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Dieser Stoff wurde am 17. 2. 2005
behandelt |
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Materialien
Folien zur Vorlesung vom 17. 02. 2005: PDF
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(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 251])
Maxwellgleichungen werden gebraucht, um die Funktionsweise von
- Radiowellen
- Mikrowellen
- Mobiltelefonen
zu erklären.
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Bis jetzt kennen wir die folgenden Gleichungen um die elektrischen Phänomene zu beschreiben:
Gausssches Gesetz |
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I |
Induktionsgesetz |
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II |
Quellenfreiheit |
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0 |
III |
Durchflutungsgesetz |
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IV |
Zusätzlich zu den obigen Gleichungen muss die Kontinuitätsgleichung für Ladungen gelten
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(5.455) |
Diese Kontinuitätsgleichung ist im Widerspruch zum Durchflutungsgesetz. Dies sieht man, indem man die Divergenz
auf das Durchflutungsgesetz anwendet.
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(5.456) |
im Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung. Dieser Widerspruch wurde von Maxwell
aufgelöst, indem er das Durchflutungsgesetz ergänzt hat.
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(5.457) |
Die Grösse
hat die Dimension einer Strodichte. Diese
Maxwellsche Verschiebungsstromdichte macht das Durchflutungsgesetz
mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel. Der Strom ist bei dem modifizierten Durchflutungsgesetz durch
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(5.458) |
Die Divergenz davon ist
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(5.459) |
Damit ist gezeigt, dass die Gleichungen I-III zusammen mit dem modifizierten Durchflutungsgesetz
auch die Kontinuitätsgleichung beinhalten. Dieser Satz Gleichungen wird die
genannt.
Zusammen mit dem Kraftgesetz
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(5.461) |
hat man eine vollständige Charakterisierung der Elektrodynamik für isotrope Materialien.
Die Maxwellsche Verschiebungsstromdichte, die eingeführt wurde um die Maxwellgleichungen mit der
Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu, dass man aus den Maxwellgleichungen elektromagnetische
Wellen vorhersagen kann.
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Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der Galilei-Transformation. Diese Beobachtung war
ein wichtiger Meilenstein auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie.
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Die Integralform des modifizierten Durchflutungsgesetzes ist
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(5.462) |
wenn man den Satz von Stokes anwendet. ist eine beliebige Kurve und die durch sie
berandete Fläche.
Das Gausssche Gesetz liefert
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(5.463) |
Damit wird die Kontinuitätsgleichung
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(5.464) |
Damit ist das Integral über die Fläche in Gleichung (5.9) unabhängig von .
Die Integralformeln der Maxwellgleichungen lauten
Der Unterschied zwischen der zweiten und der dritten Maxwellgleichung ist, dass in der zweiten Gleichung über eine
einfache, von der Kurve aufgespannte Fläche integriert wird, während in der dritten Gleichung über die
das Volumen einschliessende Fläche integriert wird.
Für Medien mit tensoriellen Eigenschaften benötigt man die beiden Materialgleichungen
wobei
und
Tensoren sind.
Die Maxwellgesetze für allgemeine Materialien lauten
in der differentiellen Schreibweise und
in der Integralschreibweise.
Anwendung
Wir betrachten einen langen kreiszylindrischen Leiter mit dem Durchmesser , aus dem eine Scheibe mit der Dicke
herausgeschnitten wurde. Dieser Leiter werde an eine Gleichstromquelle mit
angeschlossen.
Die Endflächen beim herausgeschnittenen Stück wirken wie ein Kondensator. Also ist
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(5.469) |
Da wir eine zeitlich konstante Situation haben, sind alle zeitlichen Ableitungen null. Mit der Integralform des
Gaussschen Gesetzes bekommt man mit einer geschlossenen Fläche , die eine Kondensatorplatte beinhaltet
wobei wir berücksichtigt haben, dass innerhalb des Leiters sowie ausserhalb des herausgeschnittenen Stückes
gilt. Damit erhalten wir
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(5.471) |
Dabei ist die Stromdichte im Draht, nicht in der Lücke. Das Vektorfeld
ist homogen im ganzen Zylinder, einschliesslich des herausgeschnittenen Stückes. Im Leiter ist
, also
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(5.472) |
Im herausgeschnittenen Stück ist und damit
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(5.473) |
Deshalb muss über den ganzen Leiter, inklusive des herausgeschnittenen Stückes, tangential und
translationsinvariant entlang des Leiters sein.
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(5.474) |
sowie
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(5.475) |
Der Maxwellsche Verschiebungsstrom bewirkt also, dass die Stromverteilung im Leiter in den Zwischenraum verschoben
wird. Das modifizierte Ampèresche Durchflutungsgesetz ist die physikalische Rechtfertigung für den
umgangssprachlichen Ausdruck der Strom fliesst durch den Kondensator.
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Marti
2011-10-13