Unterabschnitte

Elektrische Eigenschaften der Materie

Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung $ Ze$ und einer Elektronenwolke der Ladung $ -Ze$. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander.





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elektrostatik-016}
Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle.




Das Kräftegleichgewicht lautet:

$\displaystyle \vec{F}=Ze\vec{E}=-k(-\vec{x}) = k\vec{x}$ (2.101)

Das induzierte Dipolmoment ist

$\displaystyle \vec{p}_{ind}=Ze\vec{x}$ (2.102)

und damit

$\displaystyle \vec{p}_{ind}=\frac{{\left( Ze\right)}^{2}}{k}\cdot\vec{E}=\alpha\vec{E}$ (2.103)

Dabei ist $ \alpha$ die atomare Polarisierbarkeit (Einheit $ \left[ \alpha
\right] ={F}{m^{2}}=\frac{Cm^{2}}{V} =\frac{Asm^{2}}{V}$).



Atom oder Molekül $ \alpha /\left( 10^{-40}\frac{Asm^{2}}{V}\right) $
He 0.2
Li$ ^{+}$ 0.03
Ne 0.4
K$ ^{+}$ 0.9
Xe 3.5
O$ ^{-}$ 3.5
CCL$ _{4}$ 10
CL$ ^{-}$ 4
I$ ^{-}$ 7
gefüllte Elektronenschale




Atom oder Molekül $ \alpha /\left( 10^{-40}\frac{Asm^{2}}{V}\right) $
H 0.7
Li 13
K 38
Cs 46
nicht gefüllte Elektronenschale


Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld $ \vec{E}$ ist

$\displaystyle E_{pot}=\frac{\alpha}{2}\vec{E}^2=\frac{\vec{p}_{ind}^2}{2\alpha }=\frac{1}{2}\vec{E}\vec{p}_{ind}$ (2.104)

da

$\displaystyle \Delta E_{pot}=W\left( \vec{p},\vec{p}+\Delta\vec{p}\right) =Q\ve...
...elta\vec{x}=\vec{E}\cdot\Delta\vec{p}=\frac{\vec{p}}{\alpha}\cdot \Delta\vec{p}$ (2.105)

und damit

$\displaystyle E_{pot}= {\displaystyle\int\limits_{0}^{\vec{p}}} \frac{\vec{p}}{\alpha}d\vec{p}=\frac{\vec{p}^{2}}{2\alpha}$ (2.106)

Dielektrika

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Plattenkondensator mit Dielektrikum (Versuchskarte ES-3)

Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt

$\displaystyle \vec{D}=\epsilon_{0}\vec{E}$ (2.107)





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{elektrostatik-017}
Isolatoren in einem Kondensatoren




Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist

$\displaystyle E=\frac{U}{d}$ (2.108)

unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.

Andererseits ist

$\displaystyle D=\epsilon_{0}E=\frac{\epsilon_{0}U}{d}=\frac{\epsilon_{0}Q}{Cd} =\frac{\epsilon_{0}Q}{\epsilon_{0}\frac{A}{d}d}=\frac{Q}{A}$ (2.109)

abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden.

In vielen Fällen sind $ \vec{D}$ und $ \vec{E}$ linear voneinander abhängig.

$\displaystyle \vec{D}=\epsilon\epsilon_{0}\vec{E}=\left( 1+\chi_{e}\right) \epsilon _{0}\vec{E}$ (2.110)

mit $ \epsilon\geq 1$ und $ \chi_{e}\geq 0$

$ \epsilon$ heisst die Dielektrizitätskonstante, $ \chi_{e}$ die dielektrische Suszeptibilität.

Im allgemeinen sind $ \epsilon$ und $ \chi_{e}$ Tensoren.



Material $ \epsilon$
Vakuum 1
Luft 1.0006
Paraffin 2.1
Glas 5-9
Wasser(291k, 0Hz) 81
Wasser (291k, 1PHz 1,77
Dielektrizitätskonstanten


Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika angewandt werden, indem $ \epsilon_{o}$ durch $ \epsilon\epsilon_{0}$ ersetzt wird.


Woher rührt $ \epsilon>1$?


Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elektrostatik-018}
Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld.




Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elektrostatik-019}
Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten elektrischen Feld.




Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.103) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.


Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika

Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt $  {}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} 
\vec{D}= 0$ (siehe Gleichung (2.19) ). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, gilt auch $  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} 
\vec{E}= 0$. Wir betrachten eine Oberfläche $ A$, die ein Stück $ \Delta A$ der Grenzfläche umschliesst. Dann ist

$\displaystyle \int\limits_A \vec{D}\cdot d\vec{a}= -D_{1\bot}\Delta A + D_{2\bot}\Delta A = 0$

und damit gilt für die dielektrische Verschiebung die folgende Stetigkeitsbedingung

$\displaystyle D_{1\bot} = D_{2\bot}$ (2.111)

Wir verwenden weiter eine Schlaufe $ s$, die die Grenzfläche zweimal durchdringt und erhalten

$\displaystyle \int\limits_{A(s)}  {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{E}\cdot d...
...\vec{E}\cdot d\vec{s} = E_{1\vert\vert}\frac{s}{2}-E_{2\vert\vert}\frac{s}{2}=0$

und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung

$\displaystyle E_{1\vert\vert} = E_{2\vert\vert}$ (2.112)

An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt
  • die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und
  • die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche
sind stetig.

Mit $  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \varphi = -\vec{E}= $ können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential $ \varphi$ umgeschrieben werden

$\displaystyle \varphi_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \varphi_2$  
$\displaystyle \epsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \epsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n}$ (2.113)

Das Gesetz von Clausius und Mosotti

In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Dielektrizitätszahl und der Polarisierbarkeit ableiten. Die Polarisation eines Atoms oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit $ \alpha$ sowie vom lokalen elektrischen Feld $ \vec{E}_{lokal}$ ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus dem externen Feld $ \vec{E}$ sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort, $ \vec{E}_i$.

$\displaystyle \vec{E}_{lokal} = \vec{E}+ \vec{E}_i$ (2.114)

Die Polarisation hängt vom lokalen Feld $ \vec{E}_{lokal}$ wie folgt ab:

$\displaystyle \vec{P}= N \vec{p}_{ind} = N \alpha \vec{E}_{lokal}$ (2.115)

wobei $ N$ die Dichte der induzierten Dipole ist.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{elektrostatik-033}
Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti




Zur Berechnung von $ \vec{E}_i$ und damit $ \vec{E}_{lokal}$ betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit $ \epsilon$, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius $ R$ entfernt wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[Som78, 68],das von einem externen Feld $ \vec{E}$ in der $ x$-Richtung hervorgerufen wird. Das Dielektrikum erzeugt an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte $ \sigma(\Theta) = P_n = P_x\cos\Theta$, analog wie eine Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit $ E=\sigma/\epsilon_0$ zusammenhängt. Nach dem Coulombgesetz (Gleichung (2.5) ) ist der Beitrag von $ \sigma da$ gegeben durch

$\displaystyle dE_{i,r} = \frac{\sigma da}{4\pi \epsilon_0 R^2} = \frac{P_x\cos\Theta }{4\pi \epsilon_0 R^2}da$ (2.116)

gegeben. Die $ x$-Komponente ist dann

$\displaystyle dE_{i,x} = \frac{P_x\cos^2\Theta }{4\pi \epsilon_0 R^2}da$ (2.117)

Wir integrieren über die ganze Kugel und beachten, dass $ da = r^2\sin\Theta
d\Theta d\varphi$ ist. Die Integration über $ \varphi$ (Faktor $ 2\pi$) und diejenige über $ r$ (Faktor $ 1$, da die Ladung an der Oberfläche konzentriert ist) sind sofort ausführbar, so dass wir mit $ \int \cos^2(\Theta)\sin(\Theta)d\Theta =
-\frac{1}{3}\cos^3(\Theta)$

$\displaystyle E_{i,x} = \frac{P_x}{4\pi\epsilon_0} 2\pi \int\limits_0^{\pi}\cos^2\Theta \sin\Theta d\Theta = \frac{1}{3\epsilon_0}P_x$ (2.118)

erhalten. Da die $ x$-zufällig gewählt wurde, gilt die Lorentz-Beziehung auch allgemein

$\displaystyle E_i = \frac{1}{3\epsilon_0}P$ (2.119)

Mit

$\displaystyle \vec{P}= \left(\epsilon-1\right) \epsilon_0 \vec{E}= \chi_e \epsilon_0 \vec{E}$ (2.120)

wird aus der Kombination von Gleichung (2.115) und Gleichung (2.119) die Clausius-Mosotti-Beziehung

$\displaystyle \frac{\chi_e}{\chi_e+3}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}=\frac{N\alpha}{3\epsilon_0}$ (2.121)

die die Polarisierbarkeit $ \alpha$ mit der Dielektrizitätszahl $ \epsilon$ verknüpft.

Die Rechnung verläuft folgendermassen

$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\epsilon-1)\epsilon_0 E$  
$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P}{(\epsilon-1)\epsilon_0}$  
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle N\alpha E_{lokal}$  
$\displaystyle E_{lokal}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P}{N\alpha}$  
$\displaystyle E_{lokal}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E+E_i$  
$\displaystyle \frac{P}{N\alpha}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P}{(\epsilon-1)\epsilon_0}+ \frac{P}{3\epsilon_0}$  
$\displaystyle \frac{1}{N\alpha}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{(\epsilon-1)\epsilon_0}+ \frac{1}{3\epsilon_0}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{1}{(\epsilon-1)}+ \frac{1}{3}\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{3+\epsilon-1}{3(\epsilon-1)}\right)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{2+\epsilon}{3(\epsilon-1)}\right)$  
$\displaystyle \frac{N\alpha}{3\epsilon_0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}$  

Kondensator gefüllt mit Dielektrikum





\includegraphics[width=0.9\textwidth]{elektrostatik-020}
Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum




Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung $ Q$ tragen. Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor $ \epsilon$ geringer als das Feld $ E_{0}$ ohne Dielektrikum

$\displaystyle E=\frac{E_{0}}{\epsilon}$ (2.122)

Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand $ d$ ist

$\displaystyle U=Ed=\frac{E_{0}d}{\epsilon}=\frac{U_{0}}{\epsilon}$ (2.123)

Die Kapazität ist

$\displaystyle C=\frac{Q}{U}=\frac{Q}{\frac{U_{0}}{\epsilon}}=\epsilon\frac{Q}{U_{0} }=\epsilon C_{0}$ (2.124)

Also ist beim Plattenkondensator

$\displaystyle C=\epsilon\epsilon_{0}\frac{A}{d}$ (2.125)

Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant

$\displaystyle D=\frac{Q}{A}$ (2.126)

Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,

$\displaystyle Q=\epsilon Q_{0}$ (2.127)

Elektrische Phänomene

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Steighöhe im Kondensator (Versuchskarte ES-12)

Die Energiedichte im Kondensator ist

$\displaystyle w_{el}=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot \vec{E}$ (2.128)





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{elektrostatik-021}
Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.




Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.

Wie geht das?





\includegraphics[width=0.8\textwidth]{elektrostatik-022}
Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung




Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten[Kän78].

  1. Mechanische Arbeit:

    $\displaystyle dW_{mech}=Fdx
$

  2. Elektrostatische Energie im Volumen $ abdx$: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch

    $\displaystyle E=\frac{U}{a}
$

    Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an
    $\displaystyle dW_{el}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2}\epsilon\epsilon_{0}E^{2}-\frac{1}{2}
\epsilon_{0}E^{2}\right) abdx$  
    $\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}\frac{U^{2}}{a^{2}
}abdx$  
    $\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}U^{2}\frac{b}
{a}dx$ (2.129)

  3. Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert. Die Kapazität ändert sich um
    $\displaystyle dC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \epsilon\epsilon_{0}\frac{b dx}{a}-\epsilon_{0}\frac{b dx}{a}$  
    $\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}\frac{b dx}{a}$ (2.130)

    Die Spannung U$ _{0}$ wird aufrecht erhalten und die Ladung $ dQ$ transportiert $ \left(
E_{pot}=qU\right) $
    Also
    $\displaystyle dW_{Batt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle UdQ$ (2.131)
    $\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle U\cdot UdC$  
    $\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}U^{2}\frac{b dx}{a}$  

  4. Die Energiebilanz ist

    $\displaystyle dW_{mech}+dW_{el}=dW_{Batt}$ (2.132)

    $\displaystyle Fdx+\frac{1}{2}\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}U^{2}\frac{b} {a}dx=\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}U^{2}\frac{b}{a}dx$ (2.133)

    und somit

    $\displaystyle F=\frac{1}{2}\left( \epsilon-1\right) \epsilon_{0}\frac{b}{a}U^{2}$ (2.134)

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm