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Produkte mit Vektoren

Skalarprodukt

$\displaystyle k = \vec{a}\cdot \vec{b}= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = a\, b\, \cos\left(\angle\left(\vec{a}\text{,}\,\vec{b}\right)\right)$ (A..527)

Vektorprodukt

$\displaystyle \vec{c}= \vec{a}\times \vec{b}= \left(\begin{array}{c}a_y b_z-a_z...
...right\vert = a\, b \sin\left(\angle\left(\vec{a}\text{,}\,\vec{b}\right)\right)$ (A..528)

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}$ $\displaystyle = \vec{b}\cdot \vec{a}$ (A..529)
$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}$ $\displaystyle = -\vec{b}\times \vec{a}$ (A..530)

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}= 0$ (A..531)

Sie sind kollinear, wenn

$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ (A..532)

Doppeltes Vektorprodukt

$\displaystyle \vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\vec{b}-\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\vec{c}$ (A..533)

Spatprodukt oder gemischtes Produkt

$\displaystyle \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot \vec{c}$ $\displaystyle = \left(\vec{b}\times\vec{c}\right)\cdot \vec{a}$    
  $\displaystyle = \left(\vec{c}\times\vec{a}\right)\cdot \vec{b}$    
  $\displaystyle = -\left(\vec{b}\times\vec{a}\right)\cdot \vec{c}$    
  $\displaystyle = -\left(\vec{c}\times\vec{b}\right)\cdot \vec{a}$    
  $\displaystyle = -\left(\vec{a}\times\vec{c}\right)\cdot \vec{b}$    
  $\displaystyle =a_x b_y c_z + a_y b_z c_x + a_z b_x c_y -\left(a_z b_y c_x + a_x b_z c_y + a_y b_x c_z\right)$ (A..534)

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

$\displaystyle \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot \vec{c}= 0$ (A..535)

Lagrangesche Identitšt

$\displaystyle \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}\times\vec{f}\...
...vec{f}\right)- \left(\vec{a}\cdot\vec{f}\right)\left(\vec{b}\cdot\vec{c}\right)$ (A..536)

Vierfaches Vektorprodukt

$\displaystyle \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\times\left(\vec{c}\times\vec{d}...
...ight)\vec{c}- \left(\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right)\vec{f}$ (A..537)


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Marti 2011-10-13