next up previous contents index 537
Weiter: Materiewellen Oben: Teilchen und Wellen Zurück: Das Photon  Skript:  PDF-Datei Übungen:  Blätter

Unterabschnitte


Elektron

Die Daten des Elektrons werden folgendermassen bestimmt:

$ e/m$
Durch Spektrometer
$ e$
durch den Millikan-Versuch
$ r$
durch Streuversuche

Ladung des Elektrons

Mit den Versuchen

Elektrolyse
Man bestimmt die Faraday-Zahl $ F = e\cdot N_A$
Massenspektrometer
Man bestimmt $ e/m_e$

Millikan-Versuch

Der Millikan-Versuch ermöglicht eine direkte Bestimmung von $ e$





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{millikan}
Bestimmung der Elektronenladung nach Millikan[Mil13]




Analyse:

Ein Öltröpfchen mit dem Durchmesser $ 2r$ und der Masse $ m_T = \frac{4\pi}{3}\rho_T  r^3$ wird zwischen die Platten eines Kondensators (Abstand $ d$) gebracht. Auf dem Öltröpfchen befindet sich die Ladung $ q$. Unter dem Einfluss der Gravitation $ F_G$, des Auftriebs $ F_A$ in Luft (Dichte $ \rho_L$) und des elektrischen Feldes $ F_E$ bewegt sich das Öltröpfchen mit der konstanten Geschwindigkeit $ v$, gegeben durch die Stokesche Reibungskraft $ F_S$ .

Kräfte

$\displaystyle \overrightarrow{F_G} +\overrightarrow{F_E} + \overrightarrow{F_A}+\overrightarrow{F_S}=0$

Stokes Gesetz (laminare Strömung

$\displaystyle \overrightarrow{F_S} = -6\pi  \eta  \overrightarrow{v}   r$ (4.62)

Elektrostatische Kraft

$\displaystyle \overrightarrow{F_E} = q  \overrightarrow{E} = q  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U = q \frac{U}{d} \overrightarrow{e_E}$ (4.63)

Gravitation

$\displaystyle \overrightarrow{F_G} = m_T  \overrightarrow{g} = \frac{4\pi}{3}\rho_T  r^3 \overrightarrow{g}$ (4.64)

Auftrieb

$\displaystyle \overrightarrow{F_A} = -\frac{4\pi}{3}\rho_L  r^3 \overrightarrow{g}$ (4.65)

Ladung und Geschwindigkeit

$\displaystyle \frac{4\pi}{3}\rho_T  r^3 \overrightarrow{g}- \frac{4\pi}{3}\rho...
...+ q  {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U = -6\pi  \eta  \overrightarrow{v}   r$

oder betragsmässig, ohne Vektoren

$\displaystyle \frac{4\pi}{3}\left(\rho_T-\rho_L\right)  r^3 g +q\frac{U}{d} = 6\pi  \eta  v  r$

und

$\displaystyle q\frac{U}{d} = 6\pi  \eta  v  r-\frac{4\pi}{3}\left(\rho_T-\rho_L\right)  r^3 g$

$\displaystyle q = 2\pi r\left(3 \eta  v-\frac{2}{3}\left(\rho_T-\rho_L\right)  r^2 g\right)\frac{d}{U}$ (4.66)

Freier Fall mit $ U=0$

$\displaystyle 0= 6\pi  \eta  v  r-\frac{4\pi}{3}\left(\rho_T-\rho_L\right)  r^3 g$

$\displaystyle 0= 3  \eta  v-\frac{2}{3}\left(\rho_T-\rho_L\right)  r^2 g$

$\displaystyle r = 3\sqrt{\frac{\eta v_{Fall}}{2\left(\rho_T-\rho_L\right)  g}}$ (4.67)

Schwebezustand ($ v=0$)

$\displaystyle q\frac{U}{d} = -\frac{4\pi}{3}\left(\rho_T-\rho_L\right)  r^3 g$

$\displaystyle q = -\frac{4\pi}{3}\left(\rho_T-\rho_L\right)  r^3 g\frac{d}{U} ...
...{9  \eta v_{Fall}}{2\left(\rho_T-\rho_L\right) g}\right)^{3/2} g\frac{d}{U}
$

$\displaystyle q =-\frac{\sqrt{2}  9\pi  d}{U}\left(\frac{\eta^3 v_{Fall}^3}{\left(\rho_T-\rho_L\right) g}\right)^{1/2}$ (4.68)

Gemessene Geschwindigkeit $ v$

$\displaystyle q = \frac{6\pi r  d}{U}\left(\eta  v-\frac{2}{9}\left(\rho_T-\rho_L\right)  r^2 g\right)$ (4.69)

Millikan[Mil13] erhielt als Wert für die Elektronenladung $ e = 1.592\cdot 10^{-19}  C$.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Millikan-Versuch: Ladung von Öltröpfchen (Versuchskarte AT-13)

Grösse des Elektrons

Das elektrische Feld einer Ladung $ e$ ist

$\displaystyle E(r) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{r^2}$

Die Energiedichte ist

$\displaystyle w(r) = \frac{\epsilon_0}{2}\left(-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{r^2}\right)^2 = \frac{e^2}{32\pi^2
\epsilon_0 r^4}$

Der Energieinhalt in Kugelkoordinaten ist
$\displaystyle E_{Feld}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{r_e}^\infty\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}w(r)\cdot r^2 sin(\Theta)
\cdot dr\cdot d\Theta\cdot d\phi$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi \int\limits_{r_e}^\infty w(r)\cdot r^2 \cdot dr$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi \int\limits_{r_e}^\infty \frac{e^2}{32\pi^2\epsilon_0 r^2} \cdot dr$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0}\int\limits_{r_e}^\infty \frac{1}{r^2} \cdot dr$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0}\left.\frac{1}{r}\right\vert _{r_e}^\infty = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r_e}$  

Andererseits ist

$\displaystyle E_m = m_e c^2$

Durch Gleichsetzen erhalten wir

$\displaystyle r_e = \frac{e^2}{8\pi \epsilon_0 m_e c^2} = 1.4\cdot 10^{-15}m$


next up previous contents index 537
Next: Materiewellen Up: Teilchen und Wellen Previous: Das Photon  Skript:  PDF-Datei Übungen:  Blätter
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm