Energie des elektrischen Feldes

(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 204]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 729])

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Energie im Kondensator

Ein Plattenkondensator der Kapazität $ C$ sei auf die Spannung $ U=\frac{Q} {C}$ aufgeladen. Wir transportieren die Ladung $ \Delta Q$ von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist

$\displaystyle W\left( Q;Q+\Delta Q\right) =U\cdot\Delta Q=\frac{Q\Delta Q}{C}$ (2.89)

Dabei haben wir die Ladung $ \Delta Q$ über die Potentialdifferenz $ U$ transportiert.

$\displaystyle W\left( 0;Q\right) = {\displaystyle\int\limits_{0}^{Q}} \frac{QdQ}{C}=\frac{Q^{2}}{2C}$ (2.90)

also

$\displaystyle E_{pot}\left( C\right) =\frac{Q^{2}}{2C}$ (2.91)

oder mit $ C =\frac{\epsilon_{0}A}{d}$

$\displaystyle E_{pot}\left( d\right) =\frac{Q^{2}d}{2\epsilon_{0}A}$ (2.92)

oder mit $ Q =U\cdot C$

$\displaystyle E_{pot}\left( U\right) =\frac{U^{2}\cdot C}{2}$ (2.93)

oder mit $ Q=E A \epsilon_{0}$ und $ A\cdot d=V$ (das Volumen)

$\displaystyle E_{pot}=\frac{E^{2} \cdot A \cdot d \cdot \epsilon_{0}}{2}=\frac{E^{2} \cdot V \cdot \epsilon _{0}}{2}=\frac{E \cdot D \cdot V}{2}$ (2.94)

oder mit $ w_{el}=\lim\limits_{V \rightarrow 0}\frac{E_{pot}}{V}$ der Energiedichte des elektrischen Feldes

$\displaystyle w_{el}=\frac{\epsilon_{0}E^{2}}{2}=\frac{\vec{E}\cdot\vec{D}}{2}$ (2.95)

Die Kraft $ \Delta\vec{F}_{V}$ auf ein Volumenelement $ \Delta V$ wird durch

$\displaystyle \vec{F}_{V}\left( \vec{r}\right) =\lim\limits_{\Delta V\rightarro...
...\right) }{\Delta V}=\rho_{el}\left( \vec{r}\right) \vec{E}\left( \vec{r}\right)$ (2.96)

beschrieben, da

$\displaystyle \Delta\vec{F}_{V}\left( \vec{r}\right) =\vec{E}\left( \vec{{}r}\right) \cdot \Delta Q=\vec{E}\left( \vec{r}\right) \cdot \rho_{el } \cdot \Delta V$ (2.97)

Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus

$\displaystyle \sigma_{Maxwell}=\lim\limits_{\Delta A\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{F}\left( \vec{r}\right)\cdot \vec{n}}{\Delta A}$ (2.98)

Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes. $ \vec{n}$ ist der Normalenvektor der Oberfläche.

Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: $ E_{pot}=\frac{Q^{2}}{2C}$. Die Arbeit, den Kondensator von $ d$ auf $ d+\Delta d$ zu bringen ist.


$\displaystyle W\left( d,d+\Delta d\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F\Delta d$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_{pot}\left( d+\Delta
d\right) -E_{pot}\left( d\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{Q^{2}}{2\epsilon_{0}A}\left( d+\Delta d\right) -\frac{Q^{2}
d}{2\epsilon_{0}A}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{Q^{2}\Delta d}{2\epsilon_{0}A}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{Q^{2}}{A^{2}}\cdot\frac{\Delta dA}{2\epsilon_{0}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma^{2}\frac{\Delta dA}{2\epsilon_{0}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \epsilon_{0}^{2}E^{2}\cdot\frac{A\Delta d}{2\epsilon
_{0}}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}A\Delta d$ (2.99)

und damit

$\displaystyle \sigma_{Maxwell}=\frac{F}{A}=\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}=\frac{\vec{D}\cdot \vec{E}}{2}$ (2.100)

Beispiel: In einem Laser können Felder von $ 10^{12}V/m$ auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von $ 4.43\cdot 10^{12}Pa \simeq 4.43\cdot 10^{7}$ bar.

Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) (Versuchskarte ES-16)

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm