Diamagnetismus

Dieser Stoff wurde am 10. 2. 2005 behandelt

Berechnung des Diamagnetismus

Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente der Elektronen exakt null.

$$\vec{m}_A = \sum\limits_{j}\vec{m}_j = 0$$ (4.423)

Man kann sich dies vereinfacht so vorstellen, dass jede Elektronenbahn von zwei gegenläufigen Elektronen besetzt ist. Ein diamagnetisches Atom hat deshalb, ohne äusseres $\vec{B}$-Feld eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Diese entsteht, weil sich die einzelnen Elektronenbewegungen über die Zeit ausmitteln.

Wenn ein $\vec{B}$-Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment $\vec{m}_A$, das zum Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der Ladungsdichte

$$\rho_{el} = -\frac{Z e}{(4/3)\pi R^3}$$ (4.424)

wobei $Z$ die Kernladungszahl und $R$ der Radius der Elektronenwolke ist.

Ein einzelner Kreisstrom

Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit

$$\Omega = \frac{e}{2m}B$$ (4.425)

Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom

$$\delta I = \rho_{el}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi \cdot v(r,\varphi)$$ (4.426)

mit

$$v(r,\varphi) = \Omega \cdot r \cdot \sin\varphi$$ (4.427)

Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment $\vec{m}_A$ entgegengesetzt zu $\vec\Omega$ und entgegengesetzt zu $\vec{B}$, hier also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische Moment ist

$$\delta m_A (r,\varphi)= \textrm{Fläche}\cdot\textrm{Strom} = \pi r^2 \sin^2\varphi\cdot \delta I$$ (4.428)

oder

$$\delta m_A (r,\varphi) = \pi r^2 \sin^2\varphi\cdot \rho_{el}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi \cdot v(r,\varphi)$$ (4.429)

$$ = \pi r^2 \sin^2\varphi\cdot \rho_{el}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi \cdot \Omega \cdot r \cdot \sin\varphi$$

$$ = \pi r^4 \sin^3\varphi \cdot \rho_{el}\cdot\Omega \cdot dr \cdot d\varphi$$

Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Integration über $r$ und $\varphi$ Er ist

$$\left\vert\vec{m}_A\right\vert = \int\limits_0^R\int\limits_0^\pi \delta m_A(r,\varphi)drd\varphi$$ (4.430)

$$ = \pi\cdot\rho_{el}\cdot\Omega\cdot\int\limits_0^Rr^4\cdot dr\cdot\int\limits_0^\pi\sin^3\varphi\cdot d\varphi$$

$$ = \pi\cdot\rho_{el}\cdot\Omega\cdot\int\limits_0^Rr^4\cdot dr\cdot \frac{4}{3}$$

$$ = \pi\cdot\rho_{el}\cdot\Omega\cdot\frac{R^5}{5}\cdot \frac{4}{3}$$

$$ = \pi\cdot\frac{Z\cdot e}{\frac{4\pi}{3}R^3}\cdot\Omega\cdot\frac{R^5}{5}\cdot \frac{4}{3}$$

$$ = \pi\cdot\frac{Z\cdot e}{\frac{4\pi}{3}R^3}\cdot\frac{eB}{2m_e}\cdot\frac{R^5}{5}\cdot \frac{4}{3}$$

$$ = \frac{Z\cdot e^2 \cdot B\cdot R^2}{10 m_e}$$

Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment

$$\vec{m}_A = - \frac{Z\cdot e^2\cdot R^2}{10 m_e}\vec{B}$$ (4.431)

Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.