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Dieser Stoff wurde am 3. 2. 2005
behandelt |
Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem zeitabhängigen
-Feld nach
auch ein zeitabhängiges
-Feld existiert.
Nach dem Induktionsgesetz
hat das durch ein in die
-Richtung
zeigende Magnetfeld induzierte elektrische Feld keine
-Komponente. Nehmen wir an, dass das
-Feld eine
Radialkomponente hätte. Sie könnte zum Beispiel in die
-Richtung zeigen. Rotieren wir die ganze Anordnung um
um die
-Achse und kehren die Richtung des
-Feldes um, haben wir wieder die Ausgangsanordnung.
Mit der Richtungsumkehr von
hat aber auch
die Richtung geändert (Induktionsgesetz). Dies ist
aber im Widerspruch zur Ausgangssituation. Deshalb kann es kein radiales
-Feld geben: das
-Feld
ist tangential und beschleunigt die geladenen Teilchen. Damit die Teilchen auf der Kreisbahn bleiben, muss
![$\displaystyle m\frac{v^2}{R} = e\cdot v \cdot B(t)$](img1252.gif) |
(4.384) |
oder
![$\displaystyle m v(t) = p(t)= e \cdot B \cdot R$](img1253.gif) |
(4.385) |
Das zweite Newtonsche Axiom in tangentialer Richtung angewandt bedeutet
![$\displaystyle \frac{dp(t)}{dt} = e E(t)$](img1254.gif) |
(4.386) |
Mit der Integralform des Induktionsgesetzes erhält man mit einer stationären Kreisbahn
mit dem Radius
![$\displaystyle \oint\limits_{S(R)} \vec{E}(t) \cdot d\vec{s}= E(t) \cdot 2\pi R=...
...\limits_{A(R)}^{}\vec{B}(t) \cdot d\vec{a}= \frac{d\bar{B}(t)}{dt}\cdot \pi R^2$](img1256.gif) |
(4.387) |
wobei
das über die Fläche des Kreises gemittelte
-Feld ist. Durch Kombination der obigen
Gleichungen und unter Berücksichtigung der Vorzeichen erhalten wir
![$\displaystyle \frac{dp(t)}{dt}= \frac{e\cdot R}{2}\cdot \frac{d\bar{B}}{dt}$](img1258.gif) |
(4.388) |
Die Integration mit den Anfangsbedingungen
und
liefert
![$\displaystyle p(t) = \frac{e\cdot R}{2}\cdot \bar{B}(t)$](img1261.gif) |
(4.389) |
Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die Wideroe-Bedingung
![$\displaystyle \bar{B}(t) =2\cdot B(t)$](img1262.gif) |
(4.390) |
Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe erreicht werden.
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Marti
2011-10-13