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Die Schrödingergleichung kann auch abgeleitet werden durch eine andere Methode: Der Ansatz
, mit
und
, ist auch eine Lösung der
Wellengleichung (WG),
![$\displaystyle \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}$](img506.gif) |
(5.104) |
wobei,
. Gleichzeitig,
![$\displaystyle \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} = - k^{2} \psi$](img508.gif) |
(5.105) |
und
![$\displaystyle \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} = - \omega^{2} \psi$](img509.gif) |
(5.106) |
Nach Planck, die Energie ist quantisiert
und ein Teilchen hat den Impuls
,
nach de Broglie.
Wenn die relativistische Effekte betrachtet werden, dann die Energie eines Teilchens ist
![$\displaystyle E_{\text{rel}} = mc^{2} \gamma = \sqrt{m^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}} = mc^{2} + p^{2}/2m + \dots$](img510.gif) |
(5.107) |
wobei
.
Wenn die Geschwindigkeit
die relativistische Effekte sind vernachlässigt und dann die kinetische Energie
ist,
![$\displaystyle E_{\text{kin}} = p^{2}/2m$](img513.gif) |
(5.108) |
mit
. Die kinetische Energie
kann auch beschrieben werden wie
und
Wir haben dann,
![$\displaystyle - \frac{h^{2}}{8\pi^{2}m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} + V\psi = E\psi$](img517.gif) |
(5.109) |
Dieser war der Schrödingers ursprünglicher Weg zur Wellengleichung für Materiewellen.
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm