(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 98])
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Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die magnetische
Feldstärke oder die magnetische Induktion
ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung
der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so
gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das
folgende Kraftgesetz
beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft heisst Lorentz-Kraft.
Durch den Vergleich von Gleichung (3.98) und Gleichung (3.96) kann man für die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben
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Die magnetische Induktion ![]() ![]() |
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Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom. |
Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit
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(3.236) |
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(3.237) |
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(3.238) |
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(3.240) |
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Die Einheit der magnetischen Induktion ist
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(3.242) |
Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.
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Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.
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Der Betrag des Vektors , der senkrecht auf
und senkrecht auf
steht, ist
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(3.244) |
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(3.245) |
Beispiele
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(3.247) |
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Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
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Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern
kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das Drehmoment
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(3.248) |
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(3.249) |
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(3.251) |
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(3.252) |
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(3.253) |
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(3.254) |
Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.
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(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 104])
Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom erzeugte Magnetfeld durch kreisförmige
Magnetfeldlinien mit der Stärke
charakterisiert, wobei das
-Feld tangential
zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises
, ergibt
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(3.255) |
Der Beweis geht in mehreren Schritten:
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Beliebige Kurve um einen Leiter
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ist die Projektion des Weglängenelementes
auf der Kurve
auf die in der
-Ebene liegende Projektion der Kurve
. Es ist
Beispiel
Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius soll homogen vom Strom
durchflossen werden. Aus Symmetriegründen
sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Ausserhalb des Leiters (
) haben wir
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Tangentiales Magnetfeld eines ausgedehnten, unendlich langen Linienstromes.
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Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (A.43) ) kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben
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(3.257) |
Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter
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Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung,
Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom
durchflossener Platten.
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Wir definieren eine lineare Stromdichte
.
Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem
Superpositionsprinzip folgt, dass
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(3.259) |
Wir betrachten weiter das Feld
und
im Abstand
von der Platte. Wir werden zwei
Symmetrieoperationen an:
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(3.260) |
Das Resultat ist unabhängig von und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links
und rechts antiparallel (siehe Abbildung oben Mitte).
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(3.261) |
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(3.262) |
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 111])
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.
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Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes
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Da überall auf der Integrationsfläche gilt:
, ist
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(3.263) |
Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass
ist.
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Integration über die Mantelfläche.
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An der Mantelfläche gilt mit
und damit
Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen
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(3.264) |
Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 114])
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Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz
und die
Quellenfreiheit
erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.68) soll auch für das
Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Mit dem Vektorpotential
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(3.267) |
werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität
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(3.268) |
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(3.269) |
Das Vektorpotential kann immer so gewählt werden, dass
gilt.
Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit
existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld
mit
Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential ![]() ![]() |
In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential. |
Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung
Wenn wir mit
den Abstand von einem Beobachtungspunkt
zu einem Punkt
mit der Stromdichte
eines linearen Leiterstückes
bezeichnen und
setzen, ist der Beitrag zum magnetischen Feld
Othmar Marti