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Dieser Stoff wurde am 10. 2. 2005
behandelt |
(Siehe Kneubühl, Repetitorium der
Physik [Kne74, pp. 262])
Bei paramagnetischen Atomen hebt sich das magnetische Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms sowie deren
von den Spins herrührendes magnetisches Moment nicht vollständig auf.
![$\displaystyle \vec{m}_A \neq 0$](img1368.gif) |
(4.441) |
Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die Grössenordnung eines Bohrsche Magneton
. Ohne
äusseres Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die einzelnen atomaren magnetischen Momente
ungeordnet sind. Im äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente teilweise, da die thermische
Brownsche Bewegung, temperaturabhängig, für Unordnung sorgt.
Die Magnetisierung kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden. Wir setzen an
Die Energie des magnetischen Dipols
im Magnetfeld
hängt nur von
ab. Wir machen eine
Koordinatentransformation auf
. Die Energie ist dann
![$\displaystyle E_{pot} = -\vec{m}_A \cdot \vec{B}= -\vec{m}_A \cdot \left(\mu_0 \vec{H}\right) = -\mu_0 m_A H \cos\Theta = -\mu_0 m_A Hu$](img1378.gif) |
(4.443) |
Die Magnetisierung
in der
-Richtung, der Richtung des Magnetfeldes
, ist
![$\displaystyle M_z = \frac{1}{V}\left(\sum \vec{m}_A\right)_z = Nm_A\left<\cos\Theta\right> = Nm_A\left<u\right>$](img1380.gif) |
(4.444) |
Bei endlichen Temperaturen müssen die potentiellen Energien
nach der Boltzmannstatistik
verteilt sein, also
![$\displaystyle \left<\cos\Theta\right> = \frac{\int_\Omega \cos\Theta e^{-E_{pot...
...heta d\phi}{\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} e^{x\cos\Theta}\sin\Theta d\Theta d\phi}$](img1381.gif) |
(4.445) |
mit
. In der Koordinate
und nach ausführen der trivialen Integration über
lautet die
Gleichung
![$\displaystyle \left<u\right> = \frac{\int_{-1}^{1} u e^{xu}du}{\int_{-1}^1 e^{xu} du}$](img1384.gif) |
(4.446) |
Wir wechseln auf
und erhalten
![$\displaystyle \left<u\right> = -\frac{\int_{-1}^{1} \hat{u} e^{-x\hat{u}}d\hat{u}}{\int_{-1}^1 e^{-x\hat{u}} d\hat{u}}= \coth x -\frac{1}{x} = L(x)$](img1386.gif) |
(4.447) |
wobei
die Langevin-Funktion ist. Also ist
Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also
verifizierbar. Da für
die Reihenentwicklung
gilt bekommen wir das Curie-Gesetz
![$\displaystyle M = \frac{1}{3}\frac{N m_A^2}{k_b T}B= \frac{C}{T} B$](img1395.gif) |
(4.449) |
Hier ist
die Curie-Konstante
![$\displaystyle C = \frac{m_A^2 }{3k_b}$](img1396.gif) |
(4.450) |
Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für kleine ). ist die
Sättigungsmagnetisierung.
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Marti
2011-10-13