Paramagnetismus

Dieser Stoff wurde am 10. 2. 2005 behandelt

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne74, pp. 262])

Bei paramagnetischen Atomen hebt sich das magnetische Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches Moment nicht vollständig auf.

$$\vec{m}_A \neq 0$$ (4.441)

Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die Grössenordnung eines Bohrsche Magneton $1\mu_B$. Ohne äusseres Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die einzelnen atomaren magnetischen Momente ungeordnet sind. Im äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente teilweise, da die thermische Brownsche Bewegung, temperaturabhängig, für Unordnung sorgt.

Die Magnetisierung kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden. Wir setzen an

$$\vec{H} = (0;0;H)$$ (4.442)

$$\vec{m} = (m \sin\Theta \cos\phi; m\sin\Theta\sin\phi;m\cos\Theta)$$

$$d\Omega = sin\Theta d\Theta d\phi = -d(\cos \Theta) d\phi$$

Die Energie des magnetischen Dipols $\vec{m}$ im Magnetfeld $\vec{H}$ hängt nur von $\Theta$ ab. Wir machen eine Koordinatentransformation auf $u =\cos\Theta$. Die Energie ist dann

$$E_{pot} = -\vec{m}_A \cdot \vec{B}= -\vec{m}_A \cdot \left(\mu_0 \vec{H}\right) = -\mu_0 m_A H \cos\Theta = -\mu_0 m_A Hu$$ (4.443)

Die Magnetisierung $M_z$ in der $z$-Richtung, der Richtung des Magnetfeldes $\vec{H}$, ist

$$M_z = \frac{1}{V}\left(\sum \vec{m}_A\right)_z = Nm_A\left<\cos\Theta\right> = Nm_A\left<u\right>$$ (4.444)

Bei endlichen Temperaturen müssen die potentiellen Energien $E_{pot}$ nach der Boltzmannstatistik verteilt sein, also

$$\left<\cos\Theta\right> = \frac{\int_\Omega \cos\Theta e^{-E_{pot... ...heta d\phi}{\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} e^{x\cos\Theta}\sin\Theta d\Theta d\phi}$$ (4.445)

mit $x = \mu_0 mH/k_BT$. In der Koordinate $u$ und nach ausführen der trivialen Integration über $\phi$ lautet die Gleichung

$$\left<u\right> = \frac{\int_{-1}^{1} u e^{xu}du}{\int_{-1}^1 e^{xu} du}$$ (4.446)

Wir wechseln auf $\hat u = -u$ und erhalten

$$\left<u\right> = -\frac{\int_{-1}^{1} \hat{u} e^{-x\hat{u}}d\hat{u}}{\int_{-1}^1 e^{-x\hat{u}} d\hat{u}}= \coth x -\frac{1}{x} = L(x)$$ (4.447)

wobei $L(x)$ die Langevin-Funktion ist. Also ist

$$M_z = Nm_A L\left(\frac{\mu_0 m_A H}{kT}\right)$$ (4.448)

$$ = Nm_A L\left(\frac{ m_A B}{k_BT}\right)$$

$$ = Nm_A\left[\coth\left(\frac{m_A B}{k_BT}\right)-\frac{k_BT}{m_A B}\right]$$

Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also $kt \gg m_A B$ verifizierbar. Da für $x \ll 1$ die Reihenentwicklung $L(x) = x/3 +O(x^2)$ gilt bekommen wir das Curie-Gesetz

$$M = \frac{1}{3}\frac{N m_A^2}{k_b T}B= \frac{C}{T} B$$ (4.449)

Hier ist $C$ die Curie-Konstante

$$C = \frac{m_A^2 }{3k_b}$$ (4.450)

Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für kleine $B$). $M_S$ ist die Sättigungsmagnetisierung.