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Dieser Stoff wurde am 17. 2. 2005
behandelt |
Wir untersuchen die Wellenphänomene an 3 Testsystemen,
- Doppelleitung oder Lecher-Leitung, die besonders einfach auszumessen ist
- Der Doppelleitung aus parallelen Ebenen, die wichtig für die Printplattentechnologie ist und besonders
einfach zu berechnen ist
- dem Koaxialkabel, der technisch wichtigen Anwendung für Verbindungen.
3 mögliche Doppelleitersysteme. Links die Lecherleitung, in der Mitte eine
Doppelleiterleitung, wie sie bei Printplatten üblich ist und rechts ein Koaxialkabel
|
Wenn man das Doppelleitersystem mit elektromagnetischen Wellen mit einer Wellenlänge von etwa
speist, beobachtet man folgendes
- Das am Ende offene Doppelleitersystem zeigt Knoten und Bäuche des
- und des
-Feldes in
Richtung
. Der Abstand der Intensitätsmaxima beträgt
für beide Felder.
Die Maxima der
-Feldes sind gegen denen des
-Feldes verschoben.
Wir haben stehende Wellen.
- Das am Ende mit einem Kurzschlussbügel versehene System zeigt das gleiche Verhalten wie vorher. Die
Maxima sind jedoch verschoben. Wieder haben wir stehende Wellen.
- Wenn das Doppelleitersystem mit einem Widerstand von etwa
abgeschlossen ist, verschwinden
die Maxima. Es gibt keine stehenden Wellen.
- Die Richtungen von
und
sind analog wie beim Kondensator.
Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Lecherleitung
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Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Doppelleitung aus parallelen Platten
|
Wir setzen für die
-Welle in der Geometrie der obigen Zeichnung an
Dieses Feld erfüllt die Wellengleichung. Wir behaupten, dass das
-Feld durch
gegeben ist. Auch diese Gleichung erfüllt sie Wellengleichung. Wir verwenden die zweite Maxwellgleichung, um zu
zeigen, dass die Kopplung richtig ist. Wir schreiben
in
Komponenten
![$\displaystyle \left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partia...
...rtial t};\frac{\partial B_y}{\partial t};\frac{\partial B_z}{\partial t}\right)$](img1518.gif) |
(6.488) |
Die
- und die
-Komponenten sind null, nach der Voraussetzung. Die
-Komponente lautet
![$\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$](img1519.gif) |
(6.489) |
Mit
ist diese Kopplungsgleichung, die zweite Maxwellgleichung erfüllt. Die vierte Maxwellgleichung
ist ebenfalls erfüllt. Aus ihr erhält man
![$\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial t} = -c^2\frac{\partial B_y}{\partial z}$](img1521.gif) |
(6.490) |
Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen
|
Diese elektromagnetischen Wellen im Innenraum zwischen den beiden Leitern müssen auch in den angrenzenden Leitern
Ladungswellen und Stromwellen erzeugen, die mit den Maxwellgleichungen kompatibel sind. Für die
Ladungen gilt mit der ersten Maxwellschen Gleichung für die Oberflächenladungsdichte
![$\displaystyle \sigma(z,t) = -\epsilon_0E_x(z,t) = \epsilon_0E_0\cdot\cos(kz-\omega t)$](img1523.gif) |
(6.491) |
Die Oberflächenladungsdichte ist eine fortlaufende Welle. Die Erhaltung der elektrischen Ladung bedingt
für die Oberflächenladungsdichte in einem Abschnitt der Breite
![$\displaystyle b\cdot\left[j(z+dz,t)-j(z,t)\right]= -\frac{\partial \sigma(z,t)}{\partial t}\cdot b \cdot dz$](img1524.gif) |
(6.492) |
und damit
![$\displaystyle \frac{\partial j(z,t)}{\partial z} = -\frac{\partial \sigma(z,t)}{\partial t} = \epsilon_0 E_0 \cdot\omega\cdot\sin(kz-\omega t)$](img1525.gif) |
(6.493) |
Die Integration über
und die Verwendung von
ergibt
![$\displaystyle j(z,t) =\epsilon_0E_0\cdot c\cdot\cos(kz-\omega t)$](img1526.gif) |
(6.494) |
Integrationspfad zur Anwendung des vierten Maxwellschen Gesetzes
|
Mit dem vierten Maxwellschen Gesetz
erhalten wir mit dem
eingezeichneten Integrationsweg, da der Term mit
keinen Beitrag gibt (er liegt in der Integrationsebene)
![$\displaystyle -B_y(z,t)\cdot h = \mu_0\cdot h \cdot j(z,t) = \mu_0\cdot h\cdot \epsilon_0 \cdot E_0 \cdot c\cdot\cos(kz-\omega t)$](img1529.gif) |
(6.495) |
Mit
folgt
![$\displaystyle B_y(z,t) = -\frac{E_0}{c}\cdot\cos(kz-\omega t)$](img1531.gif) |
(6.496) |
eine identische Gleichung zu der im Zwischenraum abgeleiteten. Die Lösung für die auf dem Zweileitersystem
transportierten Wellen ist also kompatibel mit den Maxwellgleichungen. Ladungen und Ströme
bewegen sich als Wellen auf der Innenseite der Leiter.
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Marti
2011-10-13