Produkte mit Vektoren

Skalarprodukt

$$k = \vec{a}\cdot \vec{b}= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = a\, b\, \cos\left(\angle\left(\vec{a}\text{,}\,\vec{b}\right)\right)$$ (A..527)

Vektorprodukt

$$\vec{c}= \vec{a}\times \vec{b}= \left(\begin{array}{c}a_y b_z-a_z... ...right\vert = a\, b \sin\left(\angle\left(\vec{a}\text{,}\,\vec{b}\right)\right)$$ (A..528)

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot \vec{a}$$ (A..529)

$$\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times \vec{a}$$ (A..530)

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= 0$$ (A..531)

Sie sind kollinear, wenn

$$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$$ (A..532)

Doppeltes Vektorprodukt

$$\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\vec{b}-\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\vec{c}$$ (A..533)

Spatprodukt oder gemischtes Produkt

$$\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot \vec{c} = \left(\vec{b}\times\vec{c}\right)\cdot \vec{a}$$

$$= \left(\vec{c}\times\vec{a}\right)\cdot \vec{b}$$

$$= -\left(\vec{b}\times\vec{a}\right)\cdot \vec{c}$$

$$= -\left(\vec{c}\times\vec{b}\right)\cdot \vec{a}$$

$$= -\left(\vec{a}\times\vec{c}\right)\cdot \vec{b}$$

$$=a_x b_y c_z + a_y b_z c_x + a_z b_x c_y -\left(a_z b_y c_x + a_x b_z c_y + a_y b_x c_z\right)$$ (A..534)

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

$$\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot \vec{c}= 0$$ (A..535)

Lagrangesche Identität

$$\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}\times\vec{f}\... ...vec{f}\right)- \left(\vec{a}\cdot\vec{f}\right)\left(\vec{b}\cdot\vec{c}\right)$$ (A..536)

Vierfaches Vektorprodukt

$$\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\times\left(\vec{c}\times\vec{d}... ...ight)\vec{c}- \left(\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right)\vec{f}$$ (A..537)