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Elektronenbeugung ist eine in der Oberflächenphysik[HG91] übliche Methode zur Untersuchung periodischer Probenoberflächen. In den nächsten beiden Abschnitten werden die Beugung niederenergetischer Elektronen sowie die Beugung von Elektronen mit mittlerer Energie besprochen.
Periodische Anordnungen von Atomen werden Netze genannt. Oberflächennetze sind translationsinvariant. Es gilt also
mit
wobei
. Dabei ist
die funktionale Darstellung einer beliebigen Eigenschaft der Oberfläche. Die
Entwicklung von
in eine Fourier-Reihe ergibt
Die Summe in Gleichung (4.24) geht über alle reziproken Gittervektoren. Dabei ist
wobei und
ganze Zahlen sind.
und
sind die
erzeugenden Vektoren des primitiven Netzes.
Zwischen dem Netz im realen Raum aufgespannt durch
und
und dem Netz
im reziproken Raum aufgespannt durch
und
muss die Beziehung
Aus den Beziehungen (4.23) bis (4.26) folgt:
Diese Bedingungen werden erfüllt wenn
und
wie folgt konstruiert werden:
und
Dabei ist
ein beliebiger Vektor senkrecht zum Oberflächennetz
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Reales Gitter (links) und reziprokes Gitter (rechts).
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Skizze zur Streuung an Oberflächenatomen
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Die obige Abbildung zeigt die Geometrie der Streuung. Die Einfallende ebene Welle wird mit
und die gestreute ebene Welle mit
bezeichnet. Der Abstand der Streuzentren sei
.
Die Wegdifferenzen der Wellenzüge zwischen zwei benachbarten Streuzentren sind
Aus dem Wegunterschied berechnet man die Phasendifferenzen zu
Die Phasendifferenz ist
mit
. Für die Amplituden gilt
für das
-te Atom.
Für die Beträge der Wellenvektoren gilt
mit der de Broglie-Wellenlänge und dem Impuls der Teilchen
.
Für die Streuamplitude eines Netzes mit monoatomarer Basis erhält man:
mit
. Für eine
mehratomige Basis erhält man:
ist der Streufaktor des
-ten Streuzentrums und
ist die Position dieses
Streuzentrums in der Einheitszelle. Der erste Faktor in der Gleichung (4.35) hängt nur vom
Oberflächennetz ab und nicht von der Struktur der Einheitszelle. Dieser Faktor wird Gittersumme
genannt. Der zweite Faktor in Gleichung (4.35) ist die geometrische Strukturamplitude
Da
in der Oberfläche liegt, ist
Also ist die Laue-Bedingung
Bei elastischer Streuung gilt
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Ewald-Konstruktion für Oberflächennetze. Rechts wird ein Schnitt dargestellt.
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Aus dieser Bedingung kann man die in der Abbildung gezeigte Ewald-Konstruktion für Oberflächennetze ableiten.
LEED[JSY82] ist die am häufigsten angewandte Methode
zur strukturellen Untersuchung periodischer Kristalloberflächen. Die Elektronen werden mit einer bestimmten,
möglichst monochromatischen Energie aus einer wohldefinierten Richtung auf die Probe gesandt. Ihre de
Broglie-Wellenlänge muss von der gleichen Grössenordnung wie die Gitterperiode an der Kristalloberfläche sein.
Wenn man eine Periodizität von annimmt, so ergibt sich
Daraus folgt für die Energie
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Aufbau eines LEED-Experimentes. Links ist die Elektronenkanone gezeigt.
Rechts ist der schematische Aufbau des LEED-Schirms gezeigt.
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Energieverlauf im LEED-Detektor. Rechts ist der Zwischenraum zwischen
der Probe und dem Detektor.
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Die obere Abbildung zeigt den Aufbau eines LEED. Die Elektronen stammen in der Regel aus einer thermischen Kathode. Nach der Beschleunigungsphase bewegen sich die Elektronen in einem feldfreien Raum bis zur Probe. Die rückgestreuten Elektronen nähern sich dem mit einer phosphoreszierenden Substanz belegten kugelkalottenförmigen Schirm in einem feldfreien Raum. Der Energieverlauf im LEED-Detektor ist schliesslich in der unteren Abbildung gezeigt.
Die Energieunschärfe bei der Emission muss mit der thermischen Energie bei Raumtemperatur verglichen werden.
Diese ist
. Die Glühemission bei
ist mit einer
Energieunschärfe von
behaftet und damit etwa acht mal grösser als
bei
Raumtemperatur. Die Energieunschärfe der Feldemission bei
ist schliesslich gleich der thermischen
Energie
, also
.
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Eindringtiefe der Elektronen als Funktion der Energie
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Die Abbildung zeigt die Eindringtiefe der Elektronen als Funktion ihrer kinetischen Energie. Die Eindringtiefe
ist für Elektronen mit einer Energie von etwa minimal. Bei höheren Energien, wie sie zum Beispiel bei der
Elektronenmikroskopie vorkommen ist die Eindringtiefe grösser. Sie nimmt über etwa
monoton mit der
kinetischen Energie der Elektronen zu.
Für LEED verwendet man Elektronen mit einer kinetischen Energie von . Die Eindringtiefe der Elektronen
ist entsprechend kleiner als einen Nanometer.
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Ewaldkonstruktion für LEED
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Das durch die Wechselwirkung der langsamen Elektronen mit der Probe entstehende Beugungsbild kann mit Hilfe der Ewald-Konstruktion wie in der Abbildung gezeigt interpretiert werden.
Zwischen der periodischen Struktur der Probenoberfläche oder einer eventuell vorhandenen Überstruktur und der Überstruktur im reziproken Raum besteht folgender Zusammenhang:
Hier ist (siehe Physikalische Elektronik und
Messtechnik)
die die Struktur der Oberfläche charakterisierende Matrix. Nach der Gleichung (4.44) kennt man
mit
auch
.
Damit Beugungseffekte in der Abbildung mit Elektronen beobachtet werden können, muss die Kohärenzlänge der Elektronen grösser als die maximal möglichen Wegunterschiede sein. Wie bei Licht müssen zwei Arten von Kohärenz unterschieden werden.
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Beugungsmuster und Definitionen zur Transferweite
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Mit der Transferweite (Definition in der oben stehenden Abbildung) bezeichnet man die
Breite des Elektronenstrahls, die bei perfekter Quelle und perfekter Abbildung die gleiche Breite der
Leuchtflächen bewirkt wie der Elektronenstrahl im realen LEED. Sie ist gegeben durch
Damit wird
. Da Elektronen eine sehr kleine Kohärenzlänge haben und da sie als Fermionen nicht im
gleichen Quantenzustand sein können4 kann jedes Elektron nur mit sich selber interferieren.
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Schematische Skizze eines LEED-Bildes von
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Schematische Skizze eines LEED-Bildes von Ni (111) bei einer Primärenergie von 205 eV (gezeichnet nach
[JSY82]).
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Zweistrahlinterferenz von Atomen (gezeichnet nach [CM91]).
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