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Bestimmung der Atomgrösse

Die Grösse von Atomen kann mit Röntgenbeugung bestimmt werden. Eine weitere, unabhängige Möglichkeit ist der Wirkungsquerschnitt.

Berechnung des Streuquerschnitts mit zwei Teilchen mit den Radien $r$ und $R$.

Aus der Zeichnung liest man ab, das der Streuquerschnitt

$$\sigma = \pi \left(r+R\right)^2$$ (2.10)

ist. Für viele Teilchen in einem Volumen der Fläche $A=\pi R^2$ und der Dicke $d$ schreibt man für die Wahrscheinlichkeit $W$ einer Kollision

$$W = \frac{\textrm{Fläche aller }\sigma\textrm{ im durchschossenen Volumen}}{A}$$

Dabei haben wir nicht berücksichtigt, dass ab einer gewissen Tiefe $d$ die Streuquerschnitte $\sigma$ sich teilweise überlappen. Zur Berechnung müssen wir also auf eine differentielle Formulierung übergehen. Wenn $N_a$ die Anzahl der Atome im Volumen $V$ ist, $N$ die Anzahl der Partikel am Eingang der Schicht und $\Delta N$ die Anzahl der Streufälle ist, dann nimmt die Anzahl der Partikel nach der Strecke $\Delta x$ ab wie

$$\Delta N = -W\cdot N = -\frac{N_a \cdot \sigma}{A}\cdot N$$ (2.11)

Ersetzen wir $N_a$ durch $n\cdot A \cdot \Delta x$, wobei $n$ die Teilchenzahldichte der Atome ist, bekommen wir

$$\Delta N = \frac{n\cdot A \cdot \Delta x \cdot \sigma}{A}\cdot N = n \cdot \Delta x \cdot \sigma \cdot N$$ (2.12)

Oder, nach dem Übergang zur differentiellen Schreibweise

$$\frac{dN}{N} = -n \cdot \sigma \cdot d x$$ (2.13)

Die Lösung für eine durchschossene Fläche der Dicke $x$ ist

$$N(x) = N_0 \exp\left(-n\cdot \sigma\cdot x\right)$$ (2.14)

Die Zahl $N_{streu}$ der abgelenkten Atome ist

$$N_{streu}(x) = N_0-N(x) = N_0\left(1-\exp\left(-n\cdot \sigma\cdot x\right)\right)$$ (2.15)

$\alpha = n\sigma$ ist der totale Wirkungsquerschnitt. Also kann man durch die Bestimmung der Anzahl gestreuten oder ungestreuten Atome $\sigma$ und daraus, wenn man gleiche Atomsorten für die Projektile und die Ziele verwendet ($R=r$) auch $r$ bestimmen.

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