(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 98])
Versuch zur Vorlesung: Fadenstrahlrohr (Versuchskarte EM-11) |
Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die magnetische Feldstärke oder die magnetische Induktion ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das folgende Kraftgesetz
beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft heisst Lorentz-Kraft.
Durch den Vergleich von Gleichung (3.98) und Gleichung (3.96) kann man für die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben
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Die magnetische Induktion bildet eine Rechtsschraube um den Strom (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung der magnetischen Induktion). |
Versuch zur Vorlesung: Magnetische Feldlinien (Versuchskarte EM-50) |
Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom. |
Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit
(3.236) |
(3.237) |
(3.238) |
(3.240) |
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Die Einheit der magnetischen Induktion ist
(3.242) |
Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.
Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.
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Der Betrag des Vektors , der senkrecht auf und senkrecht auf steht, ist
(3.244) |
(3.245) |
Beispiele
(3.247) |
Link zur Vorlesung:(Elektromotor) |
Versuch zur Vorlesung: Lorentz-Kraft (Versuchskarte EM046) |
Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
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Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern
kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das Drehmoment
(3.248) | |||
(3.249) |
(3.251) |
(3.252) |
(3.253) |
(3.254) |
Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.
Versuch zur Vorlesung: Barlowsches Rad (Versuchskarte EM004) |
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 104])
Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom erzeugte Magnetfeld durch kreisförmige Magnetfeldlinien mit der Stärke charakterisiert, wobei das -Feld tangential zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises , ergibt
(3.255) |
Der Beweis geht in mehreren Schritten:
Beliebige Kurve um einen Leiter
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ist die Projektion des Weglängenelementes auf der Kurve auf die in der -Ebene liegende Projektion der Kurve . Es ist
Beispiel
Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius soll homogen vom Strom durchflossen werden. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Ausserhalb des Leiters () haben wir
Tangentiales Magnetfeld eines ausgedehnten, unendlich langen Linienstromes.
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Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (A.43) ) kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben
(3.257) |
Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter
Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung,
Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom
durchflossener Platten.
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Wir definieren eine lineare Stromdichte . Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass
(3.259) |
Wir betrachten weiter das Feld und im Abstand von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:
(3.260) |
Das Resultat ist unabhängig von und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung oben Mitte).
(3.261) |
(3.262) |
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 111])
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.
Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes
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Da überall auf der Integrationsfläche gilt: , ist
(3.263) |
Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass
ist.
Integration über die Mantelfläche.
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An der Mantelfläche gilt mit
und damit
Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen
(3.264) |
Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 114])
Versuch zur Vorlesung: Magnetfeld von Leitern (Versuchskarte Em021) |
Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz und die Quellenfreiheit erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.68) soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Mit dem Vektorpotential
(3.267) |
werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität
(3.268) |
(3.269) |
Das Vektorpotential kann immer so gewählt werden, dass gilt.
Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit
existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld
mit
Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von gehörenden Potentiale nennt man Eichung |
In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential. |
Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung
Wenn wir mit den Abstand von einem Beobachtungspunkt zu einem Punkt mit der Stromdichte eines linearen Leiterstückes bezeichnen und setzen, ist der Beitrag zum magnetischen Feld
Othmar Marti