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Unterabschnitte

• Elektronenbeugung
  • Reziprokes Gitter
  • Streuung (Beugung) an Oberflächen
  • LEED
• Rutherford-Streuung
• Selbstinterferenz von Atomen

Materiewellen

Elektronenbeugung

Versuch zur Vorlesung: Elektronenbeugung: an einer polykristallinen Graphitschicht (Versuchskarte AT-56)

Elektronenbeugung ist eine in der Oberflächenphysik[HG91] übliche Methode zur Untersuchung periodischer Probenoberflächen. In den nächsten beiden Abschnitten werden die Beugung niederenergetischer Elektronen sowie die Beugung von Elektronen mit mittlerer Energie besprochen.

Reziprokes Gitter

Periodische Anordnungen von Atomen werden Netze genannt. Oberflächennetze sind translationsinvariant. Es gilt also

$$f\left( \overrightarrow{r} + \overrightarrow{T} \right) = f\left( \overrightarrow{r}\right)$$ (4.70)

mit $\overrightarrow{T} = v\overrightarrow{a}_{1} + w\overrightarrow{a}_{2}$ wobei $\left( v,w, \in {\mathbb{ Z}} \right)$. Dabei ist $f$ die funktionale Darstellung einer beliebigen Eigenschaft der Oberfläche. Die Entwicklung von $f\left( {{\overrightarrow{r}}} \right)$ in eine Fourier-Reihe ergibt

$$f\left( \overrightarrow{r}\right) = \sum\limits_{\overrightarrow{G}} f_{\overrightarrow{G}}e^{i\overrightarrow{G}\overrightarrow{r}}$$ (4.71)

Die Summe in Gleichung (4.24) geht über alle reziproken Gittervektoren. Dabei ist

$${\overrightarrow{G}} = h{\overrightarrow{A}}_{1} + k{\overrightarrow{A}}_{2}$$ (4.72)

wobei $h$ und $k$ ganze Zahlen sind. ${\overrightarrow{A}}_{1}$ und ${\overrightarrow{A}}_{2}$ sind die erzeugenden Vektoren des primitiven Netzes.

Zwischen dem Netz im realen Raum aufgespannt durch $\overrightarrow{a}_1$ und $\overrightarrow{a}_2$ und dem Netz im reziproken Raum aufgespannt durch ${\overrightarrow{A}}_{1}$ und ${\overrightarrow{A}}_{2}$ muss die Beziehung

$$\overrightarrow{G} \cdot \overrightarrow{T} = n 2\pi n \in {\mathbb{Z}} \textrm{für alle} {\overrightarrow{G}}, {\overrightarrow{T}}$$ (4.73)

Aus den Beziehungen (4.23) bis (4.26) folgt:

$$\overrightarrow{A}_1\cdot\overrightarrow{a}_1 = 2\pi$$

$$\overrightarrow{A}_1\cdot\overrightarrow{a}_1 = 0$$

$$\overrightarrow{A}_1\cdot\overrightarrow{a}_2 =$$ 0

$$\overrightarrow{A}_2\cdot\overrightarrow{a}_2 = 2\pi$$ (4.74)

Diese Bedingungen werden erfüllt wenn ${\overrightarrow{A}}_{1}$ und ${\overrightarrow{A}}_{2}$ wie folgt konstruiert werden:

$$\overrightarrow{A}_{1} = 2\pi \frac{\overrightarrow{a}_{2} \times... ...ghtarrow{a}_{1} \left( \overrightarrow{a}_{2} \times\overrightarrow{n} \right)}$$ (4.75)

und

$$\overrightarrow{A}_{2} = 2\pi \frac{\overrightarrow{n} \times \ov... ...htarrow{a}_{1} \left( \overrightarrow{a}_{2} \times \overrightarrow{n} \right)}$$ (4.76)

Dabei ist $\overrightarrow{n}$ ein beliebiger Vektor senkrecht zum Oberflächennetz

Reales Gitter (links) und reziprokes Gitter (rechts).

Streuung (Beugung) an Oberflächen

Skizze zur Streuung an Oberflächenatomen

Die obige Abbildung zeigt die Geometrie der Streuung. Die Einfallende ebene Welle wird mit ${\overrightarrow {k}}$ und die gestreute ebene Welle mit ${\overrightarrow{k}}'$ bezeichnet. Der Abstand der Streuzentren sei ${\overrightarrow{r}}$.

Die Wegdifferenzen der Wellenzüge zwischen zwei benachbarten Streuzentren sind

$$d_{1} = \left\vert \overrightarrow{r} \right\vert\cdot \cos \left( \overr... ...ghtarrow{r}\cdot \overrightarrow{k}}{\left\vert \overrightarrow{k} \right\vert}$$

$$d_{2} = \left\vert \overrightarrow{r} \right\vert\cdot\cos \left( \overri... ...htarrow{r}\cdot\overrightarrow{k}'}{\left\vert \overrightarrow{k}' \right\vert}$$ (4.77)

Aus dem Wegunterschied berechnet man die Phasendifferenzen zu

$$\phi = \left\vert \overrightarrow{k} \right\vert\cdot d_{1} = \overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{k}$$

$$\phi' = \left\vert \overrightarrow{k}'\right\vert\cdot d_{2} = \overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{k}'$$ (4.78)

Die Phasendifferenz ist

$$\Delta \phi = \phi - \phi' = \overrightarrow{r}\cdot\overrightarr... ...r}\cdot\overrightarrow{k}' = - \Delta \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}$$ (4.79)

mit $\Delta {\overrightarrow{k}} = \overrightarrow{k}' - {\overrightarrow{k}}$. Für die Amplituden gilt $\psi' = \psi e^{i\Delta \overrightarrow{k}_{i} \cdot \overrightarrow{r}}$ für das $i$-te Atom.

Für die Beträge der Wellenvektoren gilt

$$k = \frac{{2\pi }}{\lambda } = \frac{p}{h}$$ (4.80)

mit der de Broglie-Wellenlänge $\lambda$ und dem Impuls der Teilchen $p$.

Für die Streuamplitude eines Netzes mit monoatomarer Basis erhält man:

$$\psi = {\sum\limits_{{{\overrightarrow{T}}}} {{}}} e^{{i\Delta {\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{T}}}}$$ (4.81)

mit ${\overrightarrow{T}} = v\cdot{\overrightarrow{a}}_{1} + w\cdot{\overrightarrow{a}}_{2}$. Für eine mehratomige Basis erhält man:

$$\psi = \left(\sum\limits_{\overrightarrow{T}} e^{-i\Delta \overri... ...\limits_{j} f_j e^{-i\Delta \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}_j}\right)$$ (4.82)

$f_j$ ist der Streufaktor des $j$-ten Streuzentrums und ${\overrightarrow{r}}_{j}$ ist die Position dieses Streuzentrums in der Einheitszelle. Der erste Faktor in der Gleichung (4.35) hängt nur vom Oberflächennetz ab und nicht von der Struktur der Einheitszelle. Dieser Faktor wird Gittersumme

$$G_{\Delta\overrightarrow{k}} = \sum\limits_{\overrightarrow{T}} e^{-i\Delta \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{T}}$$ (4.83)

genannt. Der zweite Faktor in Gleichung (4.35) ist die geometrische Strukturamplitude

$$G_{\Delta\overrightarrow{k}} = \sum\limits_{j} f_j e^{-i\Delta \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}_j}$$ (4.84)

Da ${\overrightarrow{T}}$ in der Oberfläche liegt, ist

$$\Delta {\overrightarrow{k}} \cdot {\overrightarrow{T}} = \left( {... ...row{T}} = \Delta {\overrightarrow{k}}_{{\vert\vert}} \cdot {\overrightarrow{T}}$$ (4.85)

Also ist die Laue-Bedingung

$$\Delta {\overrightarrow{k}}_{{\vert\vert}} \cdot{\overrightarrow{a}}_{1} = 2\pi h$$

$$\Delta {\overrightarrow{k}}_{{\vert\vert}} \cdot{\overrightarrow{a}}_{2} = 2\pi k$$ (4.86)

Bei elastischer Streuung gilt

$$E = E' \Rightarrow {\overrightarrow{k}}^{2} = {{ \overrightarrow{... ...errightarrow{k}}} \right\vert = \left\vert {{\overrightarrow{k}}' } \right\vert$$ (4.87)

Ewald-Konstruktion für Oberflächennetze. Rechts wird ein Schnitt dargestellt.

Aus dieser Bedingung kann man die in der Abbildung gezeigte Ewald-Konstruktion für Oberflächennetze ableiten.

LEED

LEED[JSY82] ist die am häufigsten angewandte Methode zur strukturellen Untersuchung periodischer Kristalloberflächen. Die Elektronen werden mit einer bestimmten, möglichst monochromatischen Energie aus einer wohldefinierten Richtung auf die Probe gesandt. Ihre de Broglie-Wellenlänge muss von der gleichen Grössenordnung wie die Gitterperiode an der Kristalloberfläche sein. Wenn man eine Periodizität von $0.1 nm$ annimmt, so ergibt sich

$$0.1 nm = \lambda = \frac{h}{{{\sqrt {{2mE}}} }}$$ (4.88)

Daraus folgt für die Energie

$$E = \frac{h^2}{2m \lambda^2} =\frac{\left( 6.6 \cdot 10^{-34} \right)^2}{2 \cdot 9.1 \cdot10^{-31}\cdot 10^{-20}} \approx 100eV$$ (4.89)

Aufbau eines LEED-Experimentes. Links ist die Elektronenkanone gezeigt. Rechts ist der schematische Aufbau des LEED-Schirms gezeigt.

Energieverlauf im LEED-Detektor. Rechts ist der Zwischenraum zwischen der Probe und dem Detektor.

Die obere Abbildung zeigt den Aufbau eines LEED. Die Elektronen stammen in der Regel aus einer thermischen Kathode. Nach der Beschleunigungsphase bewegen sich die Elektronen in einem feldfreien Raum bis zur Probe. Die rückgestreuten Elektronen nähern sich dem mit einer phosphoreszierenden Substanz belegten kugelkalottenförmigen Schirm in einem feldfreien Raum. Der Energieverlauf im LEED-Detektor ist schliesslich in der unteren Abbildung gezeigt.

Die Energieunschärfe bei der Emission muss mit der thermischen Energie bei Raumtemperatur verglichen werden. Diese ist $\Delta E \approx kT \approx \frac{1}{{40}}eV$. Die Glühemission bei ${T = 2000 K}$ ist mit einer Energieunschärfe von $\Delta E \approx 0.2eV$ behaftet und damit etwa acht mal grösser als $kT$ bei Raumtemperatur. Die Energieunschärfe der Feldemission bei ${T = 300K}$ ist schliesslich gleich der thermischen Energie $kT$, also $\Delta E \approx 0.025eV$.

Eindringtiefe der Elektronen als Funktion der Energie

Die Abbildung zeigt die Eindringtiefe der Elektronen als Funktion ihrer kinetischen Energie. Die Eindringtiefe ist für Elektronen mit einer Energie von etwa $100 eV$ minimal. Bei höheren Energien, wie sie zum Beispiel bei der Elektronenmikroskopie vorkommen ist die Eindringtiefe grösser. Sie nimmt über etwa $500 eV$ monoton mit der kinetischen Energie der Elektronen zu.

Für LEED verwendet man Elektronen mit einer kinetischen Energie von $20-500 eV$. Die Eindringtiefe der Elektronen ist entsprechend kleiner als einen Nanometer.

Ewaldkonstruktion für LEED

Das durch die Wechselwirkung der langsamen Elektronen mit der Probe entstehende Beugungsbild kann mit Hilfe der Ewald-Konstruktion wie in der Abbildung gezeigt interpretiert werden.

Zwischen der periodischen Struktur der Probenoberfläche oder einer eventuell vorhandenen Überstruktur und der Überstruktur im reziproken Raum besteht folgender Zusammenhang:

$$\textrm{reeller Raum} \overrightarrow{b} = S \cdot \overrightarrow{a}$$ (4.90)

$$\textrm{reziproker Raum } \overrightarrow{B} = \left(S^T\right)^{-1} \overrightarrow{A} = S_{rez} \cdot \overrightarrow{A}$$

$$ \overrightarrow{A} = \left(S^T\right)\cdot \overrightarrow{B}$$ (4.91)

Hier ist (siehe Physikalische Elektronik und Messtechnik) $S$ die die Struktur der Oberfläche charakterisierende Matrix. Nach der Gleichung (4.44) kennt man mit $S_{rez}$ auch $S$.

Damit Beugungseffekte in der Abbildung mit Elektronen beobachtet werden können, muss die Kohärenzlänge der Elektronen grösser als die maximal möglichen Wegunterschiede sein. Wie bei Licht müssen zwei Arten von Kohärenz unterschieden werden.

Zeitliche Kohärenz

ist gegeben durch die Energieunschärfe.

Räumliche Kohärenz

ist gegeben durch die Ausdehnung der Elektronenquelle (dominant)

Beugungsmuster und Definitionen zur Transferweite

Mit der Transferweite $t$ (Definition in der oben stehenden Abbildung) bezeichnet man die Breite des Elektronenstrahls, die bei perfekter Quelle und perfekter Abbildung die gleiche Breite der Leuchtflächen bewirkt wie der Elektronenstrahl im realen LEED. Sie ist gegeben durch

$$t = a\frac{{\phi_{10}}}{{\Delta \phi }}$$ (4.92)

Damit wird $t \approx 10nm$. Da Elektronen eine sehr kleine Kohärenzlänge haben und da sie als Fermionen nicht im gleichen Quantenzustand sein können⁴ kann jedes Elektron nur mit sich selber interferieren.

Schematische Skizze eines LEED-Bildes von $Cu (110)$ (gezeichnet nach [JSY82]). Dies ist eine FCC-Struktur. Die Messung wurde bei $36 eV$ aufgenommen.

Schematische Skizze eines LEED-Bildes von Ni (111) bei einer Primärenergie von 205 eV (gezeichnet nach [JSY82]).

Skizze eines LEED-Bildes von Si(111) $\sqrt {19}\times \sqrt {19}$ (gezeichnet nach [JSY82]).

Rutherford-Streuung

Selbstinterferenz von Atomen

Zweistrahlinterferenz von Atomen (gezeichnet nach [CM91]).

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