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Unterabschnitte

• Stationäre Zustände
• Kanonische konjugierte Variablen
• Vertauschungsrelationen

Eigenfunktionen und Eigenwerte der Schrödingergleichung

Die Eigenwerte des Schrödinger Operators sind Energie Eigenwerte. In den nächsten Abschnitte die Energie Eigenwerte der Schrödingergleichung werden berechnet für verschiedenen Potentialfunktionen.

Stationäre Zustände

Wenn der Zustand eines Systems $\psi$ eine linear Kombination von zwei Eigenfunktionen $\psi_{1}$ und $\psi_{2}$ ist,

$$\psi = a_{1}(x)\psi_{1} + a_{2}(x)\psi_{2} = a_{1}(x)e^{-i \omega_{1} t} + a_{2}(x)e^{-i \omega_{2} t}$$ (5.110)

Die Zustände $\psi_{1}$ und $\psi_{2}$ sind stationär und $\psi_{1}^{\ast}\cdot\psi_{1}$ und $\psi_{2}^{\ast}\cdot\psi_{2}$ haben scharfe Werte. Die entsprechende Eigenwerte sind zeitunahängig. $\psi$ ist nicht stationär.

$$\psi^{\ast}\cdot\psi = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} \cos[ ( \omega_{1} - \omega_{2} ) t ]$$ (5.111)

Also $\psi$ ist nicht stationär und hat nicht scharfe Energie Eigenwerte. Per Definition, wenn ein Eigenzustand des Operators $\hat{\mathbf{A}} = i b \partial / \partial t$ ändert zeitlich nicht dann ist er stationär.

Kanonische konjugierte Variablen

In der klassischen Mechanik, nämlich, in Rahmen der Hamilton Formalismus, die Bewegungsgleichungen haben verallgemeinerte Ort-Koordinaten $q_{i}$ und verallgemeinerte Impuls-Koordinaten $p_{i} = \partial \mathcal{L} / \partial \dot{q}_{i}$. Die Variablen $q_{i}$ und $p_{i}$ sind üblicherweise genannt kanonische konjugierte Variablen.

In Quantenmechanik gibt es ein Analogon zu der konjugierten Variablen, die kanonische konjugierte Operatoren, nämlich: Ort $\hat{\mathbf{x}}$ und Impuls $\hat{\mathbf{p}}_{x}$; Winkel $\hat{\mathbf{\phi}}$ und Drehimpuls $\hat{\mathbf{L}}$; Zeit $\hat{\mathbf{t}}$ und Energie $\hat{\mathbf{E}}$

$$\begin{aligned}\hat{\mathbf{x}} &= x \hat{\mathbf{p}}_{x}... ...bf{E}} &= i\hslash\frac{\partial}{\partial t} \end{aligned}$$

Vertauschungsrelationen

In Quantenmechanik kann man, mit der Definitionen der Operatoren, zeigen dass

$$[\hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{p}}_{x}] f = ( \hat{\mathbf{x}} \... ...\hat{\mathbf{p}}_{x} \hat{\mathbf{x}} ) f = \frac{\hslash}{i}f, \quad \forall f$$ (5.113)

mit

$$\begin{aligned}\hat{\mathbf{x}} &= x \hat{\mathbf{p}}_{x}... ...\frac{\hslash}{i}\frac{\partial}{ \partial x} \end{aligned}$$

und

$$[\hat{\mathbf{t}}, \hat{\mathbf{E}}] f = ( \hat{\mathbf{t}} \hat{... ...} - \hat{\mathbf{E}} \hat{\mathbf{t}} ) f = \frac{\hslash}{i}f, \quad \forall f$$ (5.114)

mit

$$\begin{aligned}\hat{\mathbf{t}} &= t \hat{\mathbf{E}} &= i \hslash\frac{\partial}{ \partial t} \end{aligned}$$

Die Bezeichnung $[\hat{\mathbf{A}}, \hat{\mathbf{B}}] = \hat{\mathbf{A}}\hat{\mathbf{B}} - \hat{\mathbf{B}}\hat{\mathbf{A}}$ heisst Kommutator.

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