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Betatron

Dieser Stoff wurde am 3. 2. 2005 behandelt

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Betatron (Versuchskarte EM167)

Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem zeitabhängigen $ \vec{B}$-Feld nach $  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} 
\vec{E}= -\partial \vec{B}/\partial t$ auch ein zeitabhängiges $ \vec{E}$-Feld existiert.


\includegraphics[width=0.7\textwidth]{magnetismus-016}
Skizze eines Betatrons


Nach dem Induktionsgesetz $  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} 
\vec{E}= -\partial \vec{B}/\partial t$ hat das durch ein in die $ z$-Richtung zeigende Magnetfeld induzierte elektrische Feld keine $ z$-Komponente. Nehmen wir an, dass das $ \vec{E}$-Feld eine Radialkomponente hätte. Sie könnte zum Beispiel in die $ y$-Richtung zeigen. Rotieren wir die ganze Anordnung um $ \pi$ um die $ y$-Achse und kehren die Richtung des $ \vec{B}$-Feldes um, haben wir wieder die Ausgangsanordnung. Mit der Richtungsumkehr von $ \vec{B}$ hat aber auch $ \vec{E}$ die Richtung geändert (Induktionsgesetz). Dies ist aber im Widerspruch zur Ausgangssituation. Deshalb kann es kein radiales $ \vec{E}$-Feld geben: das $ \vec{E}$-Feld ist tangential und beschleunigt die geladenen Teilchen. Damit die Teilchen auf der Kreisbahn bleiben, muss

$\displaystyle m\frac{v^2}{R} = e\cdot v \cdot B(t)$ (4.384)

oder

$\displaystyle m v(t) = p(t)= e \cdot B \cdot R$ (4.385)

Das zweite Newtonsche Axiom in tangentialer Richtung angewandt bedeutet

$\displaystyle \frac{dp(t)}{dt} = e E(t)$ (4.386)

Mit der Integralform des Induktionsgesetzes erhält man mit einer stationären Kreisbahn $S(R)$ mit dem Radius $ R$

$\displaystyle \oint\limits_{S(R)} \vec{E}(t) \cdot d\vec{s}= E(t) \cdot 2\pi R=...
...\limits_{A(R)}^{}\vec{B}(t) \cdot d\vec{a}= \frac{d\bar{B}(t)}{dt}\cdot \pi R^2$ (4.387)

wobei $\bar{B}$ das über die Fläche des Kreises gemittelte $ \vec{B}$-Feld ist. Durch Kombination der obigen Gleichungen und unter Berücksichtigung der Vorzeichen erhalten wir

$\displaystyle \frac{dp(t)}{dt}= \frac{e\cdot R}{2}\cdot \frac{d\bar{B}}{dt}$ (4.388)

Die Integration mit den Anfangsbedingungen $p(0)=0$ und $B(0)=0$ liefert

$\displaystyle p(t) = \frac{e\cdot R}{2}\cdot \bar{B}(t)$ (4.389)

Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die Wideroe-Bedingung

$\displaystyle \bar{B}(t) =2\cdot B(t)$ (4.390)

Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe erreicht werden.


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Marti 2011-10-13