nur am Radius . Also ist und damit
Wenn die Spannung an den Elektroden ist, dann gewinnt ein Teilchen der Ladung bei jedem Umlauf die Energie . Nach Umläufen hat das Teilchen die kinetische Energie $E_{kin} = 2 N q U$ . Mit (Aus Zentripetalkraft und Lorentzkraft) und $v = \sqrt{2E_{kin}}/m$ folgt $r = 2(NmqU)^{1/2}/qB$ folgt die Behauptung.
1. $n= IB/(edU_H) =2.42\times 10^{29}/m^3$
2. Die Zahlendichte der Atome ist die Dichte, geteilt durch die molare Masse $\rho_n = 1830 \frac{kg}{m^3}/(9.01 kg/kmol) = 203 kmol/m^3= 203000mol/m^3$ . Multipliziert mit der Avogadrozahl $N_A = 6.022\times 10^{23} /mol$ ergibt $\rho_n = 1.22\times 10^{29} /m^3$
3. Die Division der beiden Resultate ergibt $n/\rho_n = 1.98$ Elektronen pro Atom.