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Herleitung der Schrödingergleichung - II

Die Schrödingergleichung kann auch abgeleitet werden durch eine andere Methode: Der Ansatz $\psi(x,t) = A \exp[ i ( k x - \omega t) ]$, mit $k = 2\pi / \lambda$ und $\omega = 2 \pi \nu$, ist auch eine Lösung der Wellengleichung (WG),

$$\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}$$ (5.104)

wobei, $c^{2} = \omega^{2}/k^{2}$. Gleichzeitig,

$$\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = - k^{2} \psi$$ (5.105)

und

$$\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} = - \omega^{2} \psi$$ (5.106)

Nach Planck, die Energie ist quantisiert $E = \hslash \omega$ und ein Teilchen hat den Impuls $p = \hslash k$, nach de Broglie.

Wenn die relativistische Effekte betrachtet werden, dann die Energie eines Teilchens ist

$$E_{\text{rel}} = mc^{2} \gamma = \sqrt{m^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}} = mc^{2} + p^{2}/2m + \dots$$ (5.107)

wobei $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}$.

Wenn die Geschwindigkeit $v \ll c$ die relativistische Effekte sind vernachlässigt und dann die kinetische Energie ist,

$$E_{\text{kin}} = p^{2}/2m$$ (5.108)

mit $p = mv$. Die kinetische Energie $T$ kann auch beschrieben werden wie $T = E - V$ und $k^{2} = 8 \pi^{2} m ( E - V ) / h^{2}$ Wir haben dann,

$$- \frac{h^{2}}{8\pi^{2}m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} + V\psi = E\psi$$ (5.109)

Dieser war der Schrödingers ursprünglicher Weg zur Wellengleichung für Materiewellen.

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