Kapazität: eine geometrische Eigenschaft

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 722]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 202])

Versuch zur Vorlesung: Kapazität von Kugeln (Versuchskarte ES-27)

Wir wollen das folgende Problem lösen:

• Wieviel Ladung kann auf einer Leiteranordnung gespeichert werden?

Wir wissen:

Im Inneren der Leiter ist $U=\mathrm{const}$ und $\rho_{el} =0$

• An der Oberfläche sind die $\vec{E}$-Felder senkrecht zur Oberfläche
• Zwischen den Leitern ist $\rho_{el} =0$, also $\Delta U=0$
• Die Ladungen auf den Leitern sind Oberflächenladungsdichten.

Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum.

Wir betrachten eine kleine zylinderförmige Oberfläche und verwenden

$$\oint\limits_{s}\vec{E}ds=\frac{q_{eingeschlossen}}{\epsilon _{0}}$$ (2.73)

Da das Feld im Inneren des Leiters verschwindet und die Seitenflächen keinen Beitrag geben, ist

$${\epsilon _{0}\vec{E_{\perp }}}=\sigma$$ (2.74)

Bei einer genügend grossen ebenen Fläche $A$ ist die Ladung dann

$$Q = \int\limits_A \sigma da = \int\limits_A {\epsilon _{0}\vec{E}_{\perp }}da \approx {\epsilon _{0}\vec{E}_{\perp }}A$$ (2.75)

$A$ repräsentiert hier die Geometrie, so dass man schliessen kann, dass die gesamte Ladung von der Geometrie der Leiter abhängt[Jac75, 48]. Wenn wir die Leiter $1,2,\ldots n$ betrachten, ist

$$U_{j}-U_{i}=\frac{Q}{C_{ji}}=U_{ji}= \varphi_{ij}$$ (2.76)

mit $U_{j}$ dem Potential auf dem Leiter $j$ und $U_{i}$ dem Potential auf dem Leiter $i$. $C_{ji}$ ist die Kapazität zwischen den Leitern $i$ und $j$.

Da die Nummerierung in der Gleichung (2.76) willkürlich ist, muss $C_{ij}=C_{ji}$ gelten.

Die Einheit der Kapazität ist

$$1 Farad=1 F=1\frac{C}{V}=1\frac{As}{V}$$ (2.77)

Als erstes Beispiel betrachten wir den Plattenkondensator

Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche $A$ die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist.

Wir benutzen, dass das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten homogenen Flächenladung konstant $E_{Ebene}=\frac{\sigma }{2\epsilon _{0}}$ ist (Gleichung (2.29) ).

Auf den Kondensatorplatten ist die Ladung $Q=A\sigma =2\epsilon _{0}E_{Ebene}A$.

Das elektrische Feld zwischen den beiden Platten stammt von beiden Platten, also ist

$$\vec{E}=2\vec{E}_{Ebene}$$ (2.78)

Also ist $Q=A\sigma =\epsilon _{0}EA$. Deshalb ist das Potential am Ort der zweiten Platte gemessen von der ersten Platte

$$U_{2,1}=-\vec{E}\cdot \vec{d}=2E_{Ebene}\cdot d=2 \frac{\sigma }{2\epsilon _{0}}d=\frac{\sigma d}{\epsilon _{0}}$$ (2.79)

Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten oder die angelegte Spannung

$$U=\frac{\sigma d}{\epsilon _{0}}=\frac{Qd}{A\epsilon _{0}}$$ (2.80)

oder

$$\frac{Q}{U}=\epsilon _{0}\frac{A}{d}=C$$ (2.81)

Damit haben wir die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet. Beachte, dass wir einen endlichen Plattenkondensator, der in einen unendlichen Plattenkondensator eingebettet ist, betrachtet haben, um Randeffekte auszuschliessen.

Durch die Dreiteilung des Kondensators können bei einem realen Kondensator die Randeffekte minimiert werden. Die kleine Lücke stört das homogene Feld nur unwesentlich.

Beispiel: Ein Kondensator mit $d=0.1\mu m$, $A=1 m^{2}$ und $U=10V$

Dann ist $C=88.5\mu F$, $Q=0.885mC$, $\sigma =\frac{Q}{A} =0.885 \frac{mC}{m^{2}}$ und $E=10^{8}V/m$

Aus der Additivität des elektrischen Feldes folgt, dass bei der Parallelschaltung von Kondensatoren sich die Kapazitäten addieren.

Versuch zur Vorlesung: Reihen- und Parallelschaltung von Kapazitäten (Versuchskarte EM-48)

Parallelschaltung von Kondensatoren.

$$Q_{1} = C_{1}U$$

$$Q_{2} = C_{2}U$$

$$Q_{3} = C_{3}U$$ (2.82)

$$Q_{ges}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=(C_{1}+C_{2}+C_{3})U$$ (2.83)

oder

$$\frac{Q_{ges}}{U}=C_{ges}=\frac{Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}}{U}=C_{1}+C_{2}+C_{3}$$ (2.84)

bei Parallelschaltung

$$C=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{i}$$ (2.85)

Bei der Reihenschaltung wird die angelegte Spannung $U$ auf die in Reihe geschalteten Kondensatoren aufgeteilt.

Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren.

Auf den Kondensatoren sind die Ladungen

$Q=Q_{1}=\left( U-U_{1}\right) C_{1}=Q_{2}=\left( U_{1}-U_{2}\right) C_{2}=Q_{3}=U_{2}C_{3}$ gespeichert, da in diesem System nur Ladungen verschoben, aber nicht erzeugt oder vernichtet werden können.

Also ist

$$\frac{Q}{C_{1}} = U-U_{1}$$

$$\frac{Q}{C_{2}} = U_1-U_{2}$$

$$\frac{Q}{C_{3}} = U_2$$ (2.86)

oder

$$U=\frac{Q}{C_{1}}+\frac{Q}{C_{2}}+\frac{Q}{C_{3}} =Q\left( \frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}\right) =\frac{Q}{ C_{ges.}}$$ (2.87)

Für die Reihenschaltung gilt

$$\frac{1}{C_{ges}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}}$$ (2.88)